1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù),基礎(chǔ)知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學習,(1)任意角：定義：角可以看成平面內(nèi) 繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的 ；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為 、 和 . (2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是 S . (3)象限角：使角的頂點與 重合，角的始邊與 重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.,1.角的概念,知識梳理,一條射線,圖形,正角,負角,零角,|k360，kZ,原點,x軸的非負半軸,(1)定義：在以單位長為半徑的圓中，單位長度

2、的弧所對的圓心角為1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個 ，負角的弧度數(shù)是一個 ，零角的弧度數(shù)是 .,2.弧度制,正數(shù),負數(shù),0,(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad .,(3)扇形的弧長公式：l ，扇形的面積公式：S .,|r,任意角的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，sin ，cos ，tan (x0). 三個三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：,3.任意角的三角函數(shù),y,x,R,R,如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點P，過P作PMx軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.,4.三角函數(shù)線,MP,OM,AT,幾何

3、畫板展示,1.三角函數(shù)值的符號規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設(shè)P(x，y)是角終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.() (2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關(guān).() (3)不相等的角終邊一定不相同.() (4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.() (5)若(0， )，則tan sin .() (6)若為第一象限角，則sin cos 1.(),1.角870的終邊所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.

4、第三象限 D.第四象限,考點自測,答案,解析,由8701 080210，知870角和210角終邊相同，在第三象限.,2.(教材改編)已知角的終邊與單位圓的交點為M( ，y)，則sin 等于,答案,解析,答案,解析,4.已知在半徑為120 mm的圓上，有一段弧長是144 mm，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為_rad.,答案,解析,1.2,5.函數(shù) 的定義域為_.,答案,解析,由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖中陰影部分所示).,幾何畫板展示,題型分類深度剖析,題型一角及其表示,例1(1)若k18045(kZ)，則在 A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四

5、象限,答案,解析,當k2n(nZ)時，2n18045n36045，為第一象限角； 當k2n1 (nZ)時，(2n1)18045n360225， 為第三象限角. 所以為第一或第三象限角.故選A.,(2)已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角 用集合可表示為_.,答案,解析,思維升華,(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角. (2)利用終邊相同的角的集合S|2k，kZ判斷一個角所在的象限時，只需把這個角寫成0,2)范圍內(nèi)的一個角與2的整數(shù)倍的和，然后判斷角的象限.,跟蹤訓練1(

6、1)終邊在直線y 上的角的集合是_.,答案,解析,答案,解析,3,題型二弧度制,例2(1)(2016成都模擬)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是_.,答案,解析,設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r，,(2)已知扇形的圓心角是，半徑是r，弧長為l. 若100，r2，求扇形的面積；,解答,由題意知l2r20，即l202r，,若扇形的周長為20，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數(shù).,解答,當r5時，S的最大值為25.,即扇形面積的最大值為25，此時扇形圓心角的弧度數(shù)為2 rad.,思維升華,應(yīng)用弧度制解決問題的方法 (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要

7、注意角的單位必須是弧度. (2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決. (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.,跟蹤訓練2(1)將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是,答案,解析,將表的分針撥快應(yīng)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，為負角，故A、B不正確；,又因為撥快10分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角為圓周的 .,(2)若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為,答案,解析,如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，,則線段AB所對的圓心角AOB ，,作OMAB，垂足為M，,在RtAOM中，AOr，AOM

8、，,題型三三角函數(shù)的概念,命題點1三角函數(shù)定義的應(yīng)用,答案,解析,(2)點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動 弧長到達Q點，則Q點的坐標為,答案,解析,由三角函數(shù)定義可知Q點的坐標(x，y)滿足,命題點2三角函數(shù)線,例4函數(shù)ylg(2sin x1) 的定義域為 _.,答案,解析,在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，由圖可知，,如圖，,思維升華,(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角終邊上一點P的坐標可求的三角函數(shù)值；已知角的三角函數(shù)值，也可以求出點P的坐標. (2)利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫出角的范圍.,跟蹤訓練3(1)已知角的終邊經(jīng)過點(3a9，a2)，且

9、cos 0，sin 0.則實數(shù)a的取值范圍是 A.(2,3 B.(2,3) C.2,3) D.2,3,答案,解析,cos 0，sin 0， 角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.,(2)滿足cos 的角的集合為_.,答案,解析,作直線x 交單位圓于C、D兩點，,連接OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，,故滿足條件的角的集合為,典例(1)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動.當圓滾動到圓心位于C(2,1)時， 的坐標為_.,數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用,思想與方法系列6,在坐

10、標系中研究角就是一種數(shù)形結(jié)合思想，利用三角函數(shù)線可直觀得到有關(guān)三角函數(shù)的不等式的解集.,(2)(2016合肥調(diào)研)函數(shù)ylg(34sin2x)的定義域為_.,(2sin 2,1cos 2),思想方法指導(dǎo),答案,解析,幾何畫板展示,幾何畫板展示,(1)如圖所示，過圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過P作 x軸的垂線與過C作y軸的垂線交于點B.,因為圓心移動的距離為2，所以劣弧 2，,即圓心角PCA2，,所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，,利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，,返回,課時作業(yè),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解

11、析,但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.若是第三象限角，則下列各式中不成立的是 A.sin cos 0 B.tan sin 0 C.cos tan 0 D.tan sin 0,答案,解析,是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0， 則可排除A、C、D，故選B.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016九江模擬)若390角的終邊上有一點P(a,3)，則a的值是,答案,解析,5.已知點P(sin cos ，2

12、)在第二象限，則的一個變化區(qū)間是,答案,解析,P(sin cos ，2)在第二象限，sin cos ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.1 B.1C.3 D.3,答案,解析,由2k (kZ)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，,又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角， 所以sin 0，tan 0. 所以y1111.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.在直角坐標系中，O是原點，A( ，1)，將點A繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90到B點，則B點坐標為_.,答案,解析,依題意知OAOB2，

13、AOx30，BOx120， 設(shè)點B坐標為(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,設(shè)扇形半徑為r，弧長為l，,二,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由是第三象限角，知 為第二或第四象限角，,綜上知 為第二象限角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x成立的x的取值范圍為_.,答案,解析,如圖所示，找出在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x的x值，,根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標出滿足題中條件的角,11.一個扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長是4

14、cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.,解答,設(shè)扇形的半徑為r cm，弧長為l cm，,如圖，過O作OHAB于H，則AOH1 rad. AH1sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm). 圓心角的弧度數(shù)為2 rad，弦長AB為2sin 1 cm.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知角終邊上一點P，P到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離之比為34，且sin 0，求cos 2tan 的值.,解答,又sin 0，的終邊只可能在第三、第四象限.,若點P位于第三象限，可設(shè)P(4k，3k)(k0)，,1,2,3,4,5,6