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文檔簡介

1、第一章 矩陣與行列式,1.5 行列式的按行按列展開,2,3,4,5,設 在 階行列式 中，劃掉元,素 所在的行與列后所得到的 階行列式,稱為是元素 的余子式，記為 即,1.5.1 余子式及代數(shù)余子式,稱 為元素 的代數(shù)余子式.,6,與其代數(shù)余子式乘積之和，即,行列式按行或列的展開定理,定理 設 為行列式 中元素,的代數(shù)余子式，則,行列式 等于它的任意一行或列各元素,7,證明 分三步來證明以上定理.,素均為零的情形，此時由行列式的定義,首先討論 的第 行除 外，其余元,可得,8,零的情形，由行列式行交換和列交換性質將其,其次討論 的第 行除 外，其余元素均為,化為中行列式，再利用的結果，可得,9

2、,最后討論一般情形：利用行列式的分裂可加性,及中的結果有,10,按列展開同理可證.,此即行列式按第 行展開.,11,解答 將第一行的適當倍數(shù)加之其他行，得,例題 計算四階行列式,12,按第3列展開,按第1行展開,13,定理 設,則有,14,對 作運算 化 為下三角行列式,15,對 的前 行作運算 ，對 的后 列作,運算 ，化 為下三角行列式,所以,16,提醒 上例中的公式可簡記為,其中 是 個元素排成 行 列；,是 個元素排成 行 列；,是任意 個元素排成 行 列；,是任意 個數(shù) 排成 行 列；,提醒 由行列式性質1,及以上公式有,17,提醒 由行列式的性質3及前面兩個公式有,其中 是 個元素

3、排成 行 列；,是 個元素排成 行 列；,18,例題 計算行列式,解答 直接由以上公式有,原行列式,19,例題 計算行列式,解答,上面公式,20,練習 計算行列式,課堂練習：行列式的計算,答案 該題答案為4.,21,定理 設 階行列式,表 的第 行的元素 被,表 中元素 的代數(shù)余子式， 表,換為 后的行列式，則,22,即,提醒 對階行列式的列，有類似的結論成立！,23,定理 行列式某一行的元素與另一行的對應元素,的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,提醒 行列式某一列的元素與另一列的對應元素,的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,24,例題 已知5階行列式,求 和 其中,為 的第4行第,列元素的代數(shù)余子式.,25,解答 將行列式按第4行展開有,第2行元素與第4行元素的代數(shù)余子式乘積之和為零,聯(lián)立以上兩式可解得,26,練習 計算行

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