1、3.2.2 實(shí)際問題的函數(shù)模型,【學(xué)習(xí)目標(biāo)】,1.通過一些實(shí)例來感受一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的廣泛應(yīng)用，體會(huì)解決實(shí)際問題中建立函 數(shù)模型的過程，從而進(jìn)一步加深對(duì)這些函數(shù)的理解與應(yīng)用. 2.了解分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)模型的應(yīng)用. 3.初步了解對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表的分析與處理.,4.體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系，掌握零點(diǎn)存在 的判定條件，能用二分法求方程的近似解，初步形成用函數(shù)觀 點(diǎn)處理問題的意識(shí).,5.結(jié)合實(shí)際問題，感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程和方 法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性，初步運(yùn)用函數(shù)思 想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的簡單問題.,根據(jù)收集到的

2、數(shù)據(jù)作出_，并通過觀察_判斷 問題所適用的_，利用計(jì)算器的數(shù)據(jù)擬合功能得出具,體的函數(shù)解析式.,散點(diǎn)圖,圖象,函數(shù)模型,練習(xí)1：已知 y 與 x 是一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng) x2 時(shí)，y6； 當(dāng) x3 時(shí)，y8，則 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式是_. 練習(xí)2：計(jì)算機(jī)成本不斷下降，若每隔 3 年計(jì)算機(jī)價(jià)格降,元.,y2x2,2400,【問題探究】,某商品進(jìn)價(jià)每個(gè) 80 元，零售價(jià)每個(gè) 100 元，為了促銷，擬 采取買一個(gè)這種商品，贈(zèng)送一個(gè)小禮品的辦法，實(shí)踐表明：禮 品價(jià)值 1 元，銷售量增加 10%，且在一定范圍內(nèi)，當(dāng)禮品價(jià)值 為 n1 元時(shí)，比禮品價(jià)值為 n(nN*)元時(shí)的銷售量增加 10%. (1)寫出

3、當(dāng)禮品價(jià)值為 n 元時(shí)，利潤 f(n)(單位：元)與 n 的函,數(shù)關(guān)系式；,(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)當(dāng)禮品價(jià)值為多少元時(shí)，商店獲得最大利潤.,解：(1)設(shè)禮品價(jià)值為 n 元，則每個(gè)商品獲利 20n 元，當(dāng) 商品的銷售量為 a，故當(dāng)禮品價(jià)值為 n 元時(shí)，商品的銷售量為 a(110%)n，其利潤為 f(n)a(20n)(110%)n. (2)為了使商店獲得最大利潤，有f(n)f(n1)且 f(n)f(n1)，,9n10，n9 或 n10. 故當(dāng) n9 或 n10 時(shí)，商店獲得的利潤最大.,題型 1 利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題,【例 1】 某市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種產(chǎn)品在投放市場的 30 天 中， 其銷售價(jià)格

4、P 元和時(shí)間 t 天(tN)的關(guān)系如圖 3-2-4 所示.,圖 3-2-4,(1)寫出銷售價(jià)格 P(單位：元)和時(shí)間 t(單位：天)的函數(shù)解,析式；,(2)若日銷售量 Q(單位：件)與時(shí)間 t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系 是 Qt40(0t30，tN)，求該商品的日銷售金額 y(單 位：元)與時(shí)間 t(單位：天)的函數(shù)解析式；,(3)問：當(dāng)該產(chǎn)品投放市場第幾天時(shí)，日銷售額最高，最高,為多少元？,當(dāng) 0t30，函數(shù)在25,30上是減函數(shù)， 因此當(dāng) t25 時(shí)，y 有最大值為 1125 元，因?yàn)?125870，所以 在第 25 天時(shí)，日銷售額最大，最大值為 1125 元.,二次函數(shù)是我們比較熟悉的函數(shù)模

5、型，建立 二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域.在解決實(shí)際中的優(yōu)化問題 時(shí)，一定要分析自變量的取值范圍.在利用配方法求最值時(shí)，一 定要注意對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系：若對(duì)稱軸在給定的區(qū)間內(nèi)， 可在對(duì)稱軸處取一最值，在離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取另一最值； 若對(duì)稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi)，最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.另外在 實(shí)際問題中，還要考慮自變量是否只能取整數(shù).,【變式與拓展】 1.某西部山區(qū)的某種特產(chǎn)由于運(yùn)輸?shù)脑颍L期只能在當(dāng) 地銷售，當(dāng)?shù)卣ㄟ^投資對(duì)該項(xiàng)特產(chǎn)的銷售進(jìn)行扶持，已知,扣除投資，下同)，當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在新的十年發(fā)展規(guī)劃中加快發(fā)展 此特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在未來 10 年內(nèi)對(duì)該項(xiàng)目每年都 投入 60

6、萬元的銷售投資，其中在前 5 年中，每年都從 60 萬元 中撥出 30 萬元用于修建一條公路，公路 5 年建成，通車前該特 產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的 5 年中，該特產(chǎn)既在本地銷 售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每投入 x 萬元，,10 年的累積利潤看，該規(guī)劃方案是否可行？,設(shè)在公路通車的后 5 年中，每年用 x 萬元投資于本地的銷 售，而剩下的(60 x)萬元用于外地區(qū)的銷售投資，,該規(guī)劃方案有極大實(shí)施價(jià)值.,題型 2 建立確定性的函數(shù)模型解決問題,【例 2】 我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價(jià) 格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的.某市用水收費(fèi)的方法是： 水費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)

7、損耗費(fèi).,若每戶每月用水量不超過最低限量 a(單位：m3)時(shí)，只付基 本費(fèi) 8 元和每戶每月的定額損耗費(fèi) c 元；若用水量超過 a(單位： m3)時(shí)，除了付同上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過部分每 1 m3 付 b 元的超額費(fèi).已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過 5 元.,該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：,(1)請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求 a，b，c 的值；,(2)寫出某戶在一個(gè)月中的水費(fèi) y(單位：元)與在這個(gè)月中的,用水量 x(單位：m3)的函數(shù)關(guān)系式.,【變式與拓展】 2.設(shè)不法商販將彩電先按原價(jià)提高 40%，然后在廣告上寫 上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每臺(tái)彩電比原價(jià)多賺 270

8、 元，,那么每臺(tái)彩電的原價(jià)為_元.,2250,解析：設(shè)原價(jià)為a 元，依題意，有a(140%)80%a 270，解得 a2250.,3.在本埠投寄平信，每封信不超過 20 g 時(shí)付郵資 0.80 元， 超過 20 g 而不超過 40 g 時(shí)付郵資 1.60 元，依次類推，每增加 20 g 時(shí)需增加郵資 0.80 元(信的重量在 100 g 以內(nèi)).如果某人所,),D,寄一封信的質(zhì)量為 82.5 g，那么他應(yīng)付郵資( A.2.4 元 B.2.8 元 C.3.2 元 D.4 元,題型 3 建立擬合函數(shù)模型解應(yīng)用題,【例3】 某工廠今年 1 月、2 月、3 月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為 1 萬件、1.2 萬件、

9、1.3 萬件，為了估計(jì)以后每月的產(chǎn)量，現(xiàn)以這 三個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量 y 與月 份 x 的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù) yabxc(a， b，c 為常數(shù)).已知 4 月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為 1.37 萬件，請(qǐng)問用以 上哪個(gè)函數(shù)作模擬函數(shù)較好？說明理由.,【變式與拓展】 4.在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，運(yùn)用圖形、計(jì)算器采集到如下一組 數(shù)據(jù)： 則 x，y 的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近(其中 a，b 為待,定系數(shù))(,),B,A.yabx,B.yabx,C.yax2b,解析：由表，可知：y 的增長速度越來越快.,5.某人對(duì)東北一種松樹的生長進(jìn)行了研究，收集了其高度 h(單位：米

10、)與生長時(shí)間 t(單位：年)的相關(guān)數(shù)據(jù)，選擇 yatb 與 yloga(t1)來刻畫 h 與 t 的關(guān)系，你認(rèn)為哪個(gè)符合？并預(yù)測(cè) 第 8 年的松樹高度.,解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖 如圖D26. 由圖可以看出，用一次函數(shù)模,型不吻合，選用對(duì)數(shù)型函數(shù)比較合理.,圖 D26,不妨將(2,1)代入到 yloga(t1)中， 得 1loga3，解得 a3. 故可用函數(shù) ylog3(t1)來擬合這個(gè)實(shí)際問題. 當(dāng) t8 時(shí)，hlog3(81)2. 故可預(yù)測(cè)第 8 年松樹的高度為 2 米.,【例 4】 某商店將進(jìn)價(jià)為 8 元的商品，按每件 10 元售出， 每天可銷售 200 件，若每件售價(jià)漲價(jià) 0.5 元

11、，則其每天銷售量 就減少 10 件，問應(yīng)將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所得利潤最大， 并求出這個(gè)最大利潤.,易錯(cuò)分析：每天銷售200 件是在定價(jià)10 元時(shí)的情況，故所 設(shè)的價(jià)格應(yīng)理解為在定價(jià)10 元的基礎(chǔ)上，將每件售價(jià)提高x 元， 此時(shí)利潤每件應(yīng)為(2x)元，此時(shí)的銷售量為(20020 x)件.,解：設(shè)每件售價(jià)提高x 元，利潤為y 元，則y(2x)(200,20 x)20(x4)2720.,故當(dāng)x4，即定價(jià)為14 元時(shí)，每天可獲得最大利潤為720,元.,方法規(guī)律小結(jié),1.幾種常見的函數(shù)模型.,(1)一次函數(shù)模型：f(x)kxb(k，b為常數(shù)，k0). (2)二次函數(shù)模型：f(x)ax2bxc(a，b

12、，c為常數(shù)，a0). (3)分段函數(shù)模型：當(dāng)xA時(shí)，yf(x)；當(dāng)xUA時(shí)，yg(x). (4)指數(shù)型函數(shù)模型：f(x)kaxb(k，a，b為常數(shù)，a0，且a1，k0). (5)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型：f(x)klogaxb(k，a，b為常數(shù)，a0，且a1，k0). (6)冪函數(shù)型模型：f(x)kxnb(k，n，b為常數(shù)，k0，n1).,2.利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題.,(1) 一般地，函數(shù)模型方法為“設(shè)變量找關(guān)系求結(jié),果”.,(2)利用函數(shù)模型解應(yīng)用題的基本步驟：,審題：弄清題意，分析條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，恰,當(dāng)選擇數(shù)學(xué)模型；,建模：將文字語言、圖形(或者數(shù)表)等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，,利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； 求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；,還原：將利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際,問題的意義.,3.函數(shù)模型應(yīng)用的主要類型.,(1)利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題.其關(guān)鍵是考慮考查 的是