1、第九章 數(shù)學(xué)規(guī)劃求解,線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、無(wú)約束非線 性規(guī)劃、有約束非線性規(guī)劃、極大極小化問(wèn)題,一、線性規(guī)劃,基本模型 % min f(x) % s.t .(約束條件)： Ax=b % (等式約束條件)： Aeqx=beq % lb=x=ub,調(diào)用格式,x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x,fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x,fval,exitflag

2、=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,)x,fval,exitflag,output=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0),說(shuō)明：f:是優(yōu)化參數(shù)x的系數(shù)矩陣：lb,ub:設(shè)置優(yōu)化參數(shù)x的上下界：fval:返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值：exitflag:返回算法的終止標(biāo)志：output:返回優(yōu)化算法的信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。,例：求使函數(shù)f(x)=-5x1-4x2-6x3取最小值的x值，且滿足約束條件：x1-x2+x3=0,

3、x2=0,x3=0求解的MATLAB代碼：f=-5;-4;-6;A=1,-1,1;3,2,4;3,2,0;b=20;42;30;lb=zeros(3,1);x,fval=linprog(f,A,b,lb),x = 0.0000 15.0000 3.0000 fval = -78.0000,例1：,c=-1,-3; A=-1,1;1,1;2,-1; b=3;7;8; lb=0;0; ub=1e+10*1;1; x=linprog(c,A,b,lb,ub) x = 2.0000 5.0000 f=c*x f = -17.0000,例2：,c=-0.5,-1,-0.5,-1; A=1,1,1,1;0

4、.2,0.5,1,2;2,1,0.5,0.2; b=10;10;10;Aeq=1,1,1,-2;beq=6; lb=0;0;0;0; ub=1e+10*1;1;1;1; x0=0;0;0;0; x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x = 0.0000 8.6667 0.0000 1.3333 f=c*x f = -10.0000,二、二次規(guī)劃,二次規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為：minf=(1/2)XTHX+fTX約束條件：A.x=b，Aeq.x=beq，lbxub其中：c、b、beq、lb、ub、x是矢量，H、A、Aeq為矩陣。在MATLAB中可以使用quadprog函數(shù)來(lái)

5、求最小值。,調(diào)用格式: x=quadprog (H,f,A,b)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x,fval= quadprog ()x,fval,exitflag= quadprog ()x,fval,exitflag,output= quadprog ()x,fval,exitflag,output,lambda= quadprog ( ),其中：H,f,A,b為標(biāo)準(zhǔn)形中的參數(shù)，x為目標(biāo)函數(shù)的最小值；x0為初值；Aeq,beq

6、滿足等式約束Aeq.x=beq；lb,ub滿足lbxub；fval為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值； lambda是Lagrange乘數(shù)，它體現(xiàn)有效約束的個(gè)數(shù)；output輸出優(yōu)化信息；exitflag為終止迭代的條件：若exitflag0，表示函數(shù)收斂于解x；若exitflag=0,表示超過(guò)函數(shù)估值或迭代的最大次數(shù)；exitflag0表示函數(shù)不收斂于解x；output為優(yōu)化信息：若參數(shù)output=iterations表示迭代次數(shù)，output=funccount表示函數(shù)賦值次數(shù)，output=algorithm表示所使用的算法。,例3：計(jì)算下面二次規(guī)劃問(wèn)題 minf（x）= (1/2)x12+x22-

7、x1x2-2x1-6x2約束條件： x1+x2 2；-x1+2x2 2 ；2x1+x2 3；0 x1，0 x2,解：把二次規(guī)劃問(wèn)題寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：(1/2)XTHX+fTX這里：H= 1 -1 f= -2 X= x1 -1 2 -6 x2 H=1 -1;-1 2;f=-2;-6;A=1 1;-1 2;2 1;b=2;2;3;lb=zeros(2,1);x,fval,exitflag,output,lambda=quadprog(H,f,A,b,lb),x= 0.6667 1.3333 %最優(yōu)值點(diǎn)fval= -8.2222 %最優(yōu)值exitflag= 1 %收斂狀況output=iteration

8、s:3algorithm:medium-scale:active-setfirstorderopt:cgiterations:lambda=lower:2x1 doubleupper:2x1 doubleeqlin:0 x1 doubleineqlin:3x1 double,1. 首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)F（X）: function f=fun(X); f=F(X);,2、一般非線性規(guī)劃,其中X為n維變?cè)蛄浚珿(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問(wèn)題，基本步驟分三步：,3. 建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函

9、數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(fun,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon) (5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options) (6) x,fval= fmincon(.) (7) x,fval,exitflag= fmincon(.) (8)x,fval,exit

10、flag,output= fmincon(.),輸出極值點(diǎn),M文件,迭代的初值,參數(shù)說(shuō)明,變量上下限,1、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式： s.t.,2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0,例2,2、先建立M-文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2,3、再建立主程序youh2.m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; Aeq=;beq=; VLB=0;0; VUB=; x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB),4、運(yùn)算結(jié)果為：

11、x = 0.7647 1.0588 fval = -2.0294,1先建立M文件 fun4.m,定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);,x1+x2=0 s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0,例3,2再建立M文件mycon.m定義非線性約束： function g,ceq=mycon(x) g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;,3主程序youh3.m為: x0=-1;1; A=;

12、b=; Aeq=1 1;beq=0; vlb=;vub=; x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon),3. 運(yùn)算結(jié)果為： x = -1.2250 1.2250 fval = 1.8951,例4,1先建立M-文件fun.m定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);,2再建立M文件mycon2.m定義非線性約束： function g,ceq=mycon2(x) g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;,3. 主程序fxx.m為: x0=3;2.5; VLB=0 0;VUB=5

13、 10; x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2),4. 運(yùn)算結(jié)果為: x = 4.0000 3.0000 fval =-11.0000 exitflag = 1 output = iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 1x44 char firstorderopt: cgiterations: ,非線性規(guī)劃（非線性一元函數(shù)的最小值） x,fval,exitflag=fminbnd(fun,a,b)求函數(shù)fun在a,b區(qū)間上的最小值 x是函數(shù)取最小值的點(diǎn)，fval是函數(shù)最小值，exitflag=1時(shí)有最小值求f(x)=x3+10*x2-2*sin(x)-50在-12，5的最小值fun=x3+10*x2-2*sin(x)-50;x,fval,exitflag=fminbnd(fun,-12,5) x = -12fval =-339.0731exitflag = 1,程序與編程,指定次數(shù)重復(fù)循環(huán)語(yǔ)句 For vi=s1:s3:s2 Sta End,不定次數(shù)重復(fù)循環(huán)語(yǔ)句 While va Sta End,條件轉(zhuǎn)移語(yǔ)句,簡(jiǎn)單if語(yǔ)句 If e