1、第二章 一元二次方程,*2.5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,1.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（重點） 2.會利用根與系數(shù)的關(guān)系解決有關(guān)的問題.（難點）,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.一元二次方程的求根公式是什么？,想一想：方程的兩根x1和x2與系數(shù)a、b、c還有其他關(guān)系嗎？,2.如何用判別式 b2 - 4ac 來判斷一元二次方程根的情況？,對一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0 時,方程有兩個不相等的實數(shù)根. b2 - 4ac = 0 時,方程有兩個相等的實數(shù)根. b2 - 4ac 0 時,方程無實數(shù)根.,復(fù)習(xí)引入,算一算 解下列方程并完成填空：,1,1,2,-

2、1,-1,1,新課講解,探究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,1,猜一猜,（1）若一元二次方程的兩根為x1、x2, 則有x - x1=0，且x -x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1、x2為已知數(shù)）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1、x2與p、q之間的關(guān)系嗎？,重要發(fā)現(xiàn) 如果方程x2+px+q=0的兩根是x1、x2,那么x1+x2= -p , x1 x2=q.,(x-x1)(x-x2)=0.,x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,x2+px+q=0，,x1+x2= -p , x1 x2=q.,猜一猜,（2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)

3、的兩個根分別是x1、 x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？,證一證：,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 （韋達(dá)定理）,如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩個根分別是x1、 x2，那么,注意：滿足上述關(guān)系的前提條件,b2-4ac0.,利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積. （1）x2 + 7x + 6 = 0;,解：這里 a = 1 , b = 7 , c = 6. = b2 - 4ac = 72 4 1 6 = 25 0. 方程有兩個實數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實數(shù)根是 x1、 x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用,

4、2,例1,（2）2x2 - 3x - 2 = 0.,解：這里 a = 2 , b = -3 , c = -2. = b2 - 4ac = （- 3）2 4 2 (-2) = 25 0, 方程有兩個實數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實數(shù)根是 x1、 x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .,已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.,解：設(shè)方程 5x2+kx-6=0的兩個根分別是x1、x2，其中x1=2 . 所以 x1 x2=2x2= 即 x2= 由于x1+x2=2+ = 所以k=-7. 答：方程的另一個根是 ，k=-7.,例2,不解方程，求方程2x2+3x-1

5、=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.,解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，,例3,設(shè)x1、x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的兩個實數(shù)根，且x12 + x22 =4，求k的值.,解：由方程有兩個實數(shù)根，得 = 4（k - 1）2 - 4k2 0 ，即 -8k + 4 0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 .

6、 經(jīng)檢驗， k2 = 4 不合題意，舍去.,例4,總結(jié)常見的求值:,歸納：求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.,1.不解方程，求方程兩根的和與兩根的積： （1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.,解：(1) 這里 a = 1 , b = 3 , c = -1. = b2 - 4ac = 32 - 4 1 (-1) = 13 0，有實數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實數(shù)根是 x1、 x2, 那么 x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 . (2) 這里 a = 2 , b = -4 , c = 1.

7、= b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 1 2 = 8 0 有實數(shù)根. 設(shè)方程的兩個實數(shù)根是 x1、x2, 那么 x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .,2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.,解：將x = 1代入方程中，得 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16. 設(shè)另一個根為x1，則 1 x1 = x1 =,3.設(shè)x1、x2是方程3x2 + 4x 3 = 0的兩個根.利用根系數(shù)之間的關(guān)系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2),解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得 （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2）,4. 當(dāng)k為何值時，方程2x2-kx+1=0的兩根差為1.,解：設(shè)方程兩根分別為x1, x2(x1x2)，則x1-x2=1., (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，,由根與系數(shù)的關(guān)系，得,5.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0. （1）若方程有實數(shù)根, 求實數(shù)m的取值范圍； （2）若方程兩根x1、x2滿足x1-x2= 1 ,求m的值.,解：(1)方程有實數(shù)根,m的取值范圍為m0.,(2)方程有實數(shù)根x1、x2，, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，,解得m=8.,經(jīng)檢驗m=