1、第二節(jié) 三角函數的誘導公式,三年1考 高考指數: 能利用單位圓中的三角函數線推導出 ，的正弦、 余弦、正切的誘導公式.,1.利用誘導公式求值或化簡三角函數式是考查重點也是熱點. 2.主要以選擇題、填空題的形式考查.,三角函數 的誘導公 式 （1）三角 函數的誘 導公式：,-sin,sin,cos,tan,cos,-sin,-cos,tan,sin,-cos,-tan,-tan,cos,sin,cos,-sin,（2）誘導公式的記憶方法與規(guī)律： 記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”.（解釋：公式中 的角可以表示為k （kZ）的形式，“奇、偶”是指k 的奇偶性；“符號”是指把任意角看作是銳角時原函

2、數值的 符號） 可以分類記憶：函數名稱“變與不變”，函數值的符號“變 與不變”.,【即時應用】 (1)思考:“符號看象限”中符號是否與的大小有關？ 提示:無關，只是把從形式上看作銳角，從而2k+(kZ)，+,-,-, -， +分別是第 一、三、四、二、一、二象限角.,（2）sin(- )=_. 【解析】sin(- )=-sin(+ )=sin = . 答案：,(3)已知tan(+)=3,則 【解析】tan(+)=3,tan=3. 原式= 答案：7,利用誘導公式求值 【方法點睛】 利用誘導公式解題的原則和步驟 1.誘導公式應用的原則： 負化正、大化小，化到銳角為終了. 2.誘導公式應用的步驟：,

3、任意負角的三角函數,任意正角的三角函數,02的角的三角函數,銳角三角函數,【提醒】誘導公式應用時不要忽略了角的范圍和三角函數的符 號.,【例1】(1)已知tan=2,sin+cos0, 則 (2)已知為第三象限角, f()= 化簡f()； 若cos(- )= ,求f()的值.,【解題指南】（1）先利用誘導公式對原式進行化簡，再根據 tan=2,結合的范圍和同角三角函數關系式求解. (2)直接利用誘導公式化簡約分.利用在第三象限及同角 三角函數關系的變形式得f().,【規(guī)范解答】(1)原式=sin， tan=20,為第一象限角或第三象限角， 又sin+cos0,為第三象限角. 由tan= =2,

4、得sin=2cos代入sin2+cos2=1,解得 sin=- . 答案：-,(2)f()= cos(- )= , -sin= ,從而sin=- . 又為第三象限角,cos=- 即f()的值為 .,【互動探究】把本例中(1)的已知條件改為tan=3, sin+cos0,再求所給式子的值. 【解析】tan=3,sin+cos0, 為第一象限角,tan= =3,得sin=3cos,代入 sin2+cos2=1,解得:sin= .,【反思感悟】在利用誘導公式求值時，一般要先化簡，再根 據條件求值，掌握誘導公式的關鍵是對“函數名稱”和“正負 號”的正確判斷.另外，誘導公式的應用非常靈活，可以正 用、逆

5、用和變形應用,但是要盡量避開平方關系.,【變式備選】已知sin(- )=a(a1,a0), 求cos(+ )tan(- )+ 的值. 【解析】cos(+ )tan(- )+ =-cos(- )tan(- )+ =-sin(- )-,利用誘導公式化簡證明 【方法點睛】 1.利用誘導公式化簡三角函數的思路和要求 （1）思路方法：分析結構特點，選擇恰當公式；利用公 式化成單角三角函數；整理得最簡形式. （2）化簡要求：化簡過程是恒等變形；結果要求項數盡 可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值.,2.三角恒等式證明的常用方法 (1)從左向右證或從右向左證(以從繁化到簡為原則). (2)

6、兩邊向中間證. (3)證明一個與原等式等價的式子,從而推出原等式成立.,【例2】(1)化簡: (2)求證:對于任意的整數k, 【解題指南】(1)把所給的三角函數式化簡，約分得結果. (2)由于此題中的k不明確，需要對其分偶數和奇數討論.,【規(guī)范解答】(1)原式= (2)當k為偶數時,設k=2n(nZ), 則原式= 當k為奇數時,設k=2n+1（nZ）， 則原式= 故對任意的整數k,【互動探究】將本例(1)化簡式變?yōu)?如何化簡? 【解析】原式,【反思感悟】1.在用誘導公式時,式子符號的判斷看象限,注 意把任意角看成銳角來處理. 2.把異角利用誘導公式化為同角,再用同角三角函數關系式化 簡是求解的

7、關鍵.,【變式備選】(1)化簡 (2)求證:,【解析】(1)因為 = =-sin， = 所以原式=-sin+sin=0.,(2)因為左邊 =-1=右邊, 所以原等式成立.,誘導公式在三角形中的應用 【方法點睛】 三角形中的誘導公式 在三角形ABC 中常用到以下結論: sin(A+B)=sin(-C)=sinC, cos(A+B)=cos(-C)=-cosC, tan(A+B)=tan(-C)=-tanC, sin( )=sin( )=cos , cos( )=cos( )=sin .,【例3】在ABC中，若sin(2-A)=- sin(-B), cosA= - cos(-B),求ABC的三個內

8、角. 【解題指南】先利用誘導公式化簡已知條件，再利用平方關系 求得cosA，進而可求得角A,B,C.,【規(guī)范解答】由已知得sinA= sinB, cosA= cosB兩式平 方相加得2cos2A=1, 即cosA= 或cosA=- . (1)當cosA= 時,cosB= , 又角A、B是三角形的內角,A= ，B= , C=-（A+B）= . （2）當cosA=- 時，cosB=- , 又角A、B是三角形的內角，A= ，B= ，不合題意. 綜上知，A= ，B= ，C= .,【反思感悟】1.三角形中常用角的變形結論有：A+B=-C； 2A+2B+2C=2； 2.求角時，一般先求出該角的某一三角函數

9、值，再確定該角的 范圍，最后求角.,【變式訓練】在三角形ABC中， （1）求證：cos2 +cos2 =1； （2）若cos( +A)sin( +B)tan(C-)0，求證：三角形ABC為鈍角三角形. 【證明】(1)在ABC中，AB-C, = - , cos =cos( - )=sin , cos2 +cos2 =1.,(2)若cos( +A)sin( +B)tan(C-)0, 則(-sinA)(-cosB)tanC0,即sinAcosBtanC0, 在ABC中,0A,0B,0C, B為鈍角或C為鈍角,故ABC為鈍角三角形.,【滿分指導】關于誘導公式主觀題的規(guī)范解答 【典例】（12分）（201

10、2合肥模擬）已知sin(+ )= - ,(0,), （1）求 的值; （2）求cos(2- )的值. 【解題指南】利用已知結合誘導公式求出cos和sin，把所 給三角函數式利用誘導公式和三角函數關系式化簡，即可求得.,【規(guī)范解答】（1）sin(+ )=- ,2分 cos=- ,又(0,),sin= .4分 6分,(2)cos=- ,sin= ,(0,) sin2=- , cos2=- ,10分 cos(2- )=- cos2+ sin2=- .12分,【閱卷人點撥】通過閱卷數據分析與總結，我們可以得到以下 失分警示和備考建議：,1.(2012中山模擬)已知tan=-a,則tan(-)的值等于 ( ) （A）a （B）-a （C） （D）- 【解析】選A.tan(-)=-tan=a.,2.(2012唐山模擬) sin(-210)=_. 【解析】sin(-210)=sin30= . 答案：,3.（2012蘇州模擬）cos