1、湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,1,一、反常定積分,二、反常二重積分,三、小結(jié),3.3 反常積分,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,2,1. 無(wú)窮區(qū)間上的反常積分,成的圖形的面積A,解 由定積分定義可知，圖形,面積等于陰影部分圖形的面積,的極限，即,一、反常定積分,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,3,定義3.3.1 設(shè),若,存在 ,則稱(chēng)此極限為 f (x) 的無(wú)窮限反常積分,記作,這時(shí)稱(chēng)反常積分,收斂 ;,如果上述極限不,存在,就稱(chēng)反常積分,發(fā)散 .,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,4,類(lèi)似地 , 若,則定義,則定義,( c 為任意取定的常數(shù) ),只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱(chēng),發(fā)散 .,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)

2、學(xué)院,5,無(wú)窮限的反常積分也稱(chēng)為第一類(lèi)反常積分.,并非不定型 ,說(shuō)明: 上述定義中若出現(xiàn),它表明該反常積分發(fā)散 .,數(shù)，引入記號(hào),則有類(lèi)似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,6,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,7,解,解 由定義，,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,8,其中C為常數(shù)，而,所以，反常積分,發(fā)散,證 當(dāng) p =1 時(shí)有,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,9,當(dāng) p 1 時(shí)有,因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 反常積分收斂 , 其值為,當(dāng) p1 時(shí), 反常積分發(fā)散 .,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,10,解 這是一個(gè)反常積分，由于,用初等函數(shù)表示,的原函數(shù)不能,因此，利用一元函數(shù)反常積分,

3、無(wú)法計(jì)算現(xiàn)利用二重積分來(lái)進(jìn)行討論,設(shè),由于,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,11,此時(shí),設(shè),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,12,顯然,由于,由3.2節(jié)中例題8的結(jié)果，有,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,13,令,上式兩端同趨于,準(zhǔn)則，有,由極限的夾逼,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,14,例5 某種傳染病在流行期間人們被傳染患病的速度,可以近似地表示為,人/天，t 為傳染病開(kāi)始流行的天數(shù). 如果不加控制,最終將會(huì)傳染多少人？,這里 r 的單位是,解 依題意，,已知速度求總量，就是求,速度函數(shù)在區(qū)間,上的積分,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,15,其中：,即：如果不加控制，最終將會(huì)傳染到375000人.,湘潭大學(xué)

4、數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,16,2. 無(wú)界函數(shù)的反常積分,y=0 所圍成的圖形的面積A,解 由定積分定義可知，圖形,面積等于陰影部分圖形的面積,的極限，即,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,17,記作,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,18,即,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,19,記作,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,20,無(wú)界函數(shù)的積分又稱(chēng)作第二類(lèi)反常積分.,若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一,說(shuō)明:,例如,類(lèi)間斷點(diǎn),而不是反常積分.,則本質(zhì)上是常義積分,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,21,計(jì)算無(wú)界函數(shù)的反常積分，也可借助于牛頓-萊布,尼茨公式.,設(shè) x=a 是 f(x) 的瑕點(diǎn)，在(a,b上，,則反常積分,湘潭

5、大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,22,類(lèi)似地，有,其中， x=a 是 f(x) 的瑕點(diǎn)，,且在(a,b上，,其中， x=b 是 f(x) 的瑕點(diǎn)，,且在a,b)上，,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,23,所以是反常積分,解,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,24,所以是反常積分因此,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,25,例8 證明反常積分,證 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1,時(shí)發(fā)散 .,當(dāng) q1 時(shí),所以: 當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為,當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,26,例9 計(jì)算反常積分,解 由于,故x=a是瑕點(diǎn)，,從而,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科

6、學(xué)學(xué)院,27,例10 設(shè),解,求,是f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn),故 I 為反常,積分.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,28,1無(wú)界區(qū)域上的反常積分,二、反常二重積分,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,29,的反常二重積分收斂，否則稱(chēng)反常二重積分發(fā)散,構(gòu)造,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,30,則,（2）,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,31,構(gòu)造,則,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,32,則,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,33,例11 計(jì)算反常二重積分,其中,部分.即,解 設(shè) 是以原點(diǎn)為圓心 R 為半徑的圓在第一象限,化為極坐標(biāo),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,34,于是,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,35,在第一象限所構(gòu)成的無(wú)界區(qū)域,解 區(qū)域?yàn)?因此,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,36,2無(wú)界函數(shù)的反常二重積分,定義,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,37,如果,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,38,這個(gè)極限也稱(chēng)為,依然記作:,如果,不存在，則稱(chēng),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,39,解 顯然區(qū)域,取,那么,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,40,因此，當(dāng) m2 時(shí)，,當(dāng),時(shí)，,發(fā)散,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,41,1. 反常定積分,積分區(qū)間無(wú)限,被積函數(shù)無(wú)界,常義積分的極限,說(shuō)明 (1) 有時(shí)通過(guò)換元 , 反常積分和常義積分可以,互相轉(zhuǎn)化 .,(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類(lèi)反常積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)