1、二次函數(shù)的應(yīng)用,駐馬店八中 張新寧,專題一： 待定系數(shù)法確定二次函數(shù),無堅(jiān)不摧：一般式,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，6），B（1，2），C（2，3）三點(diǎn)， 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； 求出A、B、C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)并求出經(jīng)過這三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式； 求出A、B、C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)并求出經(jīng)過這三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式； 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個(gè)二次函數(shù)圖象； 分析這三條拋物線的對(duì)稱關(guān)系，并觀察它們的表達(dá)式的區(qū)別與聯(lián)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？,思維小憩：,用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，設(shè)出一般式y(tǒng)=ax2+bx+c是絕對(duì)通用的辦法。 因?yàn)橛腥齻€(gè)待定系數(shù)，所以要求有三個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)。 一般地，函數(shù)y

2、=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象的解析式是y=-f(x) 一般地，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象的解析式是y=f(-x),顯而易見：頂點(diǎn)式,已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是以點(diǎn)（2，3）為頂點(diǎn)的拋物線，并且這個(gè)圖象通過點(diǎn)（3，1），求這個(gè)函數(shù)的解析式。（要求分別用一般式和頂點(diǎn)式去完成，對(duì)比兩種方法） 已知某二次函數(shù)當(dāng)x1時(shí)，有最大值6，且圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，8），求此二次函數(shù)的解析式。,思維小憩：,用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，什么時(shí)候使用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-m)2+n比較方便？ 知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或函數(shù)的最值時(shí) 比較頂點(diǎn)式和一般式的優(yōu)劣 一般式：通用，但計(jì)算量大 頂點(diǎn)式：簡(jiǎn)單，但有條件

3、限制 使用頂點(diǎn)式需要多少個(gè)條件？ 頂點(diǎn)坐標(biāo)再加上一個(gè)其它點(diǎn)的坐標(biāo)； 對(duì)稱軸再加上兩個(gè)其它點(diǎn)的坐標(biāo)； 其實(shí)，頂點(diǎn)式同樣需要三個(gè)條件才能求。,靈活方便：交點(diǎn)式,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于（2，0）和（1，0）兩點(diǎn)，又通過點(diǎn)（3，5）， 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。 當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)有最值？最值是多少？ 已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值2。 求二次函數(shù)的解析式； 設(shè)此二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為P，求ABP的面積,思維小憩：,用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，什么時(shí)候使用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1) (x-x2)比較方便？ 知道二次函數(shù)圖象和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí) 使用交點(diǎn)

4、式需要多少個(gè)條件？ 兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)再加上一個(gè)其它條件 其實(shí)，交點(diǎn)式同樣需要三個(gè)條件才能求 求函數(shù)最值點(diǎn)和最值的若干方法： 直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式 配方成頂點(diǎn)式 借助圖象的頂點(diǎn)在對(duì)稱軸上這一特性，結(jié)合和x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)求。,二次函數(shù)的交點(diǎn)式,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于（2，0）和（1，0）兩點(diǎn)，又通過點(diǎn)（3，5）， 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。 當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)有最值？最值是多少？ 求函數(shù)最值點(diǎn)和最值的若干方法： 直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式 配方成頂點(diǎn)式 借助圖象的頂點(diǎn)在對(duì)稱軸上這一特性，結(jié)合和x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)求。,二次函數(shù)的三種式,一般式：y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)式：y=a(x-m)2+n 交點(diǎn)式：y

5、=a(x-x1) (x-x2) 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（8,0），頂點(diǎn)是（6,-12），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。（分別用三種辦法來求）,二次函數(shù)的應(yīng)用,專題二： 數(shù)形結(jié)合法,簡(jiǎn)單的應(yīng)用（學(xué)會(huì)畫圖）,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值2。 求二次函數(shù)的解析式； 設(shè)此二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為P，求ABP的面積 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，AC5，BC4，cosACB3/5。 求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)； 若二次函數(shù)圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，求其解析式； 求二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)

6、,二次函數(shù)的應(yīng)用,專題三： 二次函數(shù)的最值應(yīng)用題,二次函數(shù)最值的理論,求函數(shù)y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其中m為常數(shù)且m1。,最值應(yīng)用題面積最大,某工廠為了存放材料，需要圍一個(gè)周長(zhǎng)160米的矩形場(chǎng)地，問矩形的長(zhǎng)和寬各取多少米，才能使存放場(chǎng)地的面積最大。 窗的形狀是矩形上面加一個(gè)半圓。窗的周長(zhǎng)等于6cm，要使窗能透過最多的光線，它的尺寸應(yīng)該如何設(shè)計(jì)？,最值應(yīng)用題面積最大,用一塊寬為1.2m的長(zhǎng)方形鐵板彎起兩邊做一個(gè)水槽，水槽的橫斷面為底角120的等腰梯形。要使水槽的橫斷面積最大，它的側(cè)面AB應(yīng)該是多長(zhǎng)？,最值應(yīng)用題路程問題,快艇和輪船分別從A地和C地同時(shí)出發(fā)，各沿著所指方向航行

7、（如圖所示），快艇和輪船的速度分別是每小時(shí)40km和每小時(shí)16km。已知AC145km，經(jīng)過多少時(shí)間，快艇和輪船之間的距離最短？（圖中ACCD）,最值應(yīng)用題銷售問題,某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件。 （1）若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ （2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多？,最值應(yīng)用題銷售問題,某商場(chǎng)以每件42元的價(jià)錢購(gòu)進(jìn)一種服裝，根據(jù)試銷得知這種服裝每天的銷售量t（件）與每件的銷售價(jià)x（元/件）可看

8、成是一次函數(shù)關(guān)系：t3x204。 寫出商場(chǎng)賣這種服裝每天銷售利潤(rùn)y（元）與每件的銷售價(jià)x（元）間的函數(shù)關(guān)系式； 通過對(duì)所得函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方，指出商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷售利潤(rùn)，每件的銷售價(jià)定為多少最為合適？最大利潤(rùn)為多少？,最值應(yīng)用題運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn),在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，回答下列問題： 運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí)，PBQ的面積等于8cm2 設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第t秒時(shí)，五邊形APQCD的面積為Scm2，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自

9、變量t的取值范圍； t為何值時(shí)S最?。壳蟪鯯的最小值。,最值應(yīng)用題運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn),在ABC中，BC2，BC邊上的高AD1，P是BC上任一點(diǎn)，PEAB交AC于E，PFAC交AB于F。 設(shè)BPx，將SPEF用x表示； 當(dāng)P在BC邊上什么位置時(shí)，S值最大。,在取值范圍內(nèi)的函數(shù)最值,二次函數(shù)的應(yīng)用,專題四： 二次函數(shù)綜合應(yīng)用題,如圖所示，公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米。由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在離OA距離為1米處達(dá)到距水面最大高度2.25米。 (1)如果不計(jì)其他因素

10、，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？(2)若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為3.5米，要使水流不落到池外，此時(shí)水流的最大高度應(yīng)達(dá)到多少米？（精確到0.1米）,某化工材料經(jīng)銷公司購(gòu)進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每千克30元。物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不得高于每千克70元，也不得低于30元。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝺r(jià)定為70元時(shí)，日均銷售60千克；單價(jià)每降低1元，日均多售出2千克。在銷售過程中，每天還要支出其它費(fèi)用500元（天數(shù)不足一天時(shí)，按整天計(jì)算）。設(shè)銷售單價(jià)為x元，日均獲利為y元。 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍。 將上面所求出的函數(shù)配方成頂

11、點(diǎn)式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)。 并指出單價(jià)定為多少元時(shí)日均獲利最多，是多少？,某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）。在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng) 員在空中的最高處距水面32/3米， 入水處距池邊的距離為4米，同 時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5米 以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作， 并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出 現(xiàn)失誤。（1）求這條拋物線的解 析式；（2）在某次試跳中，測(cè) 得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1） 中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào) 整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平 距離為18/5米，問此次跳水會(huì)不 會(huì)失

12、誤？并通過計(jì)算說明理由。,解函數(shù)應(yīng)用題的步驟:,設(shè)未知數(shù)(確定自變量和函數(shù)); 找等量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式; 化簡(jiǎn),整理成標(biāo)準(zhǔn)形式(一次函數(shù)、二次函數(shù)等); 求自變量取值范圍； 利用函數(shù)知識(shí)，求解（通常是最值問題）； 寫出結(jié)論。,某新建商場(chǎng)設(shè)有百貨部、服裝部和家電部三個(gè)經(jīng)營(yíng)部，共有190名售貨員，計(jì)劃全商場(chǎng)日營(yíng)業(yè)額(指每天賣出商品所收到的總金額)為60萬元，由于營(yíng)業(yè)性質(zhì)不同，分配到三個(gè)部的售貨員的人數(shù)也就不等，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，各類商品每1萬元營(yíng)業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表（1），每1萬元營(yíng)業(yè)額所得利潤(rùn)情況如表（2）。商場(chǎng)將計(jì)劃日營(yíng)業(yè)額分配給三個(gè)經(jīng)營(yíng)部，設(shè)分配給百貨部，服裝部和家電部的營(yíng)業(yè)額分別為x，y和z（單位：萬元，x、y、z都是整數(shù)）。（1）請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示y和z；（2）若商場(chǎng)預(yù)計(jì)每日的總利潤(rùn)為C（萬元），且C滿足19C19.7。問商場(chǎng)應(yīng)如何分配營(yíng)業(yè)額給三個(gè)經(jīng)營(yíng)部？各應(yīng)分別安排多少名售貨員？,某新建商場(chǎng)設(shè)有百貨部、服裝部和家電部三個(gè)經(jīng)營(yíng)部，共有190名售貨員，計(jì)劃全商場(chǎng)日營(yíng)業(yè)額(指每天賣出商品所收到的總金額)為60萬元，由于營(yíng)業(yè)性質(zhì)不同，分配到三個(gè)部的售貨員的人數(shù)也