1、第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用,一、變力沿直線所作的功,常力 F 沿直線對物體所作的功為：W=F S,若力是變力：,計(jì)算電場力 F 對它所作的功,例1 把一個(gè)帶 +q 電量的點(diǎn)電荷放在 r 軸上坐標(biāo),原點(diǎn)處，,它產(chǎn)生一個(gè)電場,這個(gè)電場對周圍的,電荷有作用力,若一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場,中距離原點(diǎn)為 r 的地方，,那么電場對它的作用力,的大小為,（k是常數(shù)），,當(dāng)這個(gè)單位,正電荷在電場中從r = a 處,沿 r 軸移動(dòng)到 r = b處時(shí)，,解,功元素,所求功為,如果要考慮將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處,取r為積分變量，,取任一小區(qū)間 r,r+dr,解,建立坐標(biāo)系如圖,這一薄層水的重力為,功元素為,(千

2、焦),例2 一圓柱形蓄水池高為5米，底半徑為3米，,滿了水.,問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少？,池內(nèi)盛,取x為積分變量,取任一小區(qū)間 x,x+dx,解,設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇?第一次錘擊時(shí)所作的功為,問第n 次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？,設(shè)n次擊入的總深度為h 厘米,n次錘擊所作的總功為,例3 用鐵錘把釘子釘入木板，,設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇?與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，,鐵錘在第一次錘擊,時(shí)將鐵釘擊入1厘米，,若每次錘擊所作的功相等，,依題意知，每次錘擊所作的功相等,n次擊入的總深度為,第n 次擊入的深度為,是水的比重,二、水壓力,那么，平板一側(cè)所受的水壓力為F=pA,在水深為h處的壓強(qiáng)為,如果有一

3、面積為A的平板,水平地放置在水深為h處，,問題：如果平板垂直放置在水中，,求平板一側(cè)所受的水壓力,解,在端面建立坐標(biāo)系如圖,計(jì)算桶的一端面上所受的壓力,例4 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，,桶內(nèi)盛有半桶水，,設(shè)桶的底半徑為R，,水的比重為,取x為積分變量,取任一小區(qū)間 x,x+dx,小矩形片上各處的壓強(qiáng),近似相等,小矩形片的面積為,小矩形片的壓力元素為,端面上所受的壓力,解,建立坐標(biāo)系如圖,面積元素,求薄板所受的側(cè)壓力,例5 將直角邊各為a及2a的直角三角形薄板垂,直地浸人水中，斜邊朝下，,直角邊的邊長與水面,平行，,且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長，,質(zhì)點(diǎn)M，,三、 引 力,引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)

4、的連線方向,質(zhì)量分別為,相距為 r 的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間,的引力的大小為,其中k為引力系數(shù)，,例6 有一長度為l、,線密度為 的均勻細(xì)棒，,在其中垂線上距棒 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的,計(jì)算該棒對質(zhì)點(diǎn) M 的引力,解,小段的質(zhì)量為,小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為,引力,取y為積分變量,取任一小區(qū)間 y , y+dy ,(1) 平面圖形的面積,直角坐標(biāo)情形,本章小結(jié),基本方法：元素法,如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,曲邊梯形的面積,參數(shù)方程所表示的函數(shù),極坐標(biāo)情形,(2) 體積,平行截面面積為已知的立體的體積,(3) 平面曲線的弧長,弧長,A曲線弧為,弧長,B曲線弧為,弧長,C曲線弧為,(4) 變力所作的功,(5) 水壓力,(7) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,(6) 引力,(8) 細(xì)棒的質(zhì)量,(9) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,二、典型例題,例1,解,由對稱性,有,由對稱性,有,由對稱性,有,例2,解,如圖所示建立坐標(biāo)系.,于是對半圓上任一點(diǎn),有,故所求速度為,故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為,例3,解,如圖建立坐標(biāo)系,此閘門一側(cè)受到