1、數(shù)論短期班100題手冊(cè)知識(shí)框架體系一、奇偶性質(zhì)1 奇數(shù)和偶數(shù)的表示方法：因?yàn)榕紨?shù)是的倍數(shù)，所以通常用這個(gè)式子來(lái)表示偶數(shù)(這里是整數(shù))；因?yàn)槿魏纹鏀?shù)除以其余數(shù)總是，所以通常用式子來(lái)表示奇數(shù)(這里是整數(shù))特別注意，因?yàn)槟鼙徽?，所以是偶?shù)最小的奇數(shù)是，最小的偶數(shù)是2 奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)： 性質(zhì)一：偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)(偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù))奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)(奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù))偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)(偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù))可以看出：一個(gè)數(shù)加上(或減去)偶數(shù)，不改變這個(gè)數(shù)的奇偶性；一個(gè)數(shù)加上(或減去)奇數(shù)，它的奇偶性會(huì)發(fā)生變化(也可以這樣記：奇偶性相同的數(shù)加減得偶數(shù)，奇偶性不同的數(shù)加減得奇數(shù))性質(zhì)二：偶數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)(推廣開來(lái)還可

2、以得到：偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù))偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)(推廣開就是：偶數(shù)個(gè)偶數(shù)相加得偶數(shù))奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)(推廣開就是：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù))可以看出：一個(gè)數(shù)乘以偶數(shù)時(shí)，乘積必為偶數(shù)；幾個(gè)數(shù)的積為奇數(shù)時(shí)，每個(gè)乘數(shù)都是奇數(shù)(也可以這樣簡(jiǎn)記：對(duì)于乘法，見偶(數(shù))就得偶(數(shù))性質(zhì)三：任何一個(gè)奇數(shù)一定不等于任何一個(gè)偶數(shù)二、整除1 整除的定義所謂“一個(gè)自然數(shù)a能被另一個(gè)自然數(shù)b整除”就是說“商是一個(gè)整數(shù)”；或者換句話說：存在著第三個(gè)自然數(shù)c，使得這是我們就說“b整除a”或者“a被b整除”，其中b叫a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)，記作：“”2 整除性質(zhì)： 傳遞性 若，則 可加性 若，則 可乘性 若，則3 整除的特征的整除特征

3、能否被和整除是看末兩位；能否被和整除是看末三位；能否被和整除是看末四位(,) 的整除特征能否被整除是看數(shù)字之和是否是的倍數(shù)，并且這個(gè)數(shù)除以的余數(shù)和這個(gè)數(shù)數(shù)字之和除以的余數(shù)相同，因此判斷一個(gè)數(shù)除以九余幾就可以先把和是的倍數(shù)的數(shù)劃掉，剩下的數(shù)是幾就代表這個(gè)數(shù)除以九余幾的整除特征能否被，整除規(guī)律是把數(shù)從末三位開始，三位為一段斷開，只需看奇數(shù)段的和與偶數(shù)段的和的差是否為，的倍數(shù)，并且奇數(shù)段的和減去偶數(shù)段的和的差被除余幾就代表 這個(gè)數(shù)除以余幾能否被整除規(guī)律是從右開始數(shù)奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差是否為的倍數(shù)，并且算出的差除以余幾就代表這個(gè)數(shù)除以余幾其他一些數(shù)的整除規(guī)律是拆成一些熟悉的數(shù)的整除特征如

4、，（這樣我們就知道至所有整數(shù)的整除特征）三、約數(shù)和倍數(shù)1 約數(shù)和倍數(shù)定義約數(shù)和倍數(shù)的定義：如果一個(gè)自然數(shù)能被自然數(shù)整除，那么稱為的倍數(shù)，為的約數(shù)最大公約數(shù)的定義：如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)例如：，最小公倍數(shù)的定義：如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)例如：，2 約數(shù)和倍數(shù)最大公約數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公

5、約數(shù)的約數(shù)；幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以最小公倍數(shù)的性質(zhì)：兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：，即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；最大公約數(shù)是、及最小公倍數(shù)的約數(shù)3 求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)：先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)；即為所求 求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟：先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分

6、數(shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求例如：四、質(zhì)數(shù)、合數(shù)1 相關(guān)定義質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素?cái)?shù)).合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù).要特別記?。汉筒皇琴|(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù).互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù).常用的以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：、，共計(jì)個(gè)；除了其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了和，其余的質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是，或.考點(diǎn)： 值得注意的是很多題都會(huì)以質(zhì)數(shù)的特殊性為考點(diǎn). 除

7、了和，其余質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是，或.這也是很多題解題思路，需要大家注意.部分特殊數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解：；.2 判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個(gè)小于的質(zhì)數(shù)(均為整數(shù))，使得能夠整除，那么就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于的質(zhì)數(shù)去除就可以了；但是這樣的計(jì)算量很大，對(duì)于不太大的，我們可以先找一個(gè)大于且接近的平方數(shù)，再列出所有不大于的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除，如沒有能夠除盡的那么就為質(zhì)數(shù).例如：很接近，根據(jù)整除的性質(zhì)不能被、整除，所以是質(zhì)數(shù).3 約數(shù)個(gè)數(shù)定理設(shè)自然數(shù)的質(zhì)因子分解式如.那么的約數(shù)個(gè)數(shù)為自然數(shù)的約數(shù)和為 五、余數(shù)問題1 余數(shù)的定義一般地，如果是整數(shù)，是整數(shù),若有，或者,；當(dāng)時(shí)，我們稱

8、能被整除；當(dāng)時(shí)，我們稱不能被整除，為除以的余數(shù)，為除以的商2 余數(shù)的性質(zhì)被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；除數(shù)(被除數(shù)余數(shù))商；商(被除數(shù)余數(shù))除數(shù)；余數(shù)小于除數(shù)如果除以的余數(shù)相同，就稱對(duì)于除數(shù)來(lái)說是同余的，且有與的差能被整除(均為自然數(shù))例如：與除以的余數(shù)都是，所以能被整除如果與的和除以的余數(shù)，等于分別除以的余數(shù)之和(或這個(gè)和除以的余數(shù))例如：除以的余數(shù)分別是和，所以除以的余數(shù)等于注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以的余數(shù)例如：除以的余數(shù)分別是和，所以除以的余數(shù)等于除以的余數(shù)如果與的乘積除以的余數(shù)，等于分別除以的余數(shù)之積(或這個(gè)積除以的余數(shù))例如：除以的余數(shù)分別是和，所以除以的余數(shù)等于注意

9、：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以的余數(shù)例如：除以的余數(shù)分別是和，所以除以的余數(shù)等于除以的余數(shù)六、中國(guó)剩余定理在一千多年前的孫子算經(jīng)中，有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來(lái)說：一個(gè)數(shù)除以余，除以余，除以余，求這個(gè)數(shù)這樣的問題，有人稱為“韓信點(diǎn)兵”它形成了一類問題，解這類問題的方法是由中國(guó)人首先提出的，所以被稱為“中國(guó)剩余定理”我們?cè)诮鉀Q類似“物不知其數(shù)”題，也就是出現(xiàn)一個(gè)數(shù)除以余,除以余,除以余這一類問題的時(shí)候，我們有“四大絕招”把余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為“整除問題”:絕招一：減同余。例如,則有,且,而的最小值就是;絕招

10、二：加同補(bǔ)。 例如：;則有，而的最小值是;絕招三：中國(guó)剩余定理。絕招四：逐級(jí)滿足法。 七、最大與最小兩個(gè)數(shù)的和一定，差越小，積越大(另外一層含義就是：和一定，差越大，積越小)兩個(gè)數(shù)的積一定，差越小，和越小(另外一層含義就是：積一定，差越大，和越大)八、平方數(shù)1 定義我們把一個(gè)自然數(shù)平方所得到的數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。如.，其中，都叫做完全平方數(shù)。平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，它的質(zhì)因數(shù)必定會(huì)成對(duì)出現(xiàn)。 2 完全平方數(shù)的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9。性質(zhì)2：完全平方數(shù)被3，4，5，8，12，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)。性質(zhì)3：完全平方數(shù)的約數(shù)一定有奇數(shù)個(gè)，反之

11、亦然。因?yàn)橥耆椒綌?shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次.性質(zhì)4：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位是6，則十位是奇數(shù)，反之亦然。性質(zhì)5：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位是0，則它后面連續(xù)的0的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)。如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個(gè)。性質(zhì)6：如果一個(gè)自然數(shù)介于兩個(gè)連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)。性質(zhì)7：平方差公式:性質(zhì)8：偶數(shù)的完全平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的完全平方被4除一定余1，任何自然數(shù)的平方數(shù)不可能被4除余23 完全平方數(shù)的判別方法： (1)兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積不是完全平方數(shù) (2)兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方數(shù)之間不再有平方數(shù) (3)一個(gè)整

12、數(shù)如果除以4余2或者除以4余3，那么這個(gè)整數(shù)肯定不是完全平方數(shù) (4)一個(gè)整數(shù)如果除以3余2，那么這個(gè)整數(shù)肯定不是完全平方數(shù) (5)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)；若個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，其十位上的數(shù)字必為奇數(shù)九、 整數(shù)的拆分若干個(gè)整數(shù)的和已知，使這些整數(shù)的積最大的方法：拆分原則：多拆3，最多拆兩個(gè)2，不拆1，這樣拆分后乘積最大。沖刺練習(xí)興趣篇1. 有多少個(gè)四位數(shù)滿足以下條件：它的各位數(shù)都是互不相同的奇數(shù)；它的每個(gè)數(shù)字都能整除它本身.2. 一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1.如果把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào),得到一個(gè)新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三

13、位數(shù)大198,求原數(shù). 3. 一個(gè)兩位數(shù),在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來(lái)的兩位數(shù). 4. 把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然數(shù)的平方,這個(gè)和是多少? 5. 有一個(gè)兩位數(shù),如果用它去除以個(gè)位數(shù)字,商為9余數(shù)6,如果用這個(gè)兩位數(shù)除以個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和,則商為5余數(shù)為3,求這個(gè)兩位數(shù). 6. 如果現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分,那么在經(jīng)過28799.99(一共有20個(gè)9)分鐘之后的時(shí)間將是幾點(diǎn)幾分? 7. 甲、乙兩數(shù)之和加上甲數(shù)是220，加上乙數(shù)是170，甲、乙兩數(shù)之和是多少？8. 小明做兩個(gè)整數(shù)的加法，他把萬(wàn)位上的8看成了

14、3，百位上的7看成了9，個(gè)位上的5看成了6，算得的結(jié)果是49920。問：正確的結(jié)果是多少？9. 被除數(shù)比除數(shù)的3倍多1，并且已知被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是81，求被除數(shù)和除數(shù)。10. 一個(gè)整數(shù)除以15余2，被除數(shù)、商和余數(shù)的和是100，求被除數(shù)和商。11. 如果四位數(shù)68能被73整除，那么商是多少？12. 如果四位數(shù)56能被34整除，那么可以有多少個(gè)不同的商？13. 個(gè)位數(shù)是6，且能被3整除的四位數(shù)有多少個(gè)？14. 三個(gè)數(shù)的和是555，這三個(gè)數(shù)分別能被3，5，7整除，而且商都相同，求這三個(gè)數(shù)。15. 有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼1加寫在它的前面，那么可得到一個(gè)三位數(shù)，如果把1加寫在它的后面，那么

15、也可以得到一個(gè)三位數(shù)，而且這兩個(gè)三位數(shù)相差414，求原來(lái)的兩位數(shù)。16. 有一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼6加寫在它的前面，則可得到一個(gè)四位數(shù)，如果把6加寫在它的后面，則也可以得到一個(gè)四位數(shù)，且這兩個(gè)四位數(shù)之和是9999，求原來(lái)的三位數(shù)。17. 有11張卡片，分別寫有111這11個(gè)自然數(shù)。現(xiàn)在要將這11張卡片分為兩堆，使得一堆所有卡片上的數(shù)字之和是奇數(shù)，另一堆所有卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)。能否做到？18. 任意交換某個(gè)三位數(shù)的數(shù)字順序得到一個(gè)新的三位數(shù)，原三位數(shù)與新三位數(shù)之和能否等于999？19. “任何不小于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”，這就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5，但是8只有這一種

16、表示形式，而22卻有3+19和5+17兩種表示成兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和的形式。那么，能有兩種表示成不同質(zhì)數(shù)之和形式的最小自然數(shù)是幾？20. 兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是39，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積。21. ，為三個(gè)質(zhì)數(shù)，且，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)。22. 將四個(gè)不同的合數(shù)分成兩組，要求每組的兩個(gè)合數(shù)之和都相等，而且每組的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。這四個(gè)合數(shù)之和最小可以是多少？23. 把40，44，45，63，65，78，99，105這八個(gè)數(shù)平分成兩組，使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等。24. ，這個(gè)乘積的末尾共有多少個(gè)0？將這個(gè)乘積再乘上一個(gè)個(gè)位不是0的數(shù)，使得最后的結(jié)果的末尾有盡量多的0，此時(shí)，末尾將有多少個(gè)0？25. 求下列各式所得結(jié)果的個(gè)位數(shù)字

17、：； ；.26. 用108除一個(gè)數(shù)余100，如果改用36除這個(gè)數(shù)，那么余數(shù)是幾？27. 1111除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是66，求這個(gè)兩位數(shù)。28. 老師在黑板上寫下三個(gè)數(shù)：108，396，A，讓同學(xué)們求它們的最小公倍數(shù)。小馬虎誤將108當(dāng)做180進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果竟然與正確答案一致。A最小等于幾？29. 兩數(shù)相除，商是499，余數(shù)是3，被除數(shù)最小是幾？30. 求這樣的三位數(shù)，它除以9所得的余數(shù)等于組成它的三個(gè)數(shù)字的平方和。提高篇31. 如果四個(gè)兩位質(zhì)數(shù)兩兩不同，并且滿足，等式那么， 的最小可能值是多少? 的最大可能值是多少?32. 把1至2005這2005個(gè)自然數(shù)依次寫下來(lái)得到一個(gè)多位數(shù).2005,

18、這個(gè)多位數(shù)除以9余數(shù)是多少? 33. 和是小于100的兩個(gè)非零的不同自然數(shù)。求的最小值 34. 已知都是非0自然數(shù),的近似值是,那么它的準(zhǔn)確值是多少? 35. 一個(gè)六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù). 36. 有一個(gè)四位數(shù),個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù). 37. 有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果把3加寫在它的后面，則也可也以得到一個(gè)三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個(gè)數(shù)碼3，則可得到一個(gè)四位數(shù)。將這兩個(gè)三位數(shù)和一個(gè)四位數(shù)相

19、加等于3600。求原來(lái)的兩位數(shù)。38. 為質(zhì)數(shù)，仍為質(zhì)數(shù)，是不是質(zhì)數(shù)？39. 下圖是一張9行9列的方格紙，在每個(gè)方格內(nèi)填入所在行數(shù)與列數(shù)之和，例如。在填入的81個(gè)數(shù)中，偶數(shù)有多少個(gè)？ 40. 有兩堆石子，第一堆有1234枚，第二堆有4321枚，每次允許要么從兩堆中拿走相同數(shù)量的石子(每次拿的數(shù)可以不同)，要么從一堆中拿若干枚放入另一堆。問：能否經(jīng)過若干次操作把兩堆石子同時(shí)拿光？為什么？41. 兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是，這兩個(gè)奇數(shù)之和是多少？42. 46305乘以一個(gè)自然數(shù)，乘積是一個(gè)整數(shù)的平方。求最小的和這個(gè)整數(shù)。43. 將16分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)(可以相同)相加的形式，如果這些質(zhì)數(shù)的乘積正好是平方數(shù)

20、，那么這個(gè)平方數(shù)可能是幾？44. ，其中都是自然數(shù)，求的最大值。45. 李老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)シN樹，學(xué)生們按人數(shù)恰好等分成三組。已知他們共種了312棵樹，老師與學(xué)生每人種的樹一樣多，并且不超過10棵。問：一共有多少個(gè)學(xué)生？每人種了幾棵樹？46. 小于2000又與2000互質(zhì)的數(shù)有800個(gè)，這800個(gè)數(shù)相加的和是多少？47. 無(wú)論多少個(gè)末兩位數(shù)是25的數(shù)相乘，它們的乘積的末兩位數(shù)仍是25。我們稱25是“變不掉的兩位數(shù)尾巴”。“變不掉的兩位數(shù)尾巴”還有76。試求出所有“變不掉的三位數(shù)尾巴”48. 形如(是質(zhì)數(shù))的質(zhì)數(shù)稱為梅森質(zhì)數(shù)，截止到1998年1月，人們已知的最大的梅森質(zhì)數(shù)是，求它的個(gè)位數(shù)。49.

21、用1 9這九個(gè)數(shù)碼組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的能被11整除的九位數(shù)，這樣的九位數(shù)有31680個(gè)，求出其中最大的和最小的。50. 一個(gè)數(shù)如果等于除它本身以外的所有約數(shù)之和，則稱此數(shù)為完全數(shù)。已知30以內(nèi)有兩個(gè)完全數(shù)，請(qǐng)將它們找出來(lái)。51. 兩數(shù)的最大公約數(shù)是12，已知有8個(gè)約數(shù)，有9個(gè)約數(shù)，求和。52. 兩數(shù)的最大公約數(shù)是19，最小公倍數(shù)是266。求證：這兩個(gè)數(shù)的和或者差能被9整除，或者能被15整除。53. 某年級(jí)150名同學(xué)準(zhǔn)備選一名同學(xué)在慶祝教師節(jié)大會(huì)上給老師獻(xiàn)花。選舉的方法是：讓150名同學(xué)排成一排，由第一名開始報(bào)數(shù)，報(bào)奇數(shù)的同學(xué)落選退出隊(duì)列，報(bào)偶數(shù)的同學(xué)站在原位置不動(dòng)，然后再?gòu)念^報(bào)數(shù)，如此繼續(xù)

22、下去，最后剩下的一名當(dāng)選。小胖非常想去，他在第一次排隊(duì)時(shí)應(yīng)該站在隊(duì)列的什么位置上才能被選中？54. 分別求滿足下列條件的最小自然數(shù)：(1)用3除余2，用5除余1，用7除余1；(2)用3除余1，用5除余2，用7除余2；(3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。55. 有一類自然數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)與5的和都是9的倍數(shù)，與5的差都是7的倍數(shù)。請(qǐng)按從小到大的順序?qū)懗鲞@類自然數(shù)中的前三個(gè)。56. 甲、乙、丙、丁四人分撲克牌，先給甲3張，再給乙2張，再給丙1張，最后給丁2張，然后再按照甲3張、乙2張，的順序發(fā)牌。問：最后一張(第54張)牌發(fā)給了誰(shuí)？57. 某個(gè)自然數(shù)除以512余83，除以513也余83。這

23、個(gè)自然數(shù)除以38余幾？58. 一個(gè)自然數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別為1，2，3，并且三個(gè)商數(shù)的和是570，求這個(gè)自然數(shù)。59. 在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔(見下圖)，小明像玩跳棋那樣，從孔出發(fā)沿逆時(shí)針方向每隔幾個(gè)孔跳一步，希望一圈以后能跳回孔。他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到孔，他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到孔，最后他每隔6孔跳一步，正好跳回孔。問：這個(gè)圓上共有多少個(gè)孔？ 60. 有四個(gè)不同的自然數(shù)，其中任意兩個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)，任意三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。為使這四個(gè)數(shù)的和盡可能小，這四個(gè)數(shù)應(yīng)分別是幾？拓展篇61. 如果把任意個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩種可能，那么是多少?62. 任

24、意選取9個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，即它們的乘積為，最小公倍數(shù)為我們知道，除以所得到的商必定是自然數(shù)，那么這個(gè)商的最大可能值是多少?63. 現(xiàn)在要制作一些代表三個(gè)數(shù)字的卡片（例如016、123等），由于數(shù)字0、1、8倒過來(lái)讀時(shí)沒有任何變化，數(shù)字6和9倒過來(lái)讀時(shí)變?yōu)?和6，因此有些卡片可以用兩次。那么至少要制作多少?gòu)埧ㄆ纯杀磉_(dá)所有的三位數(shù)字？64. 沿江有1，2，3，4，5，6號(hào)六個(gè)碼頭，相鄰兩碼頭間的距離都相等。早晨有甲、乙兩船從1號(hào)碼頭出發(fā)，各自在這些碼頭間多次往返運(yùn)送貨物。傍晚，甲船停泊在6號(hào)碼頭，乙船停泊在1號(hào)碼頭。請(qǐng)說明甲、乙兩船的航程不相等。65. 走廊里有10盞電燈，從1到10編號(hào)，開始時(shí)電

25、燈全部關(guān)閉。有10個(gè)學(xué)生依次通過走廊，第1個(gè)學(xué)生把所有的燈繩都拉了一下，第2個(gè)學(xué)生把2的倍數(shù)號(hào)的燈繩都拉了一下，第3個(gè)學(xué)生把3的倍數(shù)號(hào)的燈繩都拉了一下第10個(gè)學(xué)生把第10號(hào)燈的燈繩拉了一下。假定每拉動(dòng)一次燈繩，該燈的亮與不亮就改變一次。試判定：當(dāng)這10個(gè)學(xué)生通過走廊后，走廊里哪些號(hào)數(shù)的燈是亮的？66. 寫出10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。67. 求不能用三個(gè)不相等的合數(shù)之和來(lái)表示的最大奇數(shù)。68. 把質(zhì)數(shù)373拆開(不改變各數(shù)字間的順序)，所有的可能只有3，7，37，73這四個(gè)數(shù)，它們都是質(zhì)數(shù)。請(qǐng)找出所有具有這種性質(zhì)的兩位和兩位以上的質(zhì)數(shù)。69. 已知自然數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼之和與的各個(gè)

26、數(shù)位上的數(shù)碼之和相等，證明必能被9整除。70. 19九個(gè)數(shù)字按右圖所示的次序排成一個(gè)圓圈，請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)。如果要求剪開后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么應(yīng)在何處剪開？ 71. 少年宮游樂廳內(nèi)懸掛著200個(gè)彩色燈泡，這些燈泡或明或暗，十分有趣。這200個(gè)燈泡按1200編號(hào)，它們的亮暗規(guī)則是：第一秒，全部燈泡變亮；第二秒，凡編號(hào)為2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第三秒，凡編號(hào)為3的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉?lái)的亮暗狀態(tài)，即亮的變暗，暗的變亮；一般地，第秒凡編號(hào)為的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉?lái)的亮暗狀態(tài)。這樣繼續(xù)下去，每4分鐘一個(gè)周期。問：第200秒時(shí)，明亮的燈泡有多

27、少個(gè)？72. 對(duì)于任意的大于2的自然數(shù)，所有小于且與互質(zhì)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，還是不能肯定？73. 兩個(gè)自然數(shù)的和是72，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是216，這兩個(gè)數(shù)分別是幾？74. 已知a與b，a與c，b與c的最小公倍數(shù)分別是60，90和36。問：滿足此條件的a，b，c有多少組？75. 求的余數(shù)76. 將一批貨物共 千克裝入紙箱，每箱13千克，最后余多少千克？77. 70個(gè)數(shù)排成一排，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)外，每個(gè)數(shù)的3倍恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和。已知最左邊的幾個(gè)數(shù)是：0，1，3，8，21，問：最右邊的一個(gè)數(shù)除以6的余數(shù)是幾？78. 一個(gè)自然數(shù)，分別除以3，4，6，7，12，42后，

28、得到的余數(shù)分別為2，1，5，6，5，41。又知這六個(gè)商的和為877，求這個(gè)自然數(shù)。79. 兩個(gè)代表團(tuán)乘車去參觀，每輛車可乘36人，兩代表團(tuán)坐滿若干輛車后，第一個(gè)代表團(tuán)余下的13人與第二個(gè)代表團(tuán)余下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，第一個(gè)代表團(tuán)的每個(gè)成員與第二個(gè)代表團(tuán)的每個(gè)成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個(gè)膠卷可拍36張照片，那么拍完最后一張照片后，相機(jī)里的膠卷還可拍幾張照片？80. 一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字都不是0，這個(gè)三位數(shù)與組成它的各位數(shù)字之積的比是M(如三位數(shù)432，)，求 M的最大值。競(jìng)賽篇81. (第六屆走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園試題)自然數(shù)N有45個(gè)正約數(shù)N的最小值為 82. （第一屆“學(xué)而思杯”五年級(jí)試題）已知，問：除以所得余數(shù)是 。83. (第六屆走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園試題)n除以2余1，除以3余2，除以4余3