1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2013年廣東，理1，5分】設(shè)集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】易得，所以，故選D（2）【2013年廣東，理2，5分】定義域為的四個函數(shù)，中，奇函數(shù)的個數(shù)是（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1【答案】C【解析】，為奇函數(shù)；為偶函數(shù)；為非奇非偶函數(shù)共有2個奇函數(shù)，故選C（3）【2013年廣東，理3，5分】若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【

2、解析】由，得，故對應(yīng)點的坐標(biāo)為，故選C（4）【2013年廣東，理4，5分】已知離散型隨機(jī)變量的分布列為123 則的數(shù)學(xué)期望（ ）（A） （B）2 （C） （D）3【答案】A【解析】，故選A（5）【2013年廣東，理5，5分】某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（ ）（A）4 （B） （C） （D）6【答案】B【解析】解法一：由三視圖可知，原四棱臺的直觀圖如圖所示， 其中上、下底面分別是邊長為1，2的正方 形，且面，上底面面積，下底面面積又，故選B解法二：由四棱臺的三視圖，可知原四棱臺的直觀圖如圖所示在四棱臺中，四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1都為正方形，且平面，分別延長四棱臺各個

3、側(cè)棱交于點，設(shè)，因為，所以， 即，解得，故選B（6）【2013年廣東，理6，5分】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）（A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則【答案】D【解析】選項A中，與還可能平行或異面，故不正確；選項B中，與還可能異面，故不正確；選項C中，與還可能平行或相交，故不正確；選項D中，又，故選D（7）【2013年廣東，理7，5分】已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，離心率等于，在雙曲線的方程是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由曲線的右焦點為，知由離心率，知，則，故，所以雙曲線的方程為，故選B（8）【2013年廣東，理8，

4、5分】設(shè)整數(shù)，集合令集合且三條件，若和都在中，則下列選項正確的是（ ）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】B【解析】解法一：特殊值法，不妨令，則，故選B解法二：由，不妨取，要使，則或當(dāng)時，故，當(dāng)時，故，綜上可知，故選B二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913）（9）【2013年廣東，理9，5分】不等式的解集為 【答案】【解析】即，解得，故原不等式的解集為（10）【2013年廣東，理10，5分】若曲線在點處的切線平行于軸，則 【答案】【解析】因為曲線在點處的切線平行于軸，所以切線斜率為零，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，故，即（11）【2013年廣東，

5、理11，5分】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為4，則輸出的值為 【答案】7【解析】第一次循環(huán)后:；第二次循環(huán)后:；第三次循環(huán)后:；第四次循環(huán)后:；故輸出7（12）【2013年廣東，理12，5分】在等差數(shù)列中，已知，則 【答案】20【解析】依題意，所以 或:（13）【2013年廣東，理13，5分】給定區(qū)域：，令點集是在上取得最大值或最小值的點，則中的點共確定 條不同的直線【答案】6【解析】畫出可行域如圖所示，其中取得最小值時的整點為，取得最大值時的整 點為，及共個整點故可確定條不同的直線（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）（14）【2013年廣東，理14，5分】（坐標(biāo)系與參數(shù)方

6、程選做題）已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在點處的切線為，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則的極坐標(biāo)方程為 【答案】【解析】曲線的普通方程為，其在點處的切線的方程為，對應(yīng)的極坐標(biāo)方程為，即（15）【2013年廣東，理15，5分】（幾何證明選講選做題）如圖，是圓的直徑，點在圓上，延長到使，過作圓的切線交于若，則 【答案】【解析】依題意易知，所以，又，所以，從而 三、解答題：本大題共6題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（16）【2013年廣東，理16，12分】已知函數(shù)，（1）求的值；（2）若，求解：（1） （2），因為，所以，所以，所以（17）【2013年廣東，理1

7、7，12分】某車間共有名工人，隨機(jī)抽取名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)（1）根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；（2）日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人根據(jù)莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優(yōu)秀工人；（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率解：（1）樣本均值為（2）由（1）知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為，故推斷該車間名工人中有名優(yōu)秀工人（3）設(shè)事件:從該車間名工人中，任取人，恰有名優(yōu)秀工人，則（18）【2013年廣東，理18，14分】如圖1，在等腰直角三角形中，分別是上的點，為的中點將沿折起，得到如圖2所示的四棱錐，其中（1）證明:平面；（2）求二

8、面角的余弦值解：（1）在圖1中，易得，連結(jié)，在中，由余弦定 理可得，由翻折不變性可知，所以，所以，理可證， 又，所以平面（2）解法一：過作交的延長線于，連結(jié)，因為平面，所以，為二面角的平面角由圖1可知，為中點，故，所以，所以二面角的平面角的余弦值為解法二：以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，解得，令，得由（1）知，為平面的一個法向量，所以，即二面角的平面角的余弦值為（19）【2013年廣東，理19，14分】設(shè)數(shù)列的前項和為已知，（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明:對一切正整數(shù)，有解：（1）依題意，又，所以（2）當(dāng)時，兩式相減得，整理得，即，

9、又，故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，； 當(dāng)時，此時 ，綜上，對一切正整數(shù)，有（20）【2013年廣東，理20，14分】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線:的距離為設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)點為直線上的定點時，求直線的方程；（3）當(dāng)點在直線上移動時，求的最小值解：（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為，由結(jié)合，解得所以拋物線的方程為（2）拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得，設(shè)，(其中)，則切線的斜率分別為，所以切線的方程為，即，即，同理可得切線的方程為，因為切線均過點，所以，所以為方程的兩組解所以直線的方程為（3）由拋物線定義可知，所以，聯(lián)立方程，消去整理得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，又點在直線上，所以，所以，所以當(dāng)時， 取得最小值，且最小值為（21）【2013年廣東，理21，14分】設(shè)函數(shù)(其中)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值解：（1）當(dāng)時， 令，得，當(dāng)變化時，