1、離散型隨機變量的分布列、均值與方差【三年高考】1. 【2017浙江，8】已知隨機變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2 若0p1p2，則A，BC，【答案】A【解析】試題分析：，選A2. 【2017山東，理18】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I

2、）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。 （II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.【解析】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學期望是=3【2017課標3，理18】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣

3、溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）.當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？【解析】（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，.因此的分布列為0.20.40.4由題意知，這種酸奶一天的需求量

4、至多為500，至少為200，因此只需考慮當時，若最高氣溫不低于25，則 ，若最高氣溫位于區(qū)間，則;若最高氣溫低于20，則 ;因此 .當時，若最高氣溫不低于20，則 ;若最高氣溫低于20，則 ;因此 .所以n=300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元.4【2017北京，理17】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（）從圖中A，B，C，D四人中隨機.選出兩人，記為

5、選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望E（）；（）試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結論）【解析】（）由圖知，在服藥的50名患者中，指標的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標的值小于60的概率為.（）由圖知，A,B,C,D四人中，指標的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2.所以的分布列為012 故的期望.（）在這100名患者中，服藥者指標數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標數(shù)據(jù)的方差.5【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在

6、各路口遇到紅燈的概率分別為.（）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.（）設表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.6【2016年高考四川理數(shù)】同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是 .【答案】【解析】同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，可能的結果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次試驗中成功次數(shù)的取值為，其中在1次試驗中成功的概率為，所以在2次試驗

7、中成功次數(shù)的概率為，7【2016高考新課標1卷】某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（II）若要求,確定的最小值；（III）以購買易損零件所需費用的期望值為

8、決策依據(jù),在與之中選其一,應選用哪個？【解析】（）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而；.所以的分布列為16171819202122（）由（）知,故的最小值為19.（）記表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）.當時,. 當時, .可知當時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值,故應選.8【2016高考新課標2理數(shù)】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù)012345保費0.851.251.51.

9、752設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；（）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值 （）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為，因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為.9【2016高考天津理數(shù)】某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.（I）設A為事件“選出的2人參加義工活動次

10、數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（II）設為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望. 【解析】：由已知，有所以，事件發(fā)生的概率為.隨機變量的所有可能取值為，.所以，隨機變量分布列為隨機變量的數(shù)學期望.10.【2015高考山東，理19】若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137,359,567等）.在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被1

11、0整除，得1分.（I）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ；（II）若甲參加活動，求甲得分的分布列和數(shù)學期望.11.【2015高考天津，理16】為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(I)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率；(II)設X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.【解析】(I)由已知，有，所以事件發(fā)生的概率為.(II)隨機變量的所有可能取值為，所以隨機變

12、量的分布列為所以隨機變量的數(shù)學期望12.【2015高考四川，理17】某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦3名男生，2名女生，B中學推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學生一起參加集訓，由于集訓后隊員的水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊（1）求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率.（2）某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學期望.【解析】（1）由題意，參加集訓的男女生各有6名.參賽學生全從B中抽取（等價于A中沒有學生入選代表隊）的概率為.因此，A中學至少1名學生入選的概率為.（2）根據(jù)題意，X

13、的可能取值為1，2，3.，所以X的分布列為：因此，X的期望為.【2017考試大綱】（ 1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.(2)理解超幾何分布及其導出過程,并能進行簡單的應用.(3)理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題.【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題, 概率與統(tǒng)計問題是每年高考考試的重點，離散型隨機變量的分布列、均值與方差問題是高考經(jīng)常考的知識點，且本部分題多為解答題.【2018年高考復習建議與高考命題預測】由前三年的高考命題形式可以看出 , 離散型隨機變量的均

14、值與方差是高考的熱點題型，以解答題為主，也有選擇、填空題，屬中檔題，常與排列組合概率等知識綜合命題，解答題往往與統(tǒng)計問題綜合在一起，如以直方圖或莖葉圖提供問題的背景信息，在同一個問題中同時考查概率與統(tǒng)計的知識，第二問主要考查分布列、均值與方差問題，特別是離散型隨機變量的分布列、均值與方差是高考的重點，解答題考查得較為全面，常常和概率、平均數(shù)等知識結合在一起，考查學生應用知識解決問題的能力根據(jù)這幾年高考試題預測2018年高考，離散型隨機變量的分布列與期望仍然是考查的熱點，同時應注意和概率、平均數(shù)、分布列，期望，二項分布，正態(tài)分布等知識的結合 【2018年高考考點定位】本節(jié)主要有離散型隨機變量的分

15、布列，超幾何分布，數(shù)學期望，方差等基本公式的應用，試題多為課本例題,習題拓展加工的基礎題或中檔題.只要我們理解和掌握五個概率公式及其應用,夯實基礎,借助排列組合知識和化歸轉化思想方法,就能順利解答高考概率與統(tǒng)計試題. 最多的概率與統(tǒng)計問題的分值占整個卷面分值的12%，且本部分題多為中低檔題.從而可以看出近幾年高考中概率與統(tǒng)計所占地位的重要性.【考點1】離散型隨機變量的分布列【備考知識梳理】1離散型隨機變量的分布列(1)隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用字母X，Y，等表示(2)離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，

16、這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量若是隨機變量，其中是常數(shù)，則也是隨機變量.2.常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量服從兩點分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布其中稱為成功概率(2)超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，其中，且，稱分布列為超幾何分布列.01m(3)設離散型隨機變量可能取得值為，取每一個值 ()的概率為，則稱表為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列有時為了表達簡單，也用等式，表示的分布列分布列的兩個性質：，；.【規(guī)律方法技巧】1. 求分布列的三種方法(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列

17、；(1)可設出隨機變量Y，并確定隨機變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義(2)由古典概型求出離散型隨機變量的分布列；求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率而超幾何分布就是此類問題中的一種(3)由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列2. 求離散型隨機變量分布列的步驟(1)找出隨機變量X的所有可能取值xi(i1,2,3，n)；(2)求出各取值

18、的概率P(Xxi)pi；(3)列成表格并用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確3. 解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路(1)明確隨機變量可能取哪些值(2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解注意解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其分布列的知識來解決實際問題 【考點針對訓練】1【2017屆黑龍江虎林一中高三月考三】隨機變量的分布列為為常數(shù)， 則 的值為（ ）A B C. D【答案】B2.【2017屆安徽省宣城市高三第二次調(diào)研】某校在高二年級開展了體育分項教學活動，將體

19、育課分為大球（包括籃球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田徑、體操四大項（以下簡稱四大項，并且按照這個順序）為體現(xiàn)公平，學校規(guī)定時間讓學生在電腦上選課，據(jù)初步統(tǒng)計，在全年級980名同學中，有意申報四大項的人數(shù)之比為3:2:1:1，而實際上由于受多方面條件影響，最終確定的四大項人數(shù)必須控制在2:1:3:1，選課不成功的同學由電腦自動調(diào)劑到田徑類（）隨機抽取一名同學，求該同學選課成功（未被調(diào)劑）的概率；（）某小組有五名同學，有意申報四大項的人數(shù)分別為2、1、1、1，記最終確定到田徑類的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望【解析】（）（）的所有可能取值為1,2,3,4； ； ； .分布列為：123

20、4【考點2】離散型隨機變量的期望與方差【備考知識梳理】1均值若離散型隨機變量X的分布列為稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且.若服從兩點分布，則；若，則.2.方差若離散型隨機變量X的分布列為則描述了 ()相對于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度稱為隨機變量的方差，其算術平方根為隨機變量的標準差若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且若服從兩點分布，則若，則【規(guī)律方法技巧】.1. 求離散型隨機變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；

21、(2)已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解2. 求離散型隨機變量均值的步驟(1)理解隨機變量的意義，寫出可能取得的全部值；(2)求的每個值的概率；(3)寫出的分布列；(4)由均值定義求出3. 六條性質：(1) (為常數(shù))；(2) (為常數(shù))；(3) ；(4)如果相互獨立，則(5) ；(6) 4. 均值與方差性質的應用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算【考點針

22、對訓練】1.【浙江省嘉興市第一中學2017屆高三適應性考試】隨機變量X的分布列如下表，X02aP且E(X)2，則D(2X3)（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】， 2.【2017屆浙江省高三高考模擬考試】已知，隨機變量的分布如下：-101當增大時，（ ）A.增大，增大 B.減小，增大C.增大，減小 D.減小 ，減小【答案】B.【解析】由題意得，又，故當增大時，減小，增大，故選B.【應試技巧點撥】1解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路(1)明確隨機變量可能取哪些值(2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解注

23、意解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其分布列的知識來解決實際問題2.求離散型隨機變量分布列的步驟：要確定隨機變量的可能取值有哪些.明確取每個值所表示的意義；分清概率類型，計算取得每一個值時的概率（取球、抽取產(chǎn)品等問題還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣；列表對應，給出分布列，并用分布列的性質驗證.3幾種常見的分布列的求法取球、投骰子、抽取產(chǎn)品等問題的概率分布，關鍵是概率的計算.所用方法主要有劃歸法、數(shù)形結合法、對應法等對于取球、抽取產(chǎn)品等問題，還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣.射擊問題：若是一人連續(xù)射擊，且限制在次射擊中發(fā)生次，則往往與二項分布聯(lián)系

24、起來；若是首次命中所需射擊的次數(shù)，則它服從幾何分布，若是多人射擊問題，一般利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率進行計算.對于有些問題，它的隨機變量的選取與所問問題的關系不是很清楚，此時要仔細審題，明確題中的含義，恰當?shù)剡x取隨機變量，構造模型，進行求解. 1.【河北省石家莊2017屆高三三?！吭诖螌嶒炛?，同時拋擲枚均勻的硬幣次，設枚硬幣正好出現(xiàn) 枚正面向上， 枚反面向上的次數(shù)為，則的方差是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】拋擲枚均勻的硬幣次，正好出現(xiàn) 枚正面向上， 枚反面向上的概率為 ,因為,所以的方差是 ，選A. 2.【2017屆四川涼山州高三一診】設袋中有兩個紅球一個黑球，除顏色不

25、同，其他均相同，現(xiàn)有放回的抽取，每次抽取一個，記下顏色后放回袋中，連續(xù)摸三次，表示三次中紅球被摸中的次數(shù)，每個小球被抽取的幾率相同，每次抽取相對立，則方差（ ）A2 B1 C D【答案】C【解析】每次取球時，取到紅球的概率為、黑球的概率為，所以取出紅球的概率服從二項分布，即,所以，故選C. 3. 【2017屆河南新鄉(xiāng)一中高三模擬】同時拋擲5枚均勻的硬幣80次，設5枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，3枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學期望是（ ）A20 B25 C. 30 D40【答案】B【解析】枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的概率為,由題意可知服從的二項分布,所以數(shù)學期望為,故本題選B. 4. 【2

26、017屆內(nèi)蒙古杭錦后旗高三摸擬】一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望是2，則的最小值為A B C D【答案】D 5. 【2017屆黑龍江大慶高三考前訓練一】體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止.設學生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學期望，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根據(jù)題意，學生發(fā)球此時為即一次發(fā)球成功的概率為，即，發(fā)球次數(shù)為即二次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為的概率為，則期望，依題意有，即，解得或，結合的實際意義，可

27、得，故選C 6. 【2017屆浙江省溫州市高三第二次模擬】設離散型隨機變量X的分布列為X123PP1P2P3則EX=2的充要條件是（ ）A. p1=p2 B. p2=p3 C. p1=p3 D. p1=p2=p3【答案】C【解析】由題設及數(shù)學期望的公式可得p1+p2+p3=1p1+2p2+3p3=2p1=p3，則EX=2的充要條件是p1=p3。應選答案C。 7. 【貴州省遵義市2016屆高三模擬】某單位招聘職工分為筆試和面試兩個環(huán)節(jié)，將筆試成績合格（滿分100分，及格60分，精確到個位數(shù)）的應聘者進行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率60，700.16（70，8022（80，90140.

28、28（90，100合計501（）確定表中的值（直接寫出結果，不必寫過程）（）面試規(guī)定，筆試成績在80分（不含80分）以上者可以進入面試環(huán)節(jié)，面試時又要分兩關，首先面試官依次提出4個問題供選手回答，并規(guī)定，答對2道題就終止回答，通過第一關可以進入下一關，如果前三題均沒有答對，則不再回答第四題并且不能進入下一關，假定某選手獲得面試資格的概率與答對每道題的概率相等.求該選手答完3道題而通過第一關的概率；記該選手在面試第一關中的答題個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望.【解析】（I）由頻率分布表可得a=8，b=6，x=0.44，y=0.12 （II）由頻率分布表及（I）的結論可知，該選手能進入面試的概率即

29、答對每道題的概率為0.28+0.12=0.4.記“答對第i道題”為事件Ai，i=1,2,3,4，則P（Ai）=0.4 記“該選手答完3道題而通過第一關”為事件A，則=0.192 隨機變量X的可能取值為2，3，4. 故X的分布列為X234P0.160.4080.432所以. 8. 【江西省贛州市2017屆高三第二次模擬】某經(jīng)銷商從外地水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購進一批小龍蝦，并隨機抽取40只進行統(tǒng)計，按重量分類統(tǒng)計結果如下圖：（1）記事件為：“從這批小龍蝦中任取一只，重量不超過35的小龍蝦”，求的估計值；（2）若購進這批小龍蝦100千克，試估計這批小龍蝦的數(shù)量；（3）為適應市場需求，了解這批小龍蝦的口感，該經(jīng)銷

30、商將這40只小龍蝦分成三個等級，如下表：等級一等品二等品三等品重量（）按分層抽樣抽取10只，再隨機抽取3只品嘗，記為抽到二等品的數(shù)量，求抽到二級品的期望【解析】（1）由于只小龍蝦中重量不超過的小龍蝦有（只）所以（2）從統(tǒng)計圖中可以估計每只小龍蝦的重量 （克），所以購進千克，小龍蝦的數(shù)量約有（只）（3）由題意知抽取一等品、二等品、三等品分別為只、只、只， 則可得， ， ，所以9.【河北省衡水中學2017屆高三三摸】如圖，小華和小明兩個小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第3個臺階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級臺階，輸?shù)囊环皆夭粍?，平局時兩個人都上

31、一級臺階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級臺階的獎勵，除非已經(jīng)登上第3個臺階，當有任何一方登上第3個臺階時，游戲結束，記此時兩個小伙伴劃拳的次數(shù)為（1）求游戲結束時小華在第2個臺階的概率；（2）求的分布列和數(shù)學期望【解析】（1）易知對于每次劃拳比賽基本事件共有個，其中小華贏（或輸）包含三個基本事件上，他們平局也為三個基本事件，不妨設事件“第次劃拳小華贏”為；事件“第 次劃拳小華平”為；事件“第 次劃拳小華輸”為，所以因為游戲結束時小華在第2個臺階，所以這包含兩種可能的情況：第一種：小華在第1個臺階，并且小明在第2個臺階，最后一次劃拳小華平；其概率為，第二種：小華在第2個臺階，并且

32、小明也在第2個臺階，最后一次劃拳小華輸，其概率為所以游戲結束時小華在第2個臺階的概率為（2）依題可知的可能取值為2、3、4、5，所以的分布列為：2345所以的數(shù)學期望為：10.【山東省日照市2017屆高三二?！磕彻こ淘O備租賃公司為了調(diào)查A，B兩種挖掘機的出租情況，現(xiàn)隨機抽取了這兩種挖掘機各100臺，分別統(tǒng)計了每臺挖掘機在一個星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：(I)根據(jù)這個星期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，求該公司一臺A型挖掘機，一臺B型挖掘機一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率；(II)如果A，B兩種挖掘機每臺每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A，B兩種挖掘機中購買一臺，請你根據(jù)所學的統(tǒng)計知識，

33、給出建議應該購買哪一種類型，并說明你的理由（）設為A型挖掘機出租的天數(shù)，則的分布列為12 3456 70.05 0.100.300.350.150.030.02設為B型挖掘機出租的天數(shù)，則的分布列為 1 4 5 670.140.200.200.16 0.15 0.100.05 一臺A類型的挖掘機一個星期出租天數(shù)的平均值為3.62天，一臺輛B類型的挖掘機一個星期出租天數(shù)的平均值為3.48天，選擇A類型的挖掘機更加合理 .11. 【2016學年江西省于都三中第三次月考】已知某一隨機變量X的概率分布列如下，且E（X）=7，求D（X）= Xa59P0103b【答案】【解析】由E（X）=7，則；，。 又

34、得；12. 【2016屆湖南省高考沖刺卷】交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)簡稱, 是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個級別：暢通：基本暢通：輕度擁堵：中度擁堵：嚴重擁堵. 在晚高峰時段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示：（1）在這個路段中, 輕度擁堵、中度擁堵的路段各有多少個？（2）從這個路段中隨機抽出個路段, 用表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù), 求的分布列及數(shù)學期望.【解析】（1）由直方圖得：輕度擁堵的路段個數(shù)是個,中度擁堵的路段個數(shù)是.（2）的可能取值為, ,.所以的分布列為.13.【2016屆廣東省湛江市普通高考測試題（二）】某校數(shù)學文化節(jié)同時安排、

35、兩場講座已知甲、乙兩寢室各有6位同學，甲寢室1人選擇聽講座，其余5人選擇聽講座；乙寢室2人選擇聽講座，其余4人選擇聽講座現(xiàn)從甲、乙兩寢室中各任選2人（）求選出的4人均選擇聽講座的概率；（）設為選出的4人中選擇聽講座的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望【解析】（）設“從甲寢室選出的人選擇聽講座”為事件，“從乙寢室選出的人選擇聽講座”為事件，由于事件、相互獨立，所以選出的人均選擇聽講座的概率（）可能的取值為，的分布為0123的數(shù)學期望14. 【2016屆湖北省黃岡中學高三5月一模】為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能，從設備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件最為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：經(jīng)計算，樣本的

36、平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.（1）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零點中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應事件的頻率）；.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級.（2）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品（）從設備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望；（）從樣本中隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望.【解析】（1），因為設備的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙；（2）易知樣本中次品共6件，可估計

37、設備生產(chǎn)零件的次品率為0.06.（）由題意可知，于是，（）由題意可知的分布列為故.15【2016屆北京市大興區(qū)高三4月統(tǒng)一練習】2015年，中國社科院發(fā)布中國城市競爭力報告，公布了中國十佳宜居城市和中國十佳最美麗城市，見下表：（1）記“中國十佳宜居城市”和“中國十佳最美麗城市”得到的平均數(shù)分別為與，方差分別為與，試比較與，與的大??；（只需寫出結論）；（2）某人計劃從“中國十佳最美麗城市”中隨機選取3個游覽，求選到的城市至多有一個是“中國十佳宜居城市”的概率；（3）旅游部門從“中國十佳宜居城市”和“中國十佳最美麗城市”中各隨機選取1個城市進行調(diào)研，用X表示選到的城市既是“中國十佳宜居城市”又是“

38、中國十佳最美麗城市”的個數(shù)（注：同一城市不重復計數(shù)），求X的分布列和數(shù)學期望.【解析】（1），.（2）記選到的城市至多有一個是“中國十佳宜居城市”為事件，由已知，既是“中國十佳宜居城市”又是“中國十佳最美麗城市”的城市有個：深圳，惠州，信陽，煙臺.所以.（3）, ，則的分布列為. 【一年原創(chuàng)真預測】1. 口袋中有個形狀和大小完全相同的小球，編號分別為0，1，2，3，4，從中任取3個球，以表示取出球的最小號碼，則（ ）A B C D【答案】B【入選理由】本題主要考查排列組合的應用，古典概型概率的計算，隨機變量的期望等數(shù)學基礎知識，意在考查考生的邏輯分析能力，本題屬于基礎知識的考查，故選此題.2.

39、 某社區(qū)為豐富居民節(jié)日活動，組織了“迎新春”象棋大賽，已知由1,2,3號三位男性選手和4,5號兩位女性選手組成混合組參賽.已知象棋大賽共有三輪，設三位男性選手在一至三輪勝出的概率依次是；兩名女性選手在一至三輪勝出的概率依次是.（）若該組五名選手與另一組選手進行小組淘汰賽，每名選手只比賽一局，共五局比賽，求該組兩名女性選手的比賽次序恰好不相鄰的概率；（）若一位男性選手因身體不適退出比賽，剩余四人參加個人比賽，比賽結果相互不影響，設表示該組選手在四輪中勝出的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【解析】（）記兩名女性選手比賽次序恰好不相鄰為事件.則五人不同的比賽次序為種；事件對應的比賽次序為種.所以

40、. （）男性選手在三輪中勝出的概率為；兩名女性選手在三輪中勝出的概率為.由題意可知男性選手三輪中勝出的人數(shù)；女性選手三輪比賽中勝出的人數(shù)，顯然. 所以可取. 所以的分布列為01234所以. 另，.【入選理由】本題考查古典概型的求解、相互獨立事件與獨立重復實驗的概率求解、離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學期望的求解等，意在考查基本的運算能力、邏輯推理能力和數(shù)學應用意識等.題目背景非常貼近生活實際，體現(xiàn)了新課程的理念，故選此題.3. 如果學生文化課成績不好，可以去參加藝術考試，這對文化課成績不好的學生，如果想考上大學或是好一點的重點大學，是很好的出路.某普通中學為了給學生創(chuàng)造升學機會，擬開設美術課，為

41、了了解學生喜歡美術是否與性別有關，該學校對100名學生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡美術不喜歡美術合計男生2050女生10合計100（1）請將上述列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜歡美術與性別有關系？ （2）針對問卷調(diào)查的100名學生，學校決定從喜歡美術的人中按分層抽樣的方法隨機抽取6人成立美術宣傳組，并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長，設這兩人中女生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)： 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.【解析】（1）補充完整的列聯(lián)表如下：喜歡美術不喜歡美術合計男生203050女生401050合計6040100計算得的觀測值