1、第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：理解羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并弄清三個定理之間的關(guān)系。 會用三個定理證明相應(yīng)的命題，求解相應(yīng)的問題。教學(xué)重難點(diǎn)：理解羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。主要內(nèi)容: 羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理教學(xué)過程：導(dǎo)數(shù)在自然科學(xué)和工程技術(shù)上都有著及其廣泛的應(yīng)用，在建立了導(dǎo)數(shù)的概念之后，本章將介紹中值定理、利用導(dǎo)數(shù)求極限的方法羅比塔法則、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凸凹區(qū)間及求一元函數(shù)極值和函數(shù)作圖的方法，來解決一些有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題.3.1 微分中值定理一 羅爾定理 定理 若函數(shù)f(x) 滿足條件：（1）f(x) 在 a,b 上連續(xù)；（2）f

2、(x) 在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a) =f(b), 則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f ()=0.證明 由條件（1）知f(x)在a,b上連續(xù)，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此時(shí)，又有二種情況：其一，M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，從而知，此時(shí)f(x)為常數(shù)：f(x)M=m，0，因此，可知為（a,b）內(nèi)任一點(diǎn)，都有f()0.其二，Mm,此時(shí)M和m之中，必有一個不等于f(a)或f(b)，不妨設(shè)Mf(a)（對mf(a)同理證明），這時(shí)必然在（a,b）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得f()=M,即f(x)在點(diǎn)得最大值.下面來證明：f()=0首先由條件（2）知f()是存在的，由定義知

3、：f()= (1)因?yàn)闉樽畲笾?，對?f(x) Mf(x)M0,當(dāng)x時(shí)，有0當(dāng)x時(shí)，有 0.又因?yàn)槭剑?）的極限存在，即左、右極限都存在，且都等于，即，然而，又有 和 .注意：1.定理中的三個條件缺一不可，否則定理未必成立，即指定理中的條件是充分的而非必要的.a bf(a)f(b)oxy圖3-1 2.羅爾定理中的點(diǎn)不一定唯一.事實(shí)上，從定理的證明過程中不難看出：若可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值或最小值，則有. 3.定理的幾何意義：設(shè)有一段弧的兩端點(diǎn)的高度相等，且弧長除兩端點(diǎn)外，處處都有不垂直于軸的切線，到弧上至少有一點(diǎn)處的切線平行于軸.（圖3.1）二 拉格朗日中值定理 定理 若函數(shù)滿足條件：(1)在

4、上連續(xù)；(2)在上可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 成立.此時(shí)，如果有， 則：.可見羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情況，下面用羅爾中值定理來證明.證明：上式又可寫為 作一個輔助函數(shù)： 顯然，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且 ， 所以由羅爾中值定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得. 又 即：.注意 1.拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣； 2.定理中的結(jié)論，可以寫成，此式也稱為拉格朗日公式，其中可寫成： 若令 3：若，定理中的條件相應(yīng)地改為：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則結(jié)論為： 也可寫成 可見，不論哪個大，其拉格朗日公式總是一樣的.這時(shí)，為介于之間的一個數(shù)，式中的不論正負(fù)，只要滿足條件都是成立的.4：設(shè)在點(diǎn)處

5、有一個增量，得到點(diǎn)，在以和為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有 即 這準(zhǔn)確地表達(dá)了和這兩個增量間的關(guān)系，故該定理為微分中值定理的核心. 5：幾何意義：如果曲線在除端點(diǎn)外的每一點(diǎn)都有不平行于軸的切線，則曲線上至少存在一點(diǎn)，該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)的連線.（圖3.2）由定理還可得到下列結(jié)論：如果在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則在a bf(a)f(b)oxy圖3-2上是一個常數(shù).證明 在中任取一點(diǎn)，然后再取一個異于的任一點(diǎn)，在以，為端點(diǎn)的區(qū)間，上，滿足：(i)連續(xù)；(ii)可導(dǎo)；從而在（，）內(nèi)部存在一點(diǎn)，使得 又在上，從而在（，）上， ， 所以 ，可見，在上的每一點(diǎn)都有：=C. 三 柯西中值定理定理 若滿足

6、：(1) 在上連續(xù)；(2) 在內(nèi)可導(dǎo)；(3) 在內(nèi)恒不為0； (4) ；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 .證明 令，顯然，在上連續(xù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，更進(jìn)一步還有 ，事實(shí)上， 所以滿足羅爾定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，又 因?yàn)椋?注意 1.柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，事實(shí)上，令，就得到拉格朗日中值定理； 2.幾何意義：若用參數(shù) （）表示曲線，則其幾何意義同拉格朗日中值定理是一致的.例1 若，證明.證明 對，取， ， 不難驗(yàn)證：滿足拉格朗日中值定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使?jié)M足 ，即 由的任意性，故本題成立.討論：當(dāng)條件“”可改為“”時(shí)，結(jié)論會怎樣？例2 證明（）.證明 令，由推論知f

7、(x)=常數(shù)，再由，故.例3 若方程有一個正根，證明方程：必有一個小于的正根.證明 令，在閉區(qū)間上滿足羅爾定理的三個條件，故上式表明（）即為方程的根.例4 驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)所求得的點(diǎn)恒在正中間.解：函數(shù)在任意一個區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，因此在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使由已知條件： 于是 即 作為刻畫事物變化率的導(dǎo)數(shù)，可以廣泛地用于研究函數(shù)的各種性質(zhì).這就要求在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間建立起某種緊密的關(guān)系，微分中值定理就是把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)用某種等式聯(lián)系起來的幾個定理，它們是微分學(xué)的基本定理.可以從分析定理的條件、結(jié)論、幾何直觀解釋、簡單用法和這幾個定理間的關(guān)系等方面去理解定理的內(nèi)容.對給定的具體函數(shù)

8、要能夠判斷其是否在所給區(qū)間上滿足指定的定理的條件，會用中值定理解決一些簡單的問題.3.2 羅比塔（LHospital）法則教學(xué)目標(biāo)：理解羅比塔法則，并能用羅比塔法則求解問題。教學(xué)重難點(diǎn)：極限類型的判斷和羅比塔法則的運(yùn)用。主要內(nèi)容：極限類型的判斷和羅比塔法則教學(xué)過程：我們在第1章中曾介紹過利用極限的運(yùn)算法則、函數(shù)的連續(xù)性和兩個重要極限等求極限的方法，本節(jié)將介紹一種借助于導(dǎo)數(shù)來求極限的新方法，即用羅比塔法則求極限.在求極限的過程中，常常遇到這樣的情形，即在同一變化過程中分子、分母同時(shí)趨于零或同時(shí)趨于無窮大的情形，這時(shí)分式的極限可能存在也可能不存在，通常分別稱這兩類極限為“”型或“”型未定式.對于這

9、樣的未定式，即使極限存在，也不能用極限運(yùn)算法則來計(jì)算，往往需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限計(jì)算的形式.這種變形沒有一般方法，需視具體情況而定，有時(shí)很難把握，所能解決的問題有限.下面我們介紹的羅比塔法則將提供一種簡便、可行、具有一般性的求未定式極限的方法.羅比塔法則（一）若函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件： f(x)=0，g(x)=0; f(x)與g(x)在點(diǎn)x0的某個鄰域內(nèi)（點(diǎn)x0可除外）可導(dǎo)，且g(x)0； =A（或）；則=A（或）.羅比塔法則（二）若函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件： f(x)=，g(x)=; =A（或）； f(x)與g(x)在點(diǎn)x0的某個鄰域內(nèi)（點(diǎn)x0可

10、除外）可導(dǎo)，且g(x)0；則=A（或）.對于法則（一）和（二），把xx0改為x，仍然成立.例1 求. 解 = 例2 求. 解 = 例3 求.解 羅比塔法則不但可以用來求和型未定式的極限，還可用來求諸如0，00，0，1型未定式的極限.求這幾種未定式極限的基本方法就是設(shè)法將它們化為和型.例4 求 （0型）解 = （已化為型）=(-x)=0.例5 求.解 這是型未定式，但極限=不存在，即不滿足羅比塔法則的第三個條件，所以不能使用羅比塔法則.事實(shí)上，原極限可由下面的方法求出：=1.從上面的例子可以看出，羅比塔法則雖然是求未定式極限的一種有效的方法，但它不是萬能的，有時(shí)會失效.羅必達(dá)法則是求未定式極限的

11、十分有效的方法，有兩種基本型 ，即隨著自變量的無限變化過程，商式中分子分母同時(shí)趨于零，或者同時(shí)趨于無窮大時(shí)，商式的極限可能存在，可能不存在，求極限比較復(fù)雜.利用羅必達(dá)法則，將極限問題轉(zhuǎn)化為可能較為簡單的導(dǎo)數(shù)比的極限.應(yīng)該注意羅必達(dá)法則是充分條件定理，而非充要條件定理，當(dāng)條件滿足時(shí)可多次使用.還有其他五種未定式，即是可轉(zhuǎn)化為兩種基本型的未定式.這四種未定式是針對極限的四則運(yùn)算求極限時(shí)不能確定其極限的存在性而言的.如果時(shí)有法則冪指函數(shù)求極限時(shí)會產(chǎn)生未定式，這時(shí)，可以通過取對數(shù)轉(zhuǎn)化成基本型再用此法則.3.3 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)目標(biāo)：掌握函數(shù)單調(diào)性的判定定理和判斷方法，并能對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷。教學(xué)重

12、點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判定定理和判斷方法主要內(nèi)容：函數(shù)單調(diào)性的判定定理和判斷方法一個函數(shù)在某個區(qū)間的單調(diào)增減性變化規(guī)律，是我們研究函數(shù)圖形時(shí)首先要考慮的.第一章里已經(jīng)給出了單調(diào)性的定義，現(xiàn)在介紹利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法.先從幾何直觀上分析，容易知道，如果曲線是上升的，其上每一點(diǎn)處的切線與x軸正向的夾角都有是銳角，切線的斜率大于零，也就是說f(x)在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于零；相反地，如果曲線是下降的，其上每一點(diǎn)處的切線與x軸正向的夾角都是鈍角，切線的斜率小于零，也就是說f(x)在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)小于零.一般地，有下面判定定理：定理 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo). 如果在(a,b)內(nèi)，f(x)0，

13、那么函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加； 如果在(a,b)內(nèi)，f(x)0，那么函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少.證 在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1，x2，設(shè)x1x2.由于f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，所以f(x)在閉區(qū)間x1,x2上連續(xù)，在開區(qū)間(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日（Lagrange）定理?xiàng)l件，因此有(x2)-f(x1)=f()(x2-x1) (x1x2)，因?yàn)閤2-x10，若f() 0，則f(x2)-f(x1) 0，即f(x2) f(x1).由于知，f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；若f() 0，同理可證，f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少.需要說明的是：這個判定定理只是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)

14、單調(diào)增加（或減少）的充分條件.在解決問題時(shí)為了方便，一般采用列表來分析f(x)在各個區(qū)間的符號.表中內(nèi)容應(yīng)包括以下幾個方面：1. 根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)（駐點(diǎn)）或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)分成幾個子區(qū)間；2. 導(dǎo)數(shù)的幾個因子在各區(qū)間內(nèi)的符號；3. 導(dǎo)數(shù)在各區(qū)間的符號；4. 函數(shù)在各區(qū)間的單調(diào)性.例1 證明：當(dāng)時(shí)，.證明 令所以，當(dāng)時(shí)，所以為嚴(yán)格遞增的，所以.例2 討論單調(diào)性.解 （1）當(dāng)時(shí)， 所以在上嚴(yán)格遞減；（2）當(dāng)時(shí) , 所以在-1，1上嚴(yán)格遞增；（3）當(dāng)時(shí)， 所以在上嚴(yán)格遞減.-+-上表中的通常稱為單調(diào)區(qū)間，并且稱為單調(diào)增加區(qū)間，稱為單調(diào)減少區(qū)間，而兩點(diǎn)恰為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，不難知.一般講，在定義域內(nèi)未

15、必單調(diào)，但可用適當(dāng)?shù)囊恍c(diǎn)把定義域分為若干個區(qū)間，便得在每一個區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù).而這些分點(diǎn)主要有兩大類：其一是導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，即的根；其二是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).事實(shí)上，只要在定義域內(nèi)連續(xù)，且只在有限n個點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在，則可用分點(diǎn)將區(qū)間分為若干個小區(qū)間，使得在各小區(qū)間上，保持有相同的符號，即恒正或恒負(fù)，這樣在每個小區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)，各小區(qū)間則相對地稱為單增區(qū)間或單減區(qū)間.例3 求的單調(diào)區(qū)間.解 在（-，+）上連續(xù)，當(dāng)x0時(shí)，再令y=0，解得，X=1為導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，又當(dāng)X=0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在，所以X=0為不可導(dǎo)的點(diǎn)，現(xiàn)用X=0和X=1作為分點(diǎn)來將（-，+）分為（-，0），（0，1）和（1

16、，+）三個區(qū)間，列表如下：-（1）在（-，0）上，所以在上為單增函數(shù)；（2）在（0，1）上，所以在（0，1）上單調(diào)遞減；（3）在上，所以在（1，+）上單調(diào)遞增.例4 方程（其中a0）有幾個實(shí)根？解 設(shè)令 ，用點(diǎn)將其定義域（0，+）分為和二個區(qū)間，且當(dāng)時(shí)，所以在是單調(diào)遞增的，故當(dāng)時(shí)，有. 當(dāng)時(shí)，所以在上為單調(diào)遞減的，故當(dāng)時(shí)，有. 由此可知，是函數(shù)f(x)的最高點(diǎn)，即對，下面來討論有幾個實(shí)根：（a）若1+lna0，即a1/e時(shí)，0，即方程無實(shí)根.（b）若1+lna=0，即a=1/e時(shí)，且僅在X=1/a=e時(shí)，有=0，此時(shí)，方程有唯一的解.（c）若1+lna0，即0a1/e時(shí)，f（1/a）0，又在（

17、0，1/a）上，單調(diào)遞增，且，故在（0，1/a）上，函數(shù)與x軸有一個且只一個交點(diǎn)，即方程的根，又在上，單調(diào)遞減，且，故在上，與X軸有一個且只有一個交點(diǎn)，即方程的根，合起來，此時(shí)方程有兩個實(shí)根.應(yīng)該指出，函數(shù)的單調(diào)性必將在駐點(diǎn)或尖點(diǎn)處改變，所以判斷函數(shù)單調(diào)性須先利用導(dǎo)數(shù)求出駐點(diǎn)或尖點(diǎn)，將定義域分成數(shù)個區(qū)間，然后再用單調(diào)性的判定定理來判斷該區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.3.4 函數(shù)的極值和最值教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)的極值和最值的概念，并掌握函數(shù)的極值和最值的判定定理，能對給定的函數(shù)教學(xué)判斷。教學(xué)重難點(diǎn)：函數(shù)的極值和最值的判定。主要內(nèi)容：函數(shù)的極值和最值的概念，函數(shù)的極值和最值的判定定理極值是函數(shù)的一種局部的性態(tài)

18、，它能幫助我們進(jìn)一步地把握函數(shù)的變化狀況，為準(zhǔn)確描繪函數(shù)圖形提供不可缺少的判斷信息，又為研究函數(shù)的最值問題奠定了基礎(chǔ).一 函數(shù)的極值及其求法極小值oxy圖3-3極大值 定義 設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義, 如果對于去心鄰域內(nèi)的任意的，有（或）, 則稱是函數(shù)的一個極大值（或極小值）.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 應(yīng)該說明，函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果是函數(shù)的一個極大值, 那只是就附近的一個局部范圍來說, 是的一個最大值; 如果就的整個定義域來說, 不一定是最大值. 對于極小值情況類似. 圖3.3極值與水平切線的關(guān)系: 如果在函數(shù)取得極值處有切

19、線, 曲線上的切線是水平的，這時(shí)極值存在. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 定理(必要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo), 且在處取得極值, 那么函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為零, 即. 定理1可敘述為：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn). 但是反過來, 函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn). 考察函數(shù)在處的情況. 顯然是函數(shù)的駐點(diǎn)，但卻不是函數(shù)的極值點(diǎn).定理(第一種充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù), 在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo). (1) 若時(shí)，, 而時(shí)，, 則函數(shù)在處取得極大值; (2) 若時(shí)，, 而時(shí)，, 則函數(shù)在處取得極小值; (3)如果時(shí)，不改變符號, 則函數(shù)在處沒有極值. 此定理也可以這樣理解: 當(dāng)在的鄰近漸增

20、地經(jīng)過時(shí), 如果的符號由負(fù)變正, 那么在處取得極大值; 如果的符號由正變負(fù), 那么在處取得極小值; 如果的符號并不改變, 那么在處沒有極值. 確定極值點(diǎn)和極值的步驟如下: (1) 求出導(dǎo)數(shù)； (2) 求出的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)； (3) 列表判斷、考察的符號在每個駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn)； （4）如果是極值點(diǎn), 還要按上述定理確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值； (5) 確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.例1 求出函數(shù)的極值解 令得駐點(diǎn) 列表討論：極大值極小值所以極大值極小值-13oxy圖3-4函數(shù)的圖形如3-4例2 求函數(shù)的極值. 解 顯然函數(shù)在內(nèi)連續(xù), 除外處處

21、可導(dǎo), 且 令, 得駐點(diǎn) ，為的不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷 -11+不可導(dǎo)-0+0所以極大值為, 極小值為. 如果存在二階導(dǎo)數(shù)且在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)不為零，則有 定理 (第二種充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)且, , 那么(1) 當(dāng)時(shí), 函數(shù)在處取得極大值; (2) 當(dāng)時(shí), 函數(shù)在處取得極小值; 證明 對情形(1), 由于, 由二階導(dǎo)數(shù)的定義有. 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 當(dāng)在的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí), . 但, 所以上式即為 . 于是對于去心鄰域內(nèi)的來說, 與符號相反. 因此, 當(dāng)即時(shí),; 當(dāng)即時(shí),. 根據(jù)定理,在處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 該定理說明：如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的二

22、階導(dǎo)數(shù), 那么該點(diǎn)一定是極值點(diǎn), 并可以按的符來判定是極大值還是極小值. 但如果, 第二充分條件的定理就不能應(yīng)用. 例如：討論函數(shù), 在點(diǎn)是否有極值？因?yàn)? ，所以，但當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 所以為極小值.而,，所以，但 不是極值 例3 求出函數(shù) 的極值2-4oxy圖3-5解 令得駐點(diǎn) ，由于有 所以點(diǎn)M（-4，60）為極大值點(diǎn)，極大值為.而所以極小值函數(shù) 的圖形見（圖3-5）.注意 當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處不一定取得極值，函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),可能是函數(shù)的極值點(diǎn).例4 求出函數(shù)的極值11 2 3yox圖3-6解 由于 ，所以時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在（此點(diǎn)實(shí)際上是尖點(diǎn)，見圖3-6）但當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以為的極大值函數(shù)的圖形（3-

23、6）例5 求函數(shù)的極值.解 ,令f (x)=0, 求得駐點(diǎn)又, 所以因此在處取得極小值, 極小值為. 因?yàn)? 所以用定理3無法判別. 而在處的導(dǎo)數(shù), 所以在處沒有極值; 同理, 在處也沒有極值. 值得一提的是：極值是函數(shù)的局部性概念，因此函數(shù)的極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.而且，駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn). 函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)處取得.二 函數(shù)的最值及其求法1極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 則必在開區(qū)間內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因

24、此, 函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者. 2最大值和最小值的求法: 設(shè)在內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為, 則比較的大小, 其中最大的便是函數(shù)在上的最大值, 最小的便是函數(shù)在上的最小值. 求最大值和最小值的步驟(1).求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (2).求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,最大者就是最大值,最小者就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)例6 求函數(shù)在上的最大值和最小值解 由于 因此函數(shù)在上

25、的最大值為最小值為 例7 求函數(shù)在上的最大值與最小值.解 由于 , 所以 求得在(-3, 4)內(nèi)的駐點(diǎn)為，不可導(dǎo)點(diǎn)為 而，, 經(jīng)比較在處取得最大值20, 在處取得最小值0. 3. 最值的應(yīng)用實(shí)際問題求最值基本上分兩步:(1)建立目標(biāo)函數(shù)（題設(shè)問題中所要研究的函數(shù)）；(2)通過導(dǎo)數(shù)求最值.例8 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運(yùn)輸需要, 要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠C修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省, 問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？（圖3-7）圖3-7解 設(shè), 則 ,

26、 . 再設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y, 那么(是比例常數(shù))，即 .于是問題歸結(jié)為: 在內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)的值最小.先求對的導(dǎo)數(shù): .解方程得. 由于, , 其中以為最小, 因此當(dāng)時(shí)總運(yùn)費(fèi)最省.應(yīng)該知道，在一個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點(diǎn),且該駐點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn),那么當(dāng)是極大值時(shí),就是該區(qū)間上的最大值；當(dāng)是極小值時(shí),就是在該區(qū)間上的最小值.（見圖3-8和圖3-9） f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y圖3-9 f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y圖3-8實(shí)際問題中往往根據(jù)問題的性質(zhì)來斷定函數(shù)確有最大值或最小值, 并且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時(shí)如果在定義區(qū)間內(nèi)

27、部只有一個駐點(diǎn), 那么不必討論是否是極值就可斷定是最大值或最小值. d hb圖3-10例9 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁. 問矩形截面的高和寬應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大?解 與有下面的關(guān)系: 因而于是問題轉(zhuǎn)化為: 當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)目標(biāo)函數(shù)W 取最大值？為此, 求W對b 的導(dǎo)數(shù) .解方程得駐點(diǎn). 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 且在內(nèi)部取得; 又函數(shù) 在內(nèi)只有一個駐點(diǎn), 所以當(dāng)時(shí), W 的值最大.此時(shí), , 即且.則有. 例10 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月

28、需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？解 設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為= ， （唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為ACBP（x ,y ）圖3-11例11 由直線及拋物線圍成一個曲邊三角形,在曲邊上求一點(diǎn),使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形面積最大.解 設(shè)所求切點(diǎn)為 切線PT 由于 所以 令 解得 (舍去)又因?yàn)?所以為極大值故為所有三角形中面積的最大者.3.5 對函數(shù)性態(tài)分析及作圖教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)的凸凹性及拐點(diǎn)的定義，并掌握函數(shù)的凸凹性的判定定理。求解函數(shù)拐點(diǎn)的方法。 理解函數(shù)的漸近線并會求函數(shù)的漸近線。 掌握函數(shù)的作圖方法，會

29、做出給定函數(shù)的圖像。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的凸凹性的判定定理，求解函數(shù)拐點(diǎn)的方法和步驟，會求函數(shù)的漸近線，會做出給定函數(shù)的圖像函數(shù)y=f(x)的圖形就是方程y=f(x)的曲線，為了更準(zhǔn)確地研究函數(shù)的圖形和特征，只是掌握函數(shù)的單調(diào)性和極值是不夠的，還要研究函數(shù)的凹向即函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn).一 函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)定義 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是下凹的（即凸函數(shù)），該區(qū)間稱為凸區(qū)間；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是上凹的（即凹函數(shù)），該區(qū)間稱為凹區(qū)間.y=f(x)圖3-14定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)， 若時(shí)，恒有，則

30、曲線在內(nèi)呈凹向； 若時(shí)，恒有，則曲線在內(nèi)呈凸向.因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)增加，從小變大，曲線上凹；反之，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，從大變小，曲線下凸.定義 曲線凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).拐點(diǎn)既然是凹凸的分界點(diǎn)，那么在拐點(diǎn)的左、右鄰近必然異號，因而在拐點(diǎn)處有或不存在.與駐點(diǎn)的情形類似，使的點(diǎn)只是可能的拐點(diǎn).究竟是否為拐點(diǎn)，還要根據(jù)在該點(diǎn)的左、右鄰近是否異號來確定.于是，我們歸納法出求拐點(diǎn)的一般步驟： 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)； 令，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； 對步驟求出的每一個點(diǎn)，檢查其左、右鄰近的的符號，如果異號則該點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)；如果同號則該點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn).01+0-0+拐點(diǎn)拐點(diǎn)例1 求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解 ， ，令，解得，.得仿照求函數(shù)極值的方法，列表來討論曲線的凸凹區(qū)間和拐點(diǎn)：曲線在及兩個區(qū)間上凹，在區(qū)間下凸，和是它的兩個拐點(diǎn).例2 求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解 ，；令，解得；我們注意到，只要，恒有，即在的左、右鄰近是同號，而函數(shù)沒有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，所以曲線沒有拐點(diǎn)，它在上是上凹的.例3 求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解 ，；在內(nèi)恒不為零，但時(shí)，不存在，但在處連續(xù)，且，因此需要判斷點(diǎn)是否為拐點(diǎn).圖3-15y240x在4的左側(cè)鄰近時(shí)，；在4的右側(cè)鄰