1、6.3 微分和積分,數(shù)值微分,有限差分 1求元素之差函數(shù)diff( ) 格式一：A=diff(x) 功能：計(jì)算x中相鄰元素之間的差值或近似導(dǎo)數(shù)。如果x為向量，則返回一個(gè)比x少一個(gè)元素的向量，其元素值為x(2)-x(1)，x(3)-x(2)，x(n)-x(n-1)；如果x為矩陣，則返回一個(gè)列間差值的矩陣：x(2:n,:) - x(1:n-1,:)。 格式二：A=diff(x, n) 功能：使用diff函數(shù)遞歸 n 次，計(jì)算第n階差值。例如，diff(x,2) = diff(diff(x)。,2020/9/13,第6章 數(shù)值計(jì)算功能,2,例6-21 使用diff函數(shù)求數(shù)值微分。 解：在命令窗口中輸

2、入如下命令，并按Enter鍵確認(rèn)。 h = .002; x = 0:h:pi; diff(sin(x.2)/h; %is an approximation to 2*cos(x.2).*x X=6,9,3,4,0;5,4,1,2,5;6,7,7,8,0;7,8,9,10,0 X = 6 9 3 4 0 5 4 1 2 5 6 7 7 8 0 7 8 9 10 0 A=diff(X) A = -1 -5 -2 -2 5 1 3 6 6 -5 1 1 2 2 0 B=diff(X,2) B = 2 8 8 8 -10 0 -2 -4 -4 5,2020/9/13,第6章 數(shù)值計(jì)算功能,3,2求數(shù)值

3、梯度函數(shù)gradient( ),兩變量函數(shù)F(x, y)的梯度定義為,對N個(gè)變量函數(shù) F(x,y,z, ) 其梯度為,梯度可看作指向F增加方向的向量集。,格式一：Fx=gradient(F) 功能：F為一向量，返回F的一維數(shù)值梯度，F(xiàn)x與,一致，表示x方向的差分。,格式二：Fx, Fy=gradient(F) 功能：F為一矩陣，返回二維數(shù)值梯度的x和y分量。 Fx與,表示x(列)方向的差分,Fy與,一致，表示y(行)方向的差分。每個(gè)方向點(diǎn)間距離設(shè)為1。,函數(shù)的數(shù)值積分 數(shù)值積分實(shí)際是計(jì)算函數(shù)曲線下的面積，即定積分 基本思想是將整個(gè)積分區(qū)域劃分為若干子區(qū)間。 矩形求積函數(shù)cumsum cumsu

4、m (x)對向量x，返回一個(gè)向量，該向量的第N個(gè)元素是x 的前N個(gè)元素的和, x1=1 2 3 4 5 6 7 8 x1 = 1 2 3 4 5 6 7 cumsum(x1) ans = 1 3 6 10 15 21 28 36, x2=1 2 3 ;4 5 6;7 8 9 x2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cumsum(x2) ans = 1 2 3 5 7 9 12 15 18, x=0:0.1:10; y=sin(x); z=cumsum(y)*0.1; plot(x,y,r-,x,z,k*) ,例6-25 使用cumsum函數(shù)求函數(shù)sin(x)在0,10區(qū)間內(nèi)的積分。,-t

5、rapz函數(shù)(梯形求積),格式一：T=trapz(Y) 功能：以單位間隔，采用計(jì)算若干梯形面積的和來計(jì)算某函數(shù)的近似積分。如果Y為向量，計(jì)算Y的積分；如果Y是矩陣，得一個(gè)每列積分的行向量；如果Y為多維數(shù)組，則沿第一個(gè)非單元素維計(jì)算。 格式二：T=trapz(X,Y) 功能：用梯形積分法，依據(jù)X計(jì)算Y的積分。如果X為矢量，則Y必須是同大小的矢量；如果X是一列向量，并且數(shù)組Y第一非單元素維長度為length(X)，則在該維中計(jì)算。,例6-26 trapz函數(shù)采用梯形求積法來求解積分。 X=1 2 3 4 5 6 7 8 9 X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z1=trapz(X) Z1

6、= 40,Cumsum函數(shù)對向量求積分時(shí)返回一個(gè)向量（不定積分） ，Trapz函數(shù)返回一個(gè)數(shù)值（定積分）,-自適應(yīng)法(Simpson法) 低階數(shù)值積分函數(shù)quad 格式一：q=quad(fun,a,b) 功能：采用自適應(yīng)的Simpson積分方法，返回函數(shù)fun 在上限 a 和下限 b之間的數(shù)值積分。當(dāng)給定一個(gè)輸入值向量，fun 必須返回一個(gè)輸出向量。函數(shù)fun可以是函數(shù)名、函數(shù)句柄或字符串。 格式二：q=quad(fud,a,b,tol) 功能：按指定絕對誤差tol返回?cái)?shù)值積分值, tol 缺省值為 1e-6。,例6-27 quad函數(shù)使用自適應(yīng)法(Simpson法)來求解積分。 函數(shù) 先編制

7、M文件如下。 function f=fun1(x) f=x.2./(1+sin(x)+x.2); end 將該M文件以fun1.m為函數(shù)名保存。繼續(xù)在命令窗口中輸入如下命令，并按Enter鍵確認(rèn)。 quad(fun1,0,1) ans = 0.2301 ,-高階自適應(yīng)法(Newton-Cotes法) 高階quad8函數(shù) 默認(rèn)相對誤差為1e-3,例6-28 quad8函數(shù)使用自適應(yīng)法(Simpson法)來求解積分。 函數(shù) 先編寫M文件如下。 function f=fun2(x) f=x.2./exp(-x); end 在命令窗口中輸入如下命令，并按Enter鍵確認(rèn)。 quad8(fun2,0,3

8、) ans = 98.4277 a=quad8(fun2,1,3,1e-10,1e-11) a = 97.7094,2020/9/13,第6章 數(shù)值計(jì)算功能,9,雙重積分函數(shù)dblquad MATLAB提供了一個(gè)求雙重積分的函數(shù)dblquad，其基本調(diào)用格式為： 格式：Q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 功能：按指定精度tol，對指定函數(shù) f(x, y)在xmin, xmax范圍和ymin, ymax范圍進(jìn)行雙重積分。精度tol缺省時(shí)默認(rèn)精度為1e-6。,例：求積分 q=dblquad(exp(-x.2.-y2),-1,1,-1,1) q = 2.23

9、10,6.4 MATLAB 7與線性代數(shù),矩陣的特征值函數(shù)及其功能,矩陣求逆函數(shù)inv及行列式值函數(shù)det 逆矩陣的定義：對于任意階 nn 方陣A，如果能找到一個(gè)同階的方陣V，使得滿足：A*V=I。其中I為n階的單位矩陣eye(n)。則V就是A的逆矩陣。數(shù)學(xué)符號表示為：V=A-1。逆矩陣V存在的條件是A的行列式不等于0。 格式：V=inv(A) 功能：返回方陣A的逆矩陣V。,矩陣的逆運(yùn)算 A=1 0 0 0;1 2 0 0;2 1 3 0;1 2 1 4 A = 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 3 0 1 2 1 4 B=inv(A) B = 1.0000 0 0 0 -0.5000

10、0.5000 0 0 -0.5000 -0.1667 0.3333 0 0.1250 -0.2083 -0.0833 0.2500 ,矩陣的秩 T1=1 1 1;2 2 3 T1 = 1 1 1 2 2 3 r=rank(T1) r = 2 ,矩陣的分解運(yùn)算,三角分解(lu) 正交分解(qr) 特征值分解(eig) Chollesky分解(chol) 奇異值分解(svd),三角分解(lu) X=6 2 -1;2 4 0;1 4 -1;-1 -1 3 L,U=lu(X) L = 1.0000 0 0 0.3333 0.9091 0.4068 0.1667 1.0000 0 -0.1667 -0.

11、1818 1.0000 U = 6.0000 2.0000 -1.0000 0 3.6667 -0.8333 0 0 2.6818 ,正交分解 A=17 3 4;3 1 12;4 12 8 Q,R=qr(A) Q = -0.9594 0.2294 0.1643 -0.1693 -0.0023 -0.9856 -0.2257 -0.9733 0.0411 R = -17.7200 -5.7562 -7.6749 0 -10.9939 -6.8967 0 0 -10.8412,矩陣的翻轉(zhuǎn) A=randn(3) A = -0.4326 0.2877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273 B=fliplr(A) B = 1.1892 0.2877 -0.4326 -0.0376 -1.1465 -1.6656 0.,7. MATLAB 7 與概 率 統(tǒng) 計(jì),隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生,均勻分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生 （unifrnd） R=unifrnd(A,B)返回區(qū)間A,B上的連續(xù)型均勻分布 R=unifrnd(A,B,M,N)返回一個(gè)