1、第二章 連續(xù)時間信號,2.1 連續(xù)周期信號的 Fourier 級數(shù),一、問題的提出,由基頻 可以得到如下一系列的簡諧波：,這些簡諧波都是以 為周期的，即它們均滿足：,一、問題的提出,?,能否：,歷史,1. 正交函數(shù)系,函數(shù)系,二、Fourier 級數(shù)的三角形式,1. 正交函數(shù)系,二、Fourier 級數(shù)的三角形式,特點,(1) 周期性,(2) 正交性,2. Dirichlet 定理,二、Fourier 級數(shù)的三角形式,則在 的連續(xù)點處有,在 的間斷處，上式左端為,其中,2. Dirichlet 定理,定理,二、Fourier 級數(shù)的三角形式,(2) 稱 和 為 Euler - Fourier

2、系數(shù)。,(利用正交性),3. Fourier 級數(shù)的物理含義,改寫,二、Fourier 級數(shù)的三角形式,令,則 (A) 式變?yōu)?(A),3. Fourier 級數(shù)的物理含義,二、Fourier 級數(shù)的三角形式,這些簡諧波的頻率分別為一個基頻 的倍數(shù)。,這是連續(xù)周期信號的一個非常重要的特點。,3. Fourier 級數(shù)的物理含義,二、Fourier 級數(shù)的三角形式,這兩個指標完全定量地刻畫了信號的頻率特性。,三、Fourier 級數(shù)的指數(shù)形式,代入 (A) 式并整理得,由 Euler 公式有,1. 公式推導,三、Fourier 級數(shù)的指數(shù)形式,1. 公式推導,則有,令,其中,推導,三、Fouri

3、er 級數(shù)的指數(shù)形式,2. 幾點說明,四、連續(xù)周期信號的離散頻譜,1. 離散頻譜,得,即 的模與輻角正好是振幅和相位。,(2) 稱 為(離散)頻譜。,四、連續(xù)周期信號的離散頻譜,2. 離散頻譜圖,將振幅 、相位 與頻率 的關系畫成圖形。,四、連續(xù)周期信號的離散頻譜,小結(jié),(1) 當 n = 0 時，,(2) 當 時，,解,解,(3) 的 Fourier 級數(shù)為,(4) 振幅譜為,相位譜為,解,(5) 頻譜圖如下圖所示。,五、有限區(qū)間上連續(xù)信號的Fourier級數(shù),周期延拓，,的周期信號 ，,即,五、有限區(qū)間上連續(xù)信號的Fourier級數(shù),分析,(2) 對信號 進行 Fourier 級數(shù)展開，,即得,五、有限區(qū)間上連續(xù)信號的Fourier級數(shù),歷史回顧 Fourier級數(shù),附：,歷史回顧 Fourier級數(shù),附：,1829 年，德國數(shù)學家 Dirichlet 終于對一類條件較“寬”的,函數(shù)給出了嚴格的證明。時年 24 歲。,1830年 5 月 16 日，F(xiàn)our