1、成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 必修5,數(shù)列,第一章,本章歸納總結(jié),第一章,一、數(shù)列的概念與函數(shù)特征 1數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列還可以看作一個(gè)定義域?yàn)镹(或它的有限子集1,2，n)的函數(shù)的一列函數(shù)值 2通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,4數(shù)列的分類 (1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以對數(shù)列進(jìn)行分類：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫作有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫作無窮數(shù)列 (2)按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系，可以分為以下幾類： 一般地，一個(gè)數(shù)列an，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即an1an，那么

2、這個(gè)數(shù)列叫作遞增數(shù)列 一個(gè)數(shù)列an，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即an1an，那么這個(gè)數(shù)列叫作遞減數(shù)列 一個(gè)數(shù)列an，如果從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列叫作擺動(dòng)數(shù)列 一個(gè)數(shù)列an，如果它的每一項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫作常數(shù)列,5根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式判定數(shù)列的單調(diào)性 (1)已知anf(n)，若f(x)的單調(diào)性可以確定，則an的單調(diào)性可以確定 (2)比較法 作差比較法 nN，an1an0an為遞增數(shù)列； nN，an1an0an為常數(shù)列； nN，an1an0an為遞減數(shù)列,5等差數(shù)列的性質(zhì)： (1)已知等差數(shù)列an的公差為d，且第m項(xiàng)為am，第n項(xiàng)為

3、an，則anam(nm)d； (2)在等差數(shù)列an中，若mnpq，(m、n、p、qN)則amanapaq； (3)若數(shù)列an滿足Snan2bn，則an為等差數(shù)列，且a1ab，d2a； (4)若數(shù)列an滿足Snan2bnc(c0)，則an從第2項(xiàng)起成等差數(shù)列；,數(shù)列的通項(xiàng)公式是給出數(shù)列的主要方式，其本質(zhì)就是函數(shù)的解析式根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，不僅可以判斷數(shù)列的類型，研究數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢與規(guī)律，而且有利于求數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心問題之一現(xiàn)根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征把常見求通項(xiàng)公式的方法總結(jié)如下：,數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn23n1，求通項(xiàng) an.,2累加法 例2(2

4、014全國大綱文，17)數(shù)列an滿足a11，a22，an22an1an2. (1)設(shè)bnan1an，證明bn是等差數(shù)列； (2)求an的通項(xiàng)公式,方法總結(jié)已知a1a，an1anf(n)，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng)an. 若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和； 若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和； 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和； 若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和,已知an中，a11，且an1an3n(nN)，求通項(xiàng) an.,分析利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化后求解,在數(shù)列an中

5、，已知a11，an12nan，求an.,分析通過整理變形，進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)間接求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,方法總結(jié)已知a1且an1panq(p，q為常數(shù))的形式均可用上述構(gòu)造法，特別地，若p1，則an為等差數(shù)列；若q0，p0，則an為等比數(shù)列,已知數(shù)列an滿足a11，an13an2(nN)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,求數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列運(yùn)算的重要內(nèi)容之一，也是歷年高考考查的熱點(diǎn)對于等差、等比數(shù)列，可以直接利用求和公式計(jì)算，對于一些具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)列，常用倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等求和 1分組轉(zhuǎn)化法 如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)是由幾個(gè)獨(dú)立的項(xiàng)組合而成，并且各獨(dú)立項(xiàng)也可組成等差或等比數(shù)

6、列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和可考慮拆項(xiàng)后利用公式求解,數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,已知數(shù)列1,12,1222，12222n， (1)求其通項(xiàng)公式an； (2)求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.,2裂項(xiàng)相消法 對于裂項(xiàng)后明顯有能夠相消的項(xiàng)的一類數(shù)列，在求和時(shí)常用“裂項(xiàng)法”，分式的求和多利用此法可用待定系數(shù)法對通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng)，相消時(shí)應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng),3錯(cuò)位相減法 若數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，由這兩個(gè)數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)乘積組成的新數(shù)列為anbn，當(dāng)求該數(shù)列的前n項(xiàng)的和時(shí)，常常采用將anbn的各項(xiàng)乘以公比q，并項(xiàng)后錯(cuò)位一項(xiàng)與anbn的同次項(xiàng)對應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯(cuò)位相減法 例7(2015山東高考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知2Sn3n3. (1)求an的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列bn滿足anbnlog3an，求bn的前n項(xiàng)和Tn.,已知數(shù)列an中，a13，點(diǎn)(an，an1)在直線yx2上 (1)求數(shù)列an有通項(xiàng)公式； (2)若bnan3n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. 解析(1)點(diǎn)(an，an1)在直線yx2上， an1an2， 即an1an2. 數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2