1、第10章 質點動力學基礎,10.1 內容提要 10.2 知識要點 10.3 解題指導,10.1 內容提要,本章在介紹動力學的任務和基本概念的基礎上，主要闡述了動力學的基本定律及其應用;慣性力的概念、達朗伯原理與動靜法。重點是應用質點動力學基本方程(質點運動微分方程)和動靜法這兩種方法求解質點動力學的兩類問題。按教學大綱要求第一類問題是重點。,返回,10.2 知識要點,1.動力學的任務是研究物體(包括質點與質點系)運動變化與作用力之間的關系 按教學大綱要求，本書所研究的質點系為剛體和剛體的組合系統。 2.動力學基本定律牛頓三定律是動力學的基礎 第一定律定性地闡明了力和運動變化(加速度)之間的關系

2、，闡明了任何物體都具有慣性，因此任何物體只有受到力的作用才會改變原有的運動狀態(tài)(包括速度的大小和方向)，即產生加速度;第二定律則闡明了力和運動變化之間的定量關系;第三定律闡明了兩物體間相互作用的關系。,下一頁,返回,10.2 知識要點,由于第一、二定律都是在慣性參考系中觀察、實驗物體運動時總結出來的規(guī)律，因此它們以及根據它們所建立起來的動力學理論，僅適用于慣性參考系。所謂慣性參考系是指相對于地球靜止或作勻速直線運動的參考坐標系。動力學基本方程是牛頓第二定律的推廣，不嚴格區(qū)分的話，牛頓第二定律就是動力學基本方程。但必須指出，動力學基本方程等式右邊的力不是某一力，而是作用在質點上所有力的合力。,上

3、一頁,下一頁,返回,10.2 知識要點,3.質量和重量 質量是物體慣性大小的度量，是物體內所含物質的量，在牛頓力學中是一常量。重量是地球對物體引力大小的度量，即重力的大小，隨地理位置的變化而變化，只有在地球引力場(重力場)內才有意義。在重力場內，質量和重量的關系為P=-mg,g為重力加速度，是隨地理位置而變化的量，但一般近似取g = 9. 8 m/s2。,上一頁,下一頁,返回,10.2 知識要點,4.質點的慣性力 慣性力的概念慣性力是質點在力作用下運動狀態(tài)發(fā)生改變時，由于質點的慣性而對施力物體產生的反作用力，它作用在施力物體上，對于施力體來說，這是一個真實的力。如人推車時，車(質點)的慣性力，

4、真實地作用在人的手上。而在應用動靜法時，將質點(車)的慣性力加在質點(車)上，這對于運動的質點(車)來說，是一個虛加的力，因為該慣性力并不作用在車上。,上一頁,下一頁,返回,10.2 知識要點,慣性力的計算 慣性力的定義式為Fg=-ma,即慣性力的方向與質點的加速度方向相反，大小等于質點的質量與加速度的乘積?？梢娪绊憫T性力大小的因素是質量和加速度。不能誤認為慣性大(質量大)的質點，慣性力就大，只有兩個質點的加速度相同時，質量大的慣性力大。若加速度a=0，則慣性力Fg=0。 5.質點的達朗伯原理與動靜法 質點的達朗伯原理 在變速運動的質點上除了作用的真實力(主動力和約束力)外，再假想加上質點的慣

5、性力，這些力在形式上構成平衡力系，其方程表達式為 F+FN+Fg=0 （1）,上一頁,下一頁,返回,10.2 知識要點,由達朗伯原理所表述的方程可見，該方程實質上就是動力學基本方程ma=F=F+FN移項的結果。因為Fg=-ma，所以把基本方程等式左邊的ma項移到右邊，并用Fg表示，則F+FN+Fg=0故質點的達朗伯原理與質點動力學基本方程所提示的質點動力學規(guī)律是完全一樣的。只不過達朗伯原理中引入了慣性力的概念，而將動力學方程從形式上轉換成平衡方程。這樣就可以借助于已經熟悉的靜力學的解題方法和技巧來求解動力學問題 質點的動靜法 根據達朗伯原理、借助于靜力學平衡方程的形式，求解質點動力學問題的方法

6、，稱為動靜法。該方法在工程實際中被廣泛應用。,上一頁,下一頁,返回,10.2 知識要點,6.質點動力學基本方程與質點動靜法的應用 無論應用動力學基本方程還是動靜法求解質點動力學問題，都需將其矢量方程進行投影，得到投影形式的運動微分方程或平衡方程，現列表10-1總結如下。,上一頁,返回,10.3 解題指導,例10-1 如圖10-1(a)所示，礦車及礦石總質量為m=700 kg，以速度v= 160 cm/s沿傾角為=15的斜坡等速下滑，動摩擦系數=0.15，求鋼絲繩的拉力，并求礦車制動時(制動時間為4s，設在制動過程中，礦車作勻減速運動)鋼絲繩的拉力。 本題用質點動力學基本方程和動靜法兩種方法求解

7、。 解一 應用動力學基本方程 研究對象視礦車和礦石為質點M。 （1）勻速下降時，a=0，受力為重力P，鋼繩拉力FT、法向反力FN及摩擦力F如圖10-1（b）。,下一頁,返回,10.3 解題指導,由動力學基本方程 ma=F=P+F+FT+FN 向圖示的x軸投影有 max=Fx， 0=-Psin+F+FT （1） 向y軸投影有 may=Fy， 0=-Pcos+FN （2） 由動摩擦定律有 F=FN （3） 聯立式（2）、（3）得F=Pcos，將F值代入式（1）則有,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,(2)剎車制動時，作勻減速運動，加速度a沿斜坡向上， 且 0.4m/s2。受力如圖10-1（

8、c）所示。 由動力學基本方程 ma=F=P+F+FT+FN 向圖示的x軸投影有 ma=-Psin+F+FT （4） 向y軸投影有 0=-Pcos+FN （5） F=FN （6） 聯立式（4）、式（5）、式（6）可得,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,解二 應用動靜法 研究對象 質點M (1)勻速下滑時，由于a=0，所以質點的慣性力Fg=0。質點M受力如圖10-1( d)所示，且處于平衡狀態(tài)。 列平衡方程 聯立式(1)、式(2)、式(3)解得FT =781.4 N,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,(2)剎車制動時，加速度a沿斜坡向上，則質點的慣性力Fg=-ma，將Fg畫在受力

9、圖10-1(e)上，且該力與圖示的真實力構成平衡力系。 列平衡方程 聯立式(4)、式(5)、式(6)解得FT=1 061 N,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,例10-2 單擺的擺長為l，擺球A的質量為m，按 (t以秒計，以弧度計)的規(guī)律作微幅擺動，式中0為離開鉛垂位置的最大擺角(擺幅)。如圖10-2(a)所示，求擺球在運動過程中繩的張力，以及擺球經過最高位置和最低位置時繩的張力。 解一 應用動力學基本方程 研究對象 擺球A 分析力 擺球運動在任意位置時，受主動力P=mg及約束力FT，如圖10-2(a)所示。,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,分析運動 擺球繞懸點0的擺動規(guī)律為

10、 ，其軌跡為圓弧。由給出的運動方程可知，運動開始(t=0)時，= 0，擺球處于運動的最低位置A0。擺球圍繞該位置作微幅擺動。 應用自然法，建立自然坐標系。以A0為弧坐標的原點，沿擺球的運動方向，即沿圓弧的逆時針方向取作弧坐標的正向，如圖示。 由動力學基本方程 ma=Fi=P+FT 向法向投影有 man=Fn=-mgcos+FT,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,所以 式中的速度 將其代入FT式，則,上一頁,下一頁,返回,（1）,10.3 解題指導,式中 。式(1)即為在運動的任意瞬時t（或任意瞬時位置）繩的張力，顯然張力FT的大小隨時間(位置)的變化而變化 當擺球運動到最高位置時，即擺

11、角達到最大值=0 時，由 可知 ，即 ?，F將=0及 的數據代入（1），則得到擺球在最高位置時繩的張力，即,上一頁,下一頁,返回,（2）,10.3 解題指導,當擺球運動到最低位置，即=0時，由 ，可知 ，也即 0，t=0。故將=0及t=0的數據代入式（1），則得到擺球在最低位置時繩的張力，即,上一頁,下一頁,返回,（3）,10.3 解題指導,解二 應用動靜法 研究對象 擺球A 分析力 主動力P=mg及約束力FT，受力如圖10-2(b)。 分析運動及慣性力 點A作圓周運動，由 ，可得 ，切向加速度 ，法向加速度 ，則質點A的切向慣性力Fg=-ma，法向慣性力Fgn=-man，將其慣性力畫在質點A的

12、受力圖上。,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,列法向的平衡方程 式(1)與解一所得的結果式(1)完全相同，同樣可將最高位置與最低位置的有關數據代入式(1)，即得到這兩個特殊位置時的繩子張力。,上一頁,下一頁,返回,（1）,10.3 解題指導,例10-3 將一質量為m的物體M，自M0處以速度v0水平拋出。設高度h為已知，不計空氣阻力，試求物體M的運動方程、軌跡方程及落地時間(圖10-3)。 解 研究對象 拋體M 分析力 只受重力P作用 分析運動 運動開始(t=0)時，距地血為h處，拋體M以水平速度v0拋出，作軌跡未知的平面曲線運動。 列運動微分方程 取坐標系Oxy如圖。,上一頁,下一頁,

13、返回,10.3 解題指導,上一頁,下一頁,返回,由于,所以,由于,所以,由于,10.3 解題指導,上一頁,下一頁,返回,故拋體M的運動方程為,10.3 解題指導,當拋體落地時y=0，則求得落地的時間為 由運動方程消去參數t，則為拋體的軌跡方程(為一拋物線方程),上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,例10-4 上例中其他條件不變，如考慮拋體下落時的空氣阻力，且阻力F與拋體的速度v方向相反。而大小成正比，即F=-v，為阻尼系數(圖10-4)。試求拋體的運動方程。 解 研究對象 拋體M 分析力 重力P及空氣阻力F=-v，受力圖如圖10-4所示。 分析運動 運動的初始條件為t=0時x=0，y=h

14、；vx=v0，vy=0。作未知的平面曲線運動。 列運動微分方程,上一頁,下一頁,返回,（1）,10.3 解題指導,由于,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,故拋體M的運動方程為,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,解題小結 應用動力學基本方程及動靜法兩種方法的解題步驟，教材中已作歸納，此處不再復述。求解質點動力學問題可靈活選用其中的一種方法。下面僅就解題時應注意的問題分述如下。 1.應用動力學基本方程解題時應注意的問題 (1)質點的受力分析。在動力學中的受力分析與靜力學相同，盡管這時約束反力為動約束反力，但約束性質沒有變化，仍需根據約束性質

15、畫約束力。對第二類問題要注意分析主動力的性質，是常力或是位置、速度、時間的函數。,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,(2)質點的運動分析。一般分析以下兩點: 點的運動軌跡是否已知，是直線還是曲線(或圓)，以此確定采用哪種坐標形式的運動微分方程 分析所求解的是哪類問題。如果是第一類問題，加速度必須已知，或根據題目所給出的運動方程(或速度方程)能求出加速度。如果是第二類問題，由于運動是未知的，需通過運動微分方程求運動，因此必須分析和確定運動初始條件，即運動開始(t=0)時，質點的坐標（x0、y0）及速度 。,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,(3)建立質點的運動微分方程。必須注意以

16、下幾點: 在什么位置建立質點的運動微分方程，要根據題意確定。如題目只需要求某一特殊位置的力或加速度，則在該特殊位置列方程即可。如題目需要任意位置或幾個位置的力或加速度時，則必須在一般位置列方程，這個方程適合整個運動過程，即質點無論在何位置、何瞬時，該方程都適用，所求解的結果為一般位置的解。而對某些特殊位置的解，可根據題目的要求，將其特殊位置的參數代入一般位置的解中，來求出特殊位置解的答案(如本書例10-2)。,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,選擇運動微分方程的坐標形式時，首先要判定質點的運動軌跡是否已知，當質點運動的軌跡已知，特別是作圓周運動時，宜采用自然坐標形式的方程;當軌跡未知時

17、，只能采用直角坐標形式的方程。 列運動微分方程時，一定要根據動力學基本方程的矢量式(ma =F)，將其等式兩邊的力和加速度向選定的坐標軸投影，并處理好投影的正負號，特別需要指出的是加速度的投影。對第一類問題，加速度是已知的(或經微分運算可求出)，則應按加速度的方向確定投影的正負號(與坐標正向相同為正，否則為負)。對第二類問題，由于加速度是未知的，其投影 均為代數量，所以列寫方程時，不需考慮正負號的問題，一律表示為正號，即 或 。,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,(4)運動微分方程的解。第一類問題是已知加速度(或根據質點已知的運動，經微分運算求出加速度)，運用運動微分方程直接求得未知力

18、的問題，求解是比較容易的。第二類問題要通過對運動微分方程積分求解，其解算過程是比較麻煩的。在求解中要根據已給出的力的性質(常力或是時間、位置、速度的已知函數)，對微分方程進行分離變量使微分方程變換成可積分的形式，進行積分求解。一般用定積分的方法，解算過程比較簡便。下面歸納出分離變量的幾種形式，以供參考。,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,上一頁,下一頁,返回,或者,10.3 解題指導,式中 分別為t=0時質點運動的初始坐標和初始速度; 分別為任意時t質點的位置坐標和速度。將初始條件定作積分下限;任意瞬時t的 作為積分上限。 (5)質點運動微分方程的綜合問題。在實際中所解的問題，如果是兩

19、類問題的綜合，一題中既要求運動，又要求某些未知力。對這類問題，通常是先根據已知的力求加速度，然后再用加速度去求未知的反力。,上一頁,下一頁,返回,10.3 解題指導,2.應用動靜法解題時應注意的問題 (1)質點的受力分析。除正確地分析質點所受的真實力(包括主動力和約束力)外，關鍵是在運動質點的受力圖上正確地虛加慣性力Fg=-ma而確定慣性力的關鍵是正確地分析質點的加速度a。對第一類問題加速度a是已知的，則受力圖中Fg的方向一定與a反向。對第二類問題，加速度a是未知的，則分別以ax 、ay表示加速度的兩個分量，其方向均假設與x、y軸正向相同，即其投影 。Fgx與Fgy則與x、y軸的正向相反，其投