1、31.1傾斜角與斜率 提出問題在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點P.問題1：直線l的位置能夠確定嗎？提示：不能問題2：過點P可以作與l相交的直線多少條？提示：無數(shù)條問題3：上述問題中的所有直線有什么區(qū)別？提示：傾斜程度不同導(dǎo)入新知1.傾斜角的定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角如圖所示，直線l的傾斜角是APx，直線l的傾斜角是BPx.2傾斜角的范圍：直線的傾斜角的取值范圍是0180，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.3傾斜角與直線形狀的關(guān)系傾斜角00909090180直線化解疑難對直線的傾斜角的理解(1)傾斜角定義中含有三個

2、條件：x軸正向；直線向上的方向；小于180的非負角(2)從運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角(3)傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對x軸的傾斜程度(4)平面直角坐標系中的每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等. 提出問題日常生活中，常用坡度(坡度)表示傾斜程度，例如，“進2升3”與“進2升2”比較，前者更陡一些，因為坡度.問題1：對于直線可利用傾斜角描述傾斜程度，可否借助于坡度來描述直線的傾斜程度？提示：可以問題2：由上圖中坡度為升高量與水平前進量的比值，那么對于平面直角坐

3、標系中直線的傾斜程度能否如此度量？提示：可以問題3：通過坐標比，你會發(fā)現(xiàn)它與傾斜角有何關(guān)系？提示：與傾斜角的正切值相等導(dǎo)入新知1斜率的定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率常用小寫字母k表示，即ktan_.2斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.當x1x2時，直線P1P2沒有斜率3斜率作用：用實數(shù)反映了平面直角坐標系內(nèi)的直線的傾斜程度化解疑難1傾斜角與斜率k的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率當傾斜角是90時，直線的斜率不存在，此時，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)(2)直線的斜率也反映了直線相對于x軸的正

4、方向的傾斜程度當090時，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當90180時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大2斜率公式(1)直線的斜率與兩點的順序無關(guān)，即兩點的縱坐標和橫坐標在公式中的次序可以同時調(diào)換，就是說， 如果分子是y2y1，分母必須是x2x1；反過來，如果分子是y1y2，分母必須是x1x2，即k.(2)用斜率公式時要一看，二用，三求值一看，就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進行第二步；二用，就是將點的坐標代入斜率公式；三求值，就是計算斜率的值，尤其是點的坐標中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式時要對參數(shù)進行討論 例1(1)若直線l的向上方向與y軸的正方向成30角，

5、則直線l的傾斜角為()A30B60C30或150 D60或120(2)下列說法中，正確的是()A直線的傾斜角為，則此直線的斜率為tan B直線的斜率為tan ，則此直線的傾斜角為C若直線的傾斜角為，則sin 0D任意直線都有傾斜角，且90時，斜率為tan 解析(1)如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60或120.(2)對于A，當90時，直線的斜率不存在，故不正確；對于B，雖然直線的斜率為tan ，但只有0180時，才是此直線的傾斜角，故不正確；對于C，當直線平行于x軸時，0，sin 0，故C不正確，故選D.答案(1)D(2)D類題通法求直線的傾斜角的方法及兩點注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用

6、特殊三角形(如直角三角形)求角(2)兩點注意：當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0，當直線與x軸垂直時，傾斜角為90.注意直線傾斜角的取值范圍是0180.活學活用1直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是()A0，90)B90，180)C(90，180) D(0，180)解析：選C直線傾斜角的取值范圍是0，180)，又直線l經(jīng)過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是(90，180)2設(shè)直線l過原點，其傾斜角為，將直線l繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，得到直線l1，則直線l1的傾斜角為()A45B135C135D當0135時為45，當135180時為135解析：選D當0135時，l1的傾斜

7、角是45.當135180時，結(jié)合圖形和傾斜角的概念，即可得到l1的傾斜角為135，故應(yīng)選D. 例2(1)已知過兩點A(4，y)，B(2，3)的直線的傾斜角為135，則y_；(2)過點P(2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為_；(3)已知過A(3,1)，B(m，2)的直線的斜率為1，則m的值為_解析(1)直線AB的斜率ktan 1351，又k，由1，得y5.(2)由斜率公式k1，得m1.(3)當m3時，直線AB平行于y軸，斜率不存在當m3時，k1，解得m0.答案(1)5(2)1(3)0類題通法利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(1)運用公式的前提條件是“x1x2”，即直線不與x軸

8、垂直，因為當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的；(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關(guān)，也就是說公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置活學活用3(2012河南平頂山高一調(diào)研)若直線過點 (1,2)，(4，2)，則此直線的傾斜角是()A30 B45C60 D90解析：選A設(shè)直線的傾斜角為，直線斜率k，tan .又0180，30. 例3已知實數(shù)x，y滿足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值解如圖所示，由于點(x，y)滿足關(guān)系式2xy8，且2x3，可知點P(x，y)在線段AB上移動，并且A，B兩點的坐標可分別求得為A(2,4)，B(3,2)由于的幾何意義是直線OP的斜率，且kOA2，k

9、OB，所以可求得的最大值為2，最小值為.類題通法根據(jù)題目中代數(shù)式的特征，看是否可以寫成的形式，若能，則聯(lián)想其幾何意義(即直線的斜率)，再利用圖形的直觀性來分析解決問題活學活用4點M(x，y)在函數(shù)y2x8的圖象上，當x2,5時，求的取值范圍解：的幾何意義是過M(x，y)，N(1，1)兩點的直線的斜率點M在函數(shù)y2x8的圖象上，且x2,5，設(shè)該線段為AB且A(2,4)，B(5，2)kNA，kNB，.的取值范圍為， 典例已知兩點A(3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點，則l的傾斜角的取值范圍_；直線l的斜率k的取值范圍_解析如圖，由題意可知kPA1，kPB1，則直線l

10、的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45，PA的傾斜角是135，直線l的傾斜角的取值范圍是45135；要使l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是k1或k1.答案45135k1或k1易錯防范1本題易錯誤地認為1k1，結(jié)合圖形考慮，l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，要特別注意，當l的傾斜角小于90時，有kkPB；當l的傾斜角大于90時，則有kkPA.2.如圖，過點P的直線l與直線段AB相交時，因為過點P且與x軸垂直的直線PC的斜率不存在，而PC所在的直線與線段AB不相交，所以滿足題意的斜率夾在中間，即kPAkkPB.解決這類問題時，可利用數(shù)形結(jié)合思想直

11、觀地判斷直線是夾在中間還是在兩邊成功破障已知直線l過點P(3,4)，且與以A(1,0)，B(2,1)為端點的線段AB有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍解：直線PA的斜率kPA1，直線PB的斜率kPB3，要使直線l與線段AB有公共點，k的取值范圍為1,3隨堂即時演練1關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列說法正確的是()A任一直線都有傾斜角，都存在斜率B傾斜角為135的直線的斜率為1C若一條直線的傾斜角為，則它的斜率為ktan D直線斜率的取值范圍是(，)解析：選D任一直線都有傾斜角，但當傾斜角為90時，斜率不存在所以A、C錯誤；傾斜角為135的直線的斜率為1，所以B錯誤；只有D正確2已知經(jīng)過兩點(5，

12、m)和(m,8)的直線的斜率等于1，則m的值是()A5B8C. D7解析：選C由斜率公式可得1，解之得m.3直線l經(jīng)過原點和(1,1)，則它的傾斜角為_解析：kl1，因此傾斜角為135.答案：1354已知三點A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一條直線上，實數(shù)a的值為_解析：A、B、C三點共線，kABkBC，即，a2或.答案：2或5已知A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值解：由題意直線AC的斜率存在，即m1.kAC，kBC.3.整理得：m1(m5)(m1)，即(m1)(m4)0，m4或m1(舍去)m4.課時達標檢測一、選擇題1

13、給出下列說法，正確的個數(shù)是()若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等；一條直線的傾斜角為30；傾斜角為0的直線只有一條；直線的傾斜角的集合|0180與直線集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系A(chǔ)0 B1C2 D3解析：選A若兩直線的傾斜角為90，則它們的斜率不存在，錯；直線傾斜角的取值范圍是0，180)，錯；所有垂直于y軸的直線傾斜角均為0，錯；不同的直線可以有相同的傾斜角，錯2過兩點A(4，y)，B(2，3)的直線的傾斜角為45，則y()A B.C1 D1解析：選Ctan 45kAB，即1，所以y1.3.如圖，設(shè)直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為()Ak1

14、k2k3Bk1k3k2Ck2k1k3Dk3k2k1解析：選A根據(jù)“斜率越大，直線的傾斜程度越大”可知選項A正確4經(jīng)過兩點A(2,1)，B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是()Am1 Bm1C1m1 Dm1或m1解析：選C直線l的傾斜角為銳角，斜率k0，1m1.5(2012廣州高一檢測)如果直線l過點(1,2)，且不通過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是()A0,1 B0,2C. D(0,3解析：選B過點(1,2)的斜率為非負且最大斜率為此點與原點的連線斜率時，圖象不過第四象限二、填空題6已知a0，若平面內(nèi)三點A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a_.解析：若平

15、面內(nèi)三點共線，則kABkBC，即，整理得a22a10，解得a1，或a1(舍去)答案：17如果直線l1的傾斜角是150，l2l1，垂足為B.l1，l2與x軸分別相交于點C，A，l3平分BAC，則l3的傾斜角為_解析：因為直線l1的傾斜角為150，所以BCA30，所以l3的傾斜角為(9030)30.答案：308已知實數(shù)x，y滿足方程x2y6，當1x3時，的取值范圍為_解析：的幾何意義是過M(x，y)，N(2,1)兩點的直線的斜率，因為點M在函數(shù)x2y6的圖象上，且1x3，所以可設(shè)該線段為AB，且A，B，由于kNA，kNB，所以的取值范圍是.答案：三、解答題9已知直線l過點A(1,2)，B(m,3)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍解：設(shè)l的斜率為k，傾斜角為，當m1時，斜率k不存在，90，當m1時