1、1,概 率 論,2,第三章 多維隨機(jī)變量及其分布,關(guān)鍵詞： 二維隨機(jī)變量 分布函數(shù) 分布律 概率密度 邊緣分布函數(shù) 邊緣分布律 邊緣概率密度 條件分布函數(shù) 條件分布律 條件概率密度 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度,3,1 二維隨機(jī)變量,問題的提出 例1：研究某一地區(qū)學(xué)齡兒童的發(fā)育情況。僅研究身高H的分布或僅研究體重W的分布是不夠的。需要同時(shí)考察每個(gè)兒童的身高和體重值，研究身高和體重之間的關(guān)系，這就要引入定義在同一樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。 例2：研究某種型號(hào)炮彈的彈著點(diǎn)分布。每枚炮彈的彈著點(diǎn)位置需要由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來確定，而

2、它們是定義在同一樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。,4,定義：設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間S=e； 設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義 在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的 向量(X,Y)叫做二維隨機(jī)向量 或二維隨機(jī)變量。,定義：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y， 二元函數(shù) 稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。,5,分布函數(shù) 的性質(zhì),6,7,二維離散型隨機(jī)變量,定義：若二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限對(duì)或可列無限對(duì)，則稱(X,Y)是離散型隨機(jī)變量。,離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布： 為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布。 可以用如右表格表示：,8,分布律的性質(zhì),例1：設(shè)隨

3、機(jī)變量X在1、2、3、4四個(gè)整數(shù)中等可能地取 一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1X中等可能地取一 整數(shù)值，試求(X,Y)的聯(lián)合概率分布。,解：(X=i,Y=j)的取值情況為：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整數(shù)。,即(X,Y)的聯(lián)合概率分布為：,9,10,二維連續(xù)型隨機(jī)變量,11,12,例3：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度：,13,14,例4：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常數(shù)k；(2) 求概率 解：,15,2 邊緣分布,二維隨機(jī)變量(X,Y)作為整體，有分布函數(shù) 其中X和Y都是隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù) 記為： 稱為邊緣分布函數(shù)。,事實(shí)上，,16,對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X

4、,Y)，分布律為,X,Y的邊緣分布律為：,注意：,17,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，概率密度為,事實(shí)上，,同理：,X,Y的邊緣概率密度為：,18,19,例2：(X,Y)的聯(lián)合分布律為 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的邊緣分布律； (3),(2),解： (1) 由分布律性質(zhì)知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4,20,例3：設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度 則稱(X,Y)在G上服從均勻分布。 現(xiàn)設(shè)(X,Y)在有界區(qū)域上均勻分布，其概率密度為 求邊緣概率密度 解：,21,22,23,3 條件分布,由條件概率公式可得：,當(dāng)i取遍所有可能的值，就得到了

5、條件分布律。,24,定義：設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量， 對(duì)于固定的yj，,同樣，對(duì)于固定的xi，,25,例1：盒子里裝有3只黑球，4只紅球，3只白球，在其中 任取2球，以X表示取到黑球的數(shù)目，Y表示取到紅球 的只數(shù)。求 （1）X，Y的聯(lián)合分布律； （2）X=1時(shí)Y的條件分布律； (3) Y=0時(shí)X的條件分布律。,解：X, Y的聯(lián)合分布律為,26,故在X=1的條件下，Y的分布律為：,同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的條件下，X的分布律為：,27,例2：一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為 射 擊直中目標(biāo)兩次為止，設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的 射擊次數(shù)，以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)，試求X和

6、Y的聯(lián) 合分布律和條件分布律。 解：,28,29,例3：設(shè)參加考研的學(xué)生，正常發(fā)揮的概率為a,超常發(fā)揮的概率為b，發(fā)揮失常的概率為c，a+b+c=1。設(shè)某班有10人參加考研，發(fā)揮正常的人數(shù)為X，發(fā)揮超常的人數(shù)為Y。求 （1）（X,Y)的聯(lián)合分布律； （2）P(X+Y1)； （3）在Y=3的條件下，X的分布律。,解: (1)X, Y的聯(lián)合分布律為,30,31,定義：條件分布函數(shù),32,定義：條件概率密度,33,也就是，由,事實(shí)上，,34,條件概率密度的直觀意義：,35,例4：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域 內(nèi)均勻分布，求條件概率密度,二維均勻分布的條件 分布仍為均勻分布,解： 根據(jù)題意，(X,Y

7、) 的概率密度為：,Y的邊緣概率密度為：,于是給定y(-1y1)，X的條件概率密度為：,36,37,4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,38,例1：1例2中X和Y是否相互獨(dú)立？即(X,Y)具有概率密度,請(qǐng)問：連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)有何特征？,計(jì)算得，X和Y的邊緣概率密度分別為：,39,40,41,42,43,44,一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果,45,46,邊緣分布 如：,47,相互獨(dú)立,48,定理1： 定理2：,49,5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,50,51,52,53,例3：設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，求 的概率密度。,解：由卷積公式：,一般：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，,54,例

8、4：X,Y相互獨(dú)立，同時(shí)服從0,1上的均勻分布，求 的概率密度。,解：根據(jù)卷積公式：,易知僅當(dāng),參考圖得：,55,例5：設(shè)X,Y相互獨(dú)立、服從相同的指數(shù)分布，概率密度為： 求 的概率密度。,解：根據(jù)卷積公式：,56,一般的，可以證明： 若X,Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為 X,Y的概率密度分別為 證明：這是例3的推廣，由卷積公式,由此可知：,57,58,推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況 設(shè)X1,X2,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為： 則：,59,60,例7：設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2聯(lián)結(jié)而成，聯(lián)結(jié)的方式分別為：(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)； (3)備用(當(dāng)系統(tǒng)L1損

9、壞時(shí)，系統(tǒng)L2開始工作)。 如圖，設(shè)L1,L2的壽命分別為X,Y，已知它們的概率密度分別為： 試分別就以上三種聯(lián)結(jié)方式寫出L的壽命Z的概率密度。,61,串聯(lián)的情況 由于當(dāng)L1,L2中由一個(gè)損壞時(shí)，系統(tǒng)L就停止工作，所以L的壽命為Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函數(shù)分別為： 故Z的分布函數(shù)為： 于是Z的概率密度為：,即Z仍服從指數(shù)分布,62,并聯(lián)的情況 由于當(dāng)且僅當(dāng)L1,L2都損壞時(shí)，系統(tǒng)L才停止工作，所以這時(shí)L的壽命為Z=max(X,Y)，Z的分布函數(shù)為： 于是Z的概率密度為：,63,備用的情況 由于這時(shí)當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)，系統(tǒng)L2才開始工作，因此整個(gè)系統(tǒng)L的壽命Z是L1,L2壽命之和，即

10、Z=X+Y； 因此：,64,復(fù)習(xí)思考題 3,1.設(shè)(X,Y)為二維向量， 則Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1, y1),對(duì)嗎？ 2.設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)量，則PX+Y =1=0,對(duì)嗎？ 3.(X,Y)為二維連續(xù)型向量，f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度， fX(x)和fY(y)分別為關(guān)于X和Y的邊緣概率密度，若有一點(diǎn)(x0,y0)使 f(x0,y0) fX(x0)fY(y0)則X和Y不獨(dú)立，對(duì)嗎？,65,關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)期望 方差 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù),第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,66,問題的提出： 在一些實(shí)際問題中，我們需要了解隨機(jī)變量 的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的

11、某些特征。 例： 在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的 是平均產(chǎn)量； 在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的 平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的 偏離程度； 考察杭州市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異 程度。,67,定義： 定義：,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值。,1 數(shù)學(xué)期望,68,例1：,69,例2：有2個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命 服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這2個(gè)電子裝置串聯(lián)聯(lián)接 組成整機(jī)，求整機(jī)壽命N(以小時(shí)計(jì))的數(shù)學(xué)期望。 解：,問題：將2個(gè)電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)， 整機(jī)壽命的期望又是多少？,只要求出一般指數(shù)分布的期

12、望（即E(X1)，就可得到E(N).,70,例3：設(shè)一臺(tái)機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生 故障時(shí)全天停工。若一周5個(gè)工作日里無故障，可獲 利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生2次故障 獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬元，求一周內(nèi) 期望利潤(rùn)是多少？,解：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)，,設(shè)Y表示一周內(nèi)所獲利潤(rùn)，則,71,例4：,72,例5：,73,74,75,例6：,76,例7：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：,77,78,數(shù)學(xué)期望的特性：,這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量線性組合的情況,79,證明：,下面僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明：,80,例9：一民航送客車載有20

13、位旅客自機(jī)場(chǎng)出發(fā)，旅客有10 個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就 不停車，以X表示停車的次數(shù)，求 (設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅 客是否下車相互獨(dú)立),本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和 的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望， 這種處理方法具有一定的普遍意義。,解：引入隨機(jī)變量：,81,例10：,82,2 方差,設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時(shí)，另一半約1050小時(shí)平均壽命為1000小時(shí)； 另一批燈泡壽命為： 一半約1300小時(shí)，另一半約700小時(shí)平均壽命為1000小時(shí)； 問題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？,單從平均壽命這一指標(biāo)無法判斷，進(jìn)一步

14、考察燈泡壽命X與均值1000小時(shí)的偏離程度。 方差正是體現(xiàn)這種意義的數(shù)學(xué)特征。,83,定義：,84,對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，,此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差的計(jì)算公式：,85,例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望,86,例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為： 解：,87,例3： 解：,88,例4：,解：X的概率密度為：,89,例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為：,即對(duì)指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù),90,方差的性質(zhì)：,91,證明：,92,例6：,例7： 解：,95,例8：設(shè)活塞的直徑(以cm計(jì)) 汽缸的直徑 X,Y相互獨(dú) 立，任取一只活塞，

15、任取一只汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。,96,表1 幾種常見分布的均值與方差,數(shù)學(xué)期望 方差,分布率或 密度函數(shù),分布,97,3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。 定義：,98,協(xié)方差的性質(zhì)：,99,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,續(xù),100,101,102,例1：設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知 ,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否 不獨(dú)立？,103,104,續(xù),105,續(xù),106,107,例3：設(shè)X,Y相互獨(dú)立服從同一分布，方差存在， 記U=X-Y,

16、V=X+Y,則隨機(jī)變量U與V是否一 定不相關(guān)，是否一定獨(dú)立？,108,4 矩、協(xié)方差矩陣,109,利用協(xié)方差矩陣，可由二維正態(tài)變量的概率密度推廣，得到n維正態(tài)變量的概率密度。,112,n維正態(tài)變量具有以下四條重要性質(zhì)：,113,復(fù)習(xí)思考題 4,1.敘述E(X)和D(X)的定義。,114,4.試述計(jì)算隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望Eg(X)的兩種方法。 5.設(shè)XN(,2),用如下兩種方法求E(X2)： (1)E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2； (2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=2； 兩種結(jié)果不一樣，哪一種錯(cuò)？為什么？ 6.設(shè)X和Y為兩隨機(jī)變量，且已知D(X)=6, D(Y)=7, 則D(XY)=D(X)D(Y)=67=10,這與任意一個(gè)隨機(jī)變量的方 差都不小于零相矛盾，為什么？,115,7.考慮100包水泥的總重量Y用以下兩種方式表示： (1)設(shè)第i袋水泥的重量為Xi , i=1,2,100, 由題意知, Xi N(50,2.52),Y=Xi , 則YN(10