1、8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,一、 假設(shè)檢驗(yàn)問題的提出,二、 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯(cuò)誤,上一章介紹了對(duì)總體中未知參數(shù)的估計(jì)方法。本章將討論統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要方面統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。出于某種需要，對(duì)未知的或不完全明確的總體給出某些假設(shè)，用以說明總體可能具備的某種性質(zhì)，這種假設(shè)稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如正態(tài)分布的假設(shè)，總體均值的假設(shè)等。這個(gè)假設(shè)是否成立，還需要考察，這一過程稱為假設(shè)檢驗(yàn)，并最終作出判斷，是接受假設(shè)還是拒絕假設(shè)。本章主要介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和常用的檢驗(yàn)方法，重點(diǎn)解決正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 。,統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要問題是假設(shè)檢驗(yàn)問題。在總體的分布函數(shù)未知或只知其形式，但不知其參數(shù)的情

2、況下，為了推斷總體的某些性質(zhì)，提出某些關(guān)于總體的假設(shè)。例如，提出總體服從泊松分布的假設(shè)，又如，對(duì)于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)期望0的假設(shè)等。,這里，先結(jié)合例子來說明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思 想和做法。,假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)作出 判斷：是接受，還是拒絕。,一、 假設(shè)檢驗(yàn)問題的提出,例1 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量X在某種工藝條件下服從正態(tài)分布N(4.55，0.1082)?，F(xiàn)改變了工藝條件，又測了五爐鐵水，其含碳量分別為： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，總體的方差2= 0.1082一般不會(huì)改變。試問工藝改變后，鐵水含碳量的均值有無改變？,顯然，這里需要解決的問題是，

3、如何根據(jù)樣本判斷現(xiàn)在冶煉的鐵水的含碳量是服從4.55的正態(tài)分布呢？還是與過去一樣仍然服從 =4.55的正態(tài)分布呢？若是前者，可以認(rèn)為新工藝對(duì)鐵水的含碳量有顯著的影響；若是后者，則認(rèn)為新工藝對(duì)鐵水的含碳量沒有顯著影響。通常，選擇其中之一作為假設(shè)后，再利用樣本檢驗(yàn)假設(shè)的真?zhèn)巍?例2 某自動(dòng)車床生產(chǎn)了一批鐵釘，現(xiàn)從該批鐵釘中隨機(jī)抽取了11根，測得長度(單位：mm)數(shù)據(jù)為： 10.41，10.32，10.62，40.18，10.77，10.64， 10.82， 10.49，10.38，10.59，10.54。 試問鐵釘?shù)拈L度X是否服從正態(tài)分布？,而在本例中，我們關(guān)心的問題是總體X是否服從正態(tài)分布。如同

4、例1那樣，選擇是或否作為假設(shè)，然后利用樣本對(duì)假設(shè)的真?zhèn)巫鞒雠袛唷?以上兩例都是科技領(lǐng)域中常見的假設(shè)檢驗(yàn)問題。 我們把問題中涉及到的假設(shè)稱為原假設(shè)或稱待檢假設(shè)，一般用H0表示。而把與原假設(shè)對(duì)立的斷言稱為備擇假設(shè)，記為H1。,如例1，若原假設(shè)為H0：= 0=4.55，則備擇假設(shè)為H1：4.55。 若例2的原假設(shè)為H0：X服從正態(tài)分布，則備擇假設(shè)為H1：X不服從正態(tài)分布。,當(dāng)然，在兩個(gè)假設(shè)中用哪一個(gè)作為原假設(shè)，哪一個(gè)作為備擇假設(shè)，視具體問題的題設(shè)和要求而定。在許多問題中，當(dāng)總體分布的類型已知時(shí)，只對(duì)其中一個(gè)或幾個(gè)未知參數(shù)作出假設(shè)，這類問題通常稱之為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，如例1。而在有些問題中，當(dāng)總體的分布完

5、全不知或不確切知道，就需要對(duì)總體分布作出某種假設(shè)，這種問題稱為分布假設(shè)檢驗(yàn)，如例2。,接下來我們要做的事是：給出一個(gè)合理的法則，根據(jù)這一法則，利用巳知樣本做出判斷是接受假設(shè)H0 ，還是拒絕假設(shè)H0。,假設(shè)檢驗(yàn)的一般提法是：在給定備擇假設(shè)H1下，利用樣本對(duì)原假設(shè)H0作出判斷，若拒絕原假設(shè)H0，那就意味著接受備擇假設(shè)H1，否則，就接受原假設(shè)H0。 換句話說，假設(shè)檢驗(yàn)就是要在原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1中作出拒絕哪一個(gè)和接受哪一個(gè)的判斷。究竟如何作出判斷呢？對(duì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的依據(jù)是所謂小概率原理，即 概率很小的事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生,二、 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,例如，在100件產(chǎn)品中，有一

6、件次品，隨機(jī)地從中取出一個(gè)產(chǎn)品是次品的事件就是小概率事件。 因?yàn)榇耸录l(fā)生的概率=0.01很小，因此，從中任意抽一件產(chǎn)品恰好是次品的事件可認(rèn)為幾乎不可能發(fā)生的，如果確實(shí)出現(xiàn)了次品，我們就有理由懷疑這“100件產(chǎn)品中只有一件次品”的真實(shí)性。 那么取值多少才算是小概率呢？這就要視實(shí)際問題的需要而定，一般取0.1，0.05，0.01等。,以例1為例：首先建立假設(shè) ：,H0：=0=4.55，H1：4.55。,其次，從總體中作一隨機(jī)抽樣得到一樣本觀察值(x1，x2，xn)。,注意到 是的無偏估計(jì)量。因此，若H0正確， 則 與0的偏差一般不應(yīng)太大，即 不 應(yīng)太大，若過分大，我們有理由懷疑H0的正確性而拒

7、絕H0。由于 ，因此，考察 的大小等價(jià)于考察 的大小，哪么如 何判斷 是否偏大呢？,具體設(shè)想是，對(duì)給定的小正數(shù)，由于事件 是概率為的小概率事件，即 因此，當(dāng)用樣本值代入統(tǒng)計(jì)量 具體 計(jì)算得到其觀察值 時(shí)，若 ，即說明在一次抽樣中，小概率事件居然發(fā)生了。因此依據(jù)小概率原理，有理由拒絕H0，接受H1； 若 ，則沒有理由拒絕H0，只能接受H0。,將上述檢驗(yàn)思想歸納起來，可得參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：,(1)根據(jù)所討論的實(shí)際問題建立原假設(shè)H0及備擇假設(shè)H1；,(2)選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z，并明確其分布；,(3)對(duì)預(yù)先給定的小概率0，由確定臨界值；,(4)由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z，并作出判斷，

8、若|z|z/2 ，則拒絕H0，接受H1；若|z| z/2 ，則接受H0。,統(tǒng)計(jì)量 稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。,當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí)，就拒絕H0，則稱C為H0的拒絕域，拒絕域的邊界點(diǎn)稱為臨界值。如例1中拒絕域?yàn)?，臨界值為 和,現(xiàn)在，我們來解決例1提出的問題：,(1)假設(shè)H0：= 0=4.55，H1：4.55；,(2)選擇檢驗(yàn)用統(tǒng)計(jì)量 ；,(3)對(duì)于給定小正數(shù)，如=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分表得到臨界值z/2 =z0.025 =1.96；,因?yàn)閨 z|=3.91.96，所以拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為新工藝改變了鐵水的平均含碳量。,(4)具體計(jì)算：這里n=5， ， ， 故Z的觀察值,第類錯(cuò)誤，當(dāng)原假

9、設(shè)H0為真時(shí)，卻作出拒絕H0的判斷，通常稱之為棄真錯(cuò)誤，由于樣本的隨機(jī)性，犯這類錯(cuò)誤的可能性是不可避免的。若將犯這一類錯(cuò)誤的概率記為，則有P拒絕H0|H0為真=。,第類錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)H0不成立時(shí)，卻作出接受H0的決定，這類錯(cuò)誤稱之為取偽錯(cuò)誤，這類錯(cuò)誤同樣是不可避免的。若將犯這類錯(cuò)誤的概率記為，則有P接受H0|H0為假= 。,三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯(cuò)誤,自然，我們希望一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)所作的判斷犯這兩類錯(cuò)誤的概率都很小。事實(shí)上，在樣本容量n固定的情況下，這一點(diǎn)是辦不到的。因?yàn)楫?dāng)減小時(shí)，就增大；反之，當(dāng)減小時(shí)，就增大。,那么，如何處理這一問題呢？ 事實(shí)上，在處理實(shí)際問題中，對(duì)原假設(shè)H0，我們都是經(jīng)過充分考慮的情況下建立的，或者認(rèn)為犯棄真錯(cuò)誤會(huì)造成嚴(yán)重的后果。,例如，原假設(shè)是前人工作的結(jié)晶，具有穩(wěn)定性，從經(jīng)驗(yàn)看，沒有條件發(fā)生變化，是不會(huì)輕易