1、2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、離散型隨機(jī)變量的方差【例1】袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球，但不放回原袋中，直到取到白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的期望及方差.解析：當(dāng)每次取出的黑球不再放回時(shí)，設(shè)隨機(jī)變量是取球次數(shù)，因?yàn)槊看稳〕龅暮谇虿辉俜呕厝?，所以的可能值?，2，3，4，5，易知：P（=1）=0.2,P(=2)=0.2,P(=3)=0.2,P(=4)=0.2,P(=5)=1=0.2,所求的概率分布為12345P0.20.20.20.20.2E=10.2+20.2+30.2+40.2+50.2=3,D=(1-3)20.2+(2-3)20.2+(3-3)20.2+(4-

2、3)2+(5-3)20.2=2.溫馨提示 求期望和方差的問(wèn)題關(guān)鍵是求隨機(jī)變量的分布列，即求每種情況的概率.因此求事件的概率是基礎(chǔ)，另外方差可用定義求，也可以用公式：D=E2-(E)2求.二、離散型隨機(jī)變量的方差的作用【例2】A、B兩臺(tái)測(cè)量?jī)x器測(cè)量一長(zhǎng)度為120 mm的工件時(shí)分布列如下：A：1181191201211220.060.140.600.150.05B：1181191201211220.090.150.520.160.08試比較兩種儀器的優(yōu)劣.解析：設(shè)隨機(jī)變量1表示用A儀器測(cè)量此產(chǎn)品長(zhǎng)度的數(shù)值，隨機(jī)變量2表示用B儀器測(cè)量此產(chǎn)品長(zhǎng)度的數(shù)值，從而有E1=1180.06+1190.14+12

3、00.60+1210.15+1220.05=119.99,D1=(118-119.99)20.06+(119-119.99)20.14+(120-119.99)20.60+(121-119.99)20.15+(122-119.99)20.05=0.729 9,E2=1180.09+1190.15+1200.52+1210.16+1220.08=119.99,D2=(118-119.99)20.09+(119-119.99)20.15+(120-119.99)20.52+(121-119.99)20.16+(122-119.99)20.08=0.989 9，由此可知，E1=E2,D1D2,A儀器

4、測(cè)量結(jié)果波動(dòng)較小，表明A儀器質(zhì)量較好.溫馨提示 本題若僅由E1=E2,易產(chǎn)生兩臺(tái)儀器性能一樣好的錯(cuò)覺(jué).這表明在實(shí)際問(wèn)題中僅靠期望值不能完全反映隨機(jī)變量的分布特征，還要研究其偏離平均值的離散程度（即方差）.三、離散型隨機(jī)變量的方差的最值【例3】 若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0p1）,用隨機(jī)變量表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù).（1）求方差D的最大值？（2）求的最大值.解析：隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1-p，從而E=0(1-p)+1p=p,D=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2.(1)D=p-p2=-(p2-p+)+=-(p)2+,0p

5、1,當(dāng)p=時(shí)，D取得最大值，最大值為.(2)=2-(2p+),0p1,2p+2,當(dāng)2p=,p=時(shí)，取“=”，因此，當(dāng)p=時(shí)，取得最大值2-2.各個(gè)擊破類題演練 1已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列為X10Ppq且0p1.q=1-p,求D（X）.解析：由題目知X服從二點(diǎn)分布，所以E（X）=p,D(X)=(1-p)2p+(0-p)2q=q2p+p2q=pq.這表明在二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X圍繞期望的平均波動(dòng)大小為pq.變式提升 1 已知某離散型隨機(jī)變量X服從下面的二項(xiàng)分布：P（X=k）=0.1k0.94-k(k=0,1,2,3,4),求E（X）和D（X）.解析：根據(jù)題目知道離散型隨機(jī)變量X

6、服從參數(shù)n=4和p=0.1的二項(xiàng)分布，所以E（X）=np=40.1=0.4,D(X)=npq=40.10.9=0.36.類題演練 2 一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每個(gè)選擇正確答案得4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分.某學(xué)生選對(duì)任一題的概率為0.6，求此學(xué)生在這一次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望與方差.解：設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中選擇正確答案的個(gè)數(shù)為X，所得的分?jǐn)?shù)（成績(jī)）為Y，則Y=4X.由題知XB（25，0.6）,EX=250.6=15,DX=250.60.4=6,EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42DX=166=96.答：該學(xué)生在這次測(cè)驗(yàn)中的期望與方差分別是60與96.點(diǎn)評(píng)：審清題意得出XB（25，0.6）是解本題的重要一步.變式提升 2若X是離散型隨機(jī)變量，P（X=x1）=,P(X=x2)= ,且x1x2,又已知EX=,DX=,則x1+x2的值為（ ）A. B. C.3 D.