1、第33講 周期函數(shù)與周期數(shù)列本節(jié)主要內(nèi)容有周期；周期數(shù)列、周期函數(shù)周期性是自然規(guī)律的重要體現(xiàn)之一，例如地球公轉(zhuǎn)的最小正周期就體現(xiàn)為年的單位在數(shù)學(xué)中，我們就經(jīng)常遇見各種三角函數(shù)，這類特殊的周期函數(shù)，特別是正弦、余弦函數(shù)與音樂有著密切的聯(lián)系:19世紀法國數(shù)學(xué)家傅立葉證明了所有的樂聲不管是器樂還是聲樂都能用數(shù)學(xué)表達式來描述，它們一定是一些簡單的正弦周期函數(shù)的和 作為認識自然規(guī)律的主要手段，數(shù)學(xué)在本學(xué)科中嚴格地引進了“周期”這個重要概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們僅僅討論定義域是整個實數(shù)軸的實值映射的周期性，盡管形式十分簡單，但與之相關(guān)的問題仍有待研究中學(xué)數(shù)學(xué)里稱函數(shù)的周期，沒有特殊說明是指其最小正周期如果函數(shù)

2、yf(x)對于定義域內(nèi)任意的x，存在一個不等于0的常數(shù)T，使得f(xT)f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期一般情況下，如果T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(kN)也是f(x)的周期1若f (xT)=f ( x)，則2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)證明：f(x2 T)= f(xTT)= f(xT)= f ( x)，由周期函數(shù)的性質(zhì)可得f(x2n T)= f ( x)，(nZ)2若f (xT)=，則2T是f ( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)僅以f (xT)=證明如下：f(x2 T)= f(xTT)= = f ( x)由周期函數(shù)的性質(zhì)

3、可得f(x2n T)= f ( x)，(nZ)3在數(shù)列中，如果存在非零常數(shù)，使得對于任意的非零自然數(shù)均成立，那么就稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫數(shù)列的周期A類例題例1（2001年上海春季卷） 若數(shù)列前8項的值各異，且對任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍前8項值的數(shù)列為 （ ）A B C D解析 由數(shù)列an前8項的值各異， 對任意nN都成立，得數(shù)列an的周期T= 8，則問題轉(zhuǎn)化為2k1， 3k1， 4k1， 6k1中k= 1，2，3，代入被8除若余數(shù)能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7即為答案經(jīng)檢驗3k 1可以，故可取遍an的前8項值答案為B說明 本題還可以奇偶性的角度考慮，在2k1， 3k

4、1， 4k1， 6k1中，2k1， 4k1， 6k1都是奇數(shù)，除8后仍都是奇數(shù)，只有3k1除8后余數(shù)能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7例2 定義在R上的奇函數(shù)且f ( x2)=f ( x2)，且f (1)= 2則f ( 2)f (7)= 解 因為f ( x2)=f ( x2)，知f(x2T)= f ( x)即f(x4)= f ( x)所以f(7)= f ( 34)= f(14)= f ( 1)= f ( 1)=2f(2)= f ( 24)= f(2) 所以f(2)= 0 從而f ( 2)f (7)=2 鏈接 若f (xT)=f ( xT)，f (xT)=f ( xT)，2T是f

5、( x)的周期，即f(x2 T)= f ( x)證明：f(x2 T)= f(xTT)=f(xTT)= f ( x)f (xT)=f ( xT)，4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x)證明：f(x2T)= f(xTT)= f(xT)T= f ( x) 所以由(一)可得f(x4T)= f ( x) 情景再現(xiàn)1已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x，都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，求證:2|ab|是f(x)的一個周期(ab)2 已知數(shù)列滿足x1=1，x2=6，(n2)，求x2006及S2006B類例題例3定義在R上的奇數(shù)滿足 f (1x)=f (1x)，當時， f ( x)=

6、2x4，則時f ( x)=因為f (1x)=f (1x)， f (x)=f (x)，知f(x4)= f ( x)，故當時， x4， f ( x)= f(x4)= 2x44=2x又時，即，所以f ( x)= f ( x)= 2x()鏈接：若f (T x)=f (T x)，(1) f (T x)=f (T x)若f ( x)是偶函數(shù)，則2T是f ( x)的周期，即f(x2T)= f ( x)若f ( x)是奇函數(shù)，則4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x) (2) f (T x)=f (T x)若f ( x)是偶函數(shù)，則4T是f ( x)的周期，即f(x4T)= f ( x)若f

7、( x)是奇函數(shù)，則2T是f ( x)的周期，即f(x2T)= f ( x)例4 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，對任意x1、x20，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a0(1)求f()、f();(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)記an=f(2n)，求 （2001年全國高考題）分析 本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力 認真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1x2)=f(x1)f(x2)找到問題的突破口由f(x1x2)=f(x1)f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵解 (1) 因為對x

8、1，x20，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，所以f(x)=0，x0，1又因為f(1)=f()=f()f()=f()2f()=f()=f()f()=f（）2又f(1)=a0f()=a，f()=a(2)證明：依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱，故f(x)=f(11x)，即f(x)=f(2x)，xR又由f(x)是偶函數(shù)知f(x)=f(x)，xR， f(x)=f(2x)，xR將上式中x以x代換得f(x)=f(x2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期(3)解：由(1)知f(x)0，x0，1f()=f(n)=f(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()n=a

9、f()=a又f(x)的一個周期是2f(2n)=f()，因此an=a 例5 (1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)已知數(shù)列滿足(n2)，x1a， x2b， 記Snx1x2Lxn，則下列結(jié)論正確的是 ( )A x100=-a，S100=2b-a Bx100=-b，S100=2b-a C x100=-b，S100=b-a D x100=-a，S100=b-a解 因為=，于是得所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6k(kZ)，且x1x2Lx6=0，x100=x4=x1 =a故S10016(x1x2Lx6)x97x98Lx99x100= x1x2 x3x4=x2x3=2ba 例6 設(shè)數(shù)列 a1 ，a2 ，a3 ， an

10、，滿足a1 = a2 =1， a3 =2，且對任意自然數(shù)n都有 an an1 an21， an an1 an2 an3= an an1 an2an3，求 a1 a2 a3a100解 由an an1 an2 an3= an an1 an2an3， 得an1 an2 an3 an4= an1 an2 an3an4， 兩式相減得：(an an4 )(an1 an2 an31)=0， 由于an1 an2 an31，所以an4 =an 又a1 = a2=1，a3=2，由得2a4 =4a4 ，所以a4=4故 a1 a2 a3a4=8，于是 a1 a2 a3a100=25(a1 a2 a3a4)=200情景

11、再現(xiàn)3設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(，)上以2為周期的函數(shù)，對kZ，用Ik表示區(qū)間(2k1，2k1，已知當xI0時f(x)=x2()求f(x)在Ik上的解析表達式;()對自然數(shù)k，求集合Mk=a使方程f(x)=ax在Ik上有兩個不相等的實根4 (2005年上海理科卷)在直角坐標平面中，已知點，其中是正整數(shù)對平面上任一點，記為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點(1)求向量的坐標；(2)當點在曲線上移動時，點的軌跡是函數(shù)的圖象，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當時，求以曲線為圖象的函數(shù)在的解析式；對任意偶數(shù)，用表示向量的坐標C類例題例7 (2005年廣東卷19)設(shè)函數(shù)，且在閉區(qū)間0，7上，

12、只有（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程在閉區(qū)間2005，2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論解 （）由，從而知函數(shù)的周期為又，所以故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(II) 又故f(x)在0，10和10，0上均有有兩個解，從而可知函數(shù)在0，2005上有402個解，在20050上有400個解，所以函數(shù)在2005，2005上有802個解 鏈接 若f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，(ab)(1)若f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，或f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，則2(ba)是f ( x)的周期，即fx2( ba)= f (

13、 x)證明：因為f (2ax)=f a(a x)=f (2ax)=f (x)，同理f (2bx) =f (x)，因為fx2( ba)= f2b(x2a)= f(x2a)= f ( x)或f (2ax)=f a(a x)=f a(ax)=f (x)，同理f (2bx) =f (x)，因為f x2(ba) = f 2b(x2a) = f 2a(x) = f (x)(2)若f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，或f (ax)=f (a x)，且f (bx)=f (b x)，則4(ba)是f ( x)的周期，即fx4( ba)= f ( x)(證明留給讀者完成)例8數(shù)列 an

14、滿足 an = an1 an2 (n 3)如果它的前1492項之和是1985， 而它的前1985項之和是1492那么前2 001項的和是多少? (1985年中美數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽試題)解 因為an = an1 an2 =( an2 an3 ) an2 = an3同理an3= an6所以an = an6故數(shù)列 an 是周期數(shù)列其周期為6 且f( n)=f( 6kn)， (kN) Sn= anan1an2La1， 且an = an1 an2 (n 3)所以Sn=( an1 an2)( an2 an3) ( an3 an4) ( a2 a1) a2a1= an1 a2 (n 3)因此S1492= a14

15、91 a2= a24863 a2= a3 a2=1985，S1985= a1984 a2= a33064 a2= a4 a2= a3=1492由以上兩式得a2=493，所以S2001= a2000 a2= a33362 a2= a2 a2=986情景再現(xiàn)5已知f (x)是定義在R上的函數(shù)f (10 x)= f (10 x)， f (20 x)= f(20 x) 則f (x)是( ) A周期為20的奇函數(shù) B周期為20的偶函數(shù) C周期為40的奇函數(shù) D周期為40的偶函數(shù) 6在數(shù)列 an 中 an = 13， an = 56對所有的正整數(shù)n都有an1 = an an2，求a1994 (1994年第

16、5屆希望杯”競賽題)習(xí)題14A類習(xí)題1定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么(1)的值為_，(2)這個數(shù)列的前n項和的計算公式為_ (2004年北京理工卷) 2若存在常數(shù)，使得函數(shù)的一個正周期為 （2003年春季北京卷）3對任意整數(shù)x，函數(shù)滿足，若，則 4已知函數(shù)f(x)的定義域為N，且對任意正整數(shù)x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)5已知對于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求證：f(x)是偶函數(shù)；若

17、存在正整數(shù)m使得f(m)0，求滿足f(xT)f(x)的一個T值(T0)6記f(n)為自然數(shù)n的個位數(shù)字，an = f(n2) f(n)求a1a2a3La2006的值B類習(xí)題7函數(shù)定義在整數(shù)集上 滿足：=， 求的值8 已知數(shù)列 an 滿足 a1=1，a2=2，anan1an2=an an1an2，且 an1an21，求的值9 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱且滿足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1求證：(1)f(x)是奇函數(shù)(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a10 已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意xR，有f(xT)=T f(

18、x)成立 （1）函數(shù)f(x)= x 是否屬于集合M？說明理由； （2）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a0，且a1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明： f(x)=axM； （3）若函數(shù)f(x)=sinkxM ，求實數(shù)k的取值范圍(2003年上海卷)C類習(xí)題11整數(shù)數(shù)列，時對于每個n3都有an= an1 an2，若前2003項的和為a，(a0)則S5=( )Aa B C D 5 a ( 2003年希望杯)12 設(shè)f(x)是一個從實數(shù)集R到R的一個映射，對于任意的實數(shù)x，都有|f(x)|1，并且f(x)，求證:f(x)是周期函數(shù)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1 不妨設(shè)ab， 于是f(x2(ab)f(a(xa2b)

19、f(a(xa2b)f(2bx)f(b(xb)f(b(xb)f(x) 2(ab)是f(x)的一個周期當ab時同理可得 所以，2|ab|是f(x)的周期2解法一：由x1=1，x2=6，及 得x3=5，x4=1， x5=6，x6=5， x7=1，x8=6， 所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6k(kZ)，且 x1x2Lx6=0，所以x2006= x63342= x2=6 S2006=7解法二：因為=，于是得所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6k(kZ)，且x1x2Lx6=0，所以x2006= x63342= x2=6 S2006=73 證明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，

20、即f(x)f(x) ， 所以，f(x)為偶函數(shù)令axm，bm 得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x) 于是f(x4m)f(x2m)2m f(x2m) f(x)即T4m(周期函數(shù))4 ():f(x)是以2為周期的函數(shù)，當kZ時，2k是f(x)的周期又當xIk時，(x2k)I0，f(x)=f(x2k)=(x2k)2即對kZ，當xIk時，f(x)=(x2k)2()解:當kN且xIk時，利用()的結(jié)論可得方程(x2k)2=ax，整理得x2(4ka)x4k2=0 它的判別式是=(4ka)216k2=a(a8k)上述方程在區(qū)間Ik上恰有兩個不相等的實根的充要條件是a滿足， 化簡 由知a0，或a0時:因2a2a，故從，可得2a，即即所以 當a8k時:2a28k0，易知0 時 (2)K=0 ， a1a0， 或0a0且a1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，所以方程組：有解，消去y得ax=x，顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T 于是對于f(x)=ax有 故f(x)=axM（3）當k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0M當k0時，因為f(x)=sinkxM，所以存在非零常數(shù)T，對任意xR，有f(xT)=T f(x)成