1、第3講數(shù)學(xué)歸納法【課前熱身】第3講數(shù)學(xué)歸納法(本講對應(yīng)學(xué)生用書第6264頁)1.(選修2-2 P88練習(xí)2改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+an=(a1，nN*)，在驗證n=1時，左邊計算所得的式子是.【答案】1+a【解析】n=1時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項為a，所以左邊是1+a.2.(選修2-2 P88例4改編)若nN*，f(n)=5n+23n-1+1，通過計算n=1，2，3，4時f(n)的值，可以猜想f(n)能被數(shù)值整除.(填最大的正整數(shù))【答案】8【解析】f(1)=8=81，f(2)=32=84，f(3)=144=818，f(4)=680=885，所以猜想f(n)能被8整除.3.

2、(選修2-2 P91習(xí)題7改編)已知數(shù)列滿足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9，則可以通過求a1，a2，a3的值猜想出an=.【答案】【解析】由a1=1，a2=，a3=，a4=進行猜想，可得an=.4.(選修2-2 P98復(fù)習(xí)題7改編)從1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性結(jié)論是.【答案】n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN*)【解析】第n個式子的左邊首項為n，公差為1，共2n-1項，所以左邊=n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)，式子右邊是(2n-1)2.5.(選修2-2 P103復(fù)習(xí)題13改編)已知數(shù)列，計算S1，S

3、2，S3，由此推測出Sn=.【答案】【解析】S1=，S2=，S3=，推測Sn=.【課堂導(dǎo)學(xué)】利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1已知f(n)=1+(nN*).求證：f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(n2，nN*).【分析】與自然數(shù)有關(guān)的等式證明，可以采用數(shù)學(xué)歸納法，但要注意n0的取值.【解答】當(dāng)n=2時，左邊=f(1)=1.右邊=2=1，左邊=右邊，等式成立.假設(shè)n=k(k2，kN*)時，結(jié)論成立，即f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1.那么，當(dāng)n=k+1時，f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)-k=(k+1

4、)f(k+1)-(k+1)=(k+1)f(k+1)-1，所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論仍然成立.所以f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(n2，nN*)成立.【點評】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，要注意第(1)步中驗證n0的值，如本題要取n0=2，在第(2)步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上推證n=k+1等式也成立，但必須用上述歸納假設(shè).變式當(dāng)nN*時，求證：1-+-+-=+.【解答】當(dāng)n=1時，左邊=1-=，右邊=，左邊=右邊.所以當(dāng)n=1時，等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k1)時，等式成立，即1-+-+-=+.則當(dāng)n=k+1時，左邊=1-+-+-+-=+-=+-=+=右邊，所以當(dāng)n=k+1時，

5、等式也成立.由知1-+-+-=+，即對任意的nN*，等式都成立.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2(2016揚州期末)已知函數(shù)f(x)=2x-3x2，設(shè)數(shù)列an滿足a1=，an+1=f(an).(1)求證：nN*，都有0an；(2)求證：+4n+1-4.【點撥】第(2)問嘗試將右邊轉(zhuǎn)化為n項的和的形式.【解答】(1)當(dāng)n=1時，a1=，有0a1，所以n=1時，不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時，不等式成立，即0ak，則當(dāng)n=k+1時，ak+1=f(ak)=2ak-3=-3=-3+，于是-ak+1=3.因為0ak，所以03，即0-ak+1，可得0ak+1，所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.由可知，對

6、任意的正整數(shù)n，都有0an.(2)由(1)可得-an+1=3，兩邊同時取以3為底的對數(shù)，可得log3=1+2log3，化簡為1+log3=2，所以數(shù)列是以log3為首項、2為公比的等比數(shù)列.所以1+log3=2n-1log3，化簡求得-an=，所以=3.因為n2時，2n-1=+1+n-1=n，當(dāng)n=1時，2n-1=1，所以nN*時，2n-1n，所以=334n，因為+=3(+)3(41+42+4n)=4n+1-4，所以+4n+1-4.【點評】對于不等式的證明問題，常用的方式就是將不等式的左、右兩邊都轉(zhuǎn)化為相同項數(shù)的和，然后采用逐一比較的方法來加以證明.而與自然數(shù)有關(guān)的命題的證明，可以考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)

7、歸納法來加以證明.變式(2016徐州四校調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ax-x2的最大值不大于，又當(dāng)x時，f(x).(1)求a的值；(2)設(shè)0a1，an+1=f(an)，nN*，求證：an.【解答】(1)由題意，知f(x)=ax-x2=-+.又f(x)max，所以f=.所以a21.又x時，f(x)，所以即解得a1.又因為a21，所以a=1.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，0a1，結(jié)論顯然成立.因為當(dāng)x時，0f(x)，所以0a2=f(a1).故n=2時，原不等式也成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k2，kN*)時，不等式0ak成立.由(1)知a=1，f(x)=x-x2，因為f(x)=x-x2的對稱軸為直線x=，

8、所以當(dāng)x時，f(x)為增函數(shù).所以由0ak，得0f(ak)f.于是，0ak+1=f(ak)-+-=-.所以當(dāng)n=k+1時，原不等式也成立.根據(jù)知對任意的nN*，不等式ann2=1，當(dāng)n=2時，22+2=6n2=4，當(dāng)n=3時，23+2=10n2=9，由n=4時，24+2=18n2=16，由此可以猜想，2n+2n2(nN*)成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，左邊=21+2=4，右邊=1，所以左邊右邊，所以原不等式成立.當(dāng)n=2時，左邊=22+2=6，右邊=22=4，所以左邊右邊；當(dāng)n=3時，左邊=23+2=10，右邊=32=9，所以左邊右邊.假設(shè)n=k(k3且kN*)時，不等式成立，即2k

9、+2k2.那么當(dāng)n=k+1時，2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2.又因為2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)0，即2k2-2(k+1)2，故2k+1+2(k+1)2成立.根據(jù)和，知原不等式對于任何nN*都成立.2.(2016淮陰信息卷)已知f(n)=1+，g(n)=-，nN*.(1)當(dāng)n=1，2，3時，試比較f(n)與g(n)的大?。?2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明.【解答】(1)當(dāng)n=1時，f(1)=1，g(1)=1，所以f(1)=g(1)；當(dāng)n=2時，f(2)=，g(2)=，所以f(2)g(2)；當(dāng)n=3時，f(3)=，g(3

10、)=，所以f(3)g(3).(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.當(dāng)n=1，2，3時，不等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)n=k(k3，kN*)時不等式成立，即1+-.那么當(dāng)n=k+1時，f(k+1)=f(k)+-+.因為-=-=0，所以f(k+1)-=g(k+1).由可知，對一切nN*，都有f(n)g(n)成立.3.(2016新海中學(xué)月考)將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下，試猜測S1+S3+S5+S2n-1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明

11、.S1=1，S2=2+3=5，S3=4+5+6=15，S4=7+8+9+10=34，S5=11+12+13+14+15=65，S6=16+17+18+19+20+21=111，【解答】由題意知，當(dāng)n=1時，S1=1=14；當(dāng)n=2時，S1+S3=16=24；當(dāng)n=3時，S1+S3+S5=81=34；當(dāng)n=4時，S1+S3+S5+S7=256=44；猜想：S1+S3+S5+S2n-1=n4.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，S1=1=14，等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時等式成立，即S1+S3+S5+S2k-1=k4，那么，當(dāng)n=k+1時，S1+S3+S5+S2k-1+S2k+1=k4+(2k

12、2+k+1)+(2k2+k+2)+(2k2+k+2k+1)=k4+(2k+1)(2k2+2k+1)=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4，所以當(dāng)n=k+1時，等式也成立.根據(jù)和可知對于任意的nN*，S1+S3+S5+S2n-1=n4都成立.溫馨提示：趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估第3132頁.【檢測與評估】第3講數(shù)學(xué)歸納法一、 解答題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對nN*，都有+=.2.求證：+；(2)求證：當(dāng)n3時，g(n).6.(2016南通一調(diào))已知函數(shù)f0(x)=x(sin x+cos x)，設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)函數(shù)，nN*.(1)求f1(x)，f2

13、(x)的解析式；(2)寫出fn(x)的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.7.(2016南京三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(x0，y0)在曲線y=x2(x0)上.已知點A(0，-1)，Pn()，nN*，記直線APn的斜率為kn.(1)若k1=2，求點P1的坐標(biāo)；(2)若k1為偶數(shù)，求證：kn為偶數(shù).8.(2016蘇錫常鎮(zhèn)二模)設(shè)實數(shù)a1，a2，an滿足a1+a2+an=0，且|a1|+|a2|+|an|1(nN*且n2)，令bn=(nN*).求證：|b1+b2+bn|-(nN*).【檢測與評估答案】第3講數(shù)學(xué)歸納法一、 解答題1. 當(dāng)n=1時，左邊=，右邊=，左邊=右邊.所以n=1時，等式成立.

14、假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即+=，則n=k+1時，+=+=，所以當(dāng)n=k+1時，等式也成立.由知+=.2. 當(dāng)n=1時，=1，不等式成立.假設(shè)n=k(k1且kN*)時，不等式成立，即+.則當(dāng)n=k+1時，+ .因此，欲證明n=k+1時，原不等式成立，只需證明+ ，可以轉(zhuǎn)化為證明，即證明+.又-=k2+3k+2-=k2+k+1-2=0，于是有+成立.所以當(dāng)n=k+1時，原不等式也成立.由可知，當(dāng)nN*時，原不等式都成立.3. 由f(n)=(2n+7)3n+9得f(1)=36，f(2)=336，f(3)=1036，f(4)=3436，由此猜想m=36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立；假設(shè)

15、當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即f(k)能被36整除，設(shè)f(k)=(2k+7)3k+9=t36.則當(dāng)n=k+1時，f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1)=336t+182s=36(3t+s)，所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立.由可知，對一切正整數(shù)n，f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除，m的最大值為36.4. (1) x2=f(x1)=，x3=f(x2)=，x4=f(x3)=.(2) 根據(jù)(1)的計算結(jié)果，可以歸納猜想xn=.(3) 當(dāng)n=1時，x1=1，與已知相符，歸納出的公式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k1，kN*)時

16、成立，即xk=；則當(dāng)n=k+1時，有xk+1=f(xk)=，所以當(dāng)n=k+1時公式也成立.由知，對任意nN*，有xn=.5. (1) 由題意知an=3n-2，g(n)=+，當(dāng)n=2時，g(2)=+=+=.(2) 用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：當(dāng)n=3時，g(3)=+=+=+=+，所以當(dāng)n=3時，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k3，kN*)時，結(jié)論成立，即g(k)，則當(dāng)n=k+1時，g(k+1)=g(k)+-+-=+=+，由k3可知，3k2-7k-30，即g(k+1).所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立.綜合可得，當(dāng)n3時，g(n).6. (1) 因為fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)函數(shù)，所以f1(x)=f0(x)

17、=(sin x+cos x)+x(cos x-sin x)=(x+1)cos x+(x-1)(-sin x)，同理，f2(x)=-(x+2)sin x-(x-2)cos x.(2) 由(1)得f3(x)=f2(x)=-(x+3)cos x+(x-3)sin x，把f1(x)，f2(x)，f3(x)分別改寫為f1(x)=(x+1)sin+(x-1)cos，f2(x)=(x+2)sin+(x-2)cos，f3(x)=(x+3)sin+(x-3)cos，猜測fn(x)=(x+n)sin+(x-n)cos(*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述等式.當(dāng)n=1時，由(1)知，等式(*)成立；假設(shè)當(dāng)n=k時，等式

18、(*)成立，即fk(x)=(x+k)sin+(x-k)cos，則當(dāng)n=k+1時，fk+1(x)=fk(x)=sin+(x+k)cos+cos+(x-k)=(x+k+1)cos+x-(k+1)=x+(k+1)sin+x-(k+1)cos，即當(dāng)n=k+1時，等式(*)成立.綜上所述，當(dāng)nN*時，fn(x)=(x+n)sin+(x-n)cos.7. (1) 因為k1=2，所以=2，解得x0=1，y0=1，所以點P1的坐標(biāo)為(1，1).(2) 因為=+，kn=+，所以kn+2=k1kn+1-kn.k2=+=-2=-2.設(shè)命題p(n)：kn，kn+1均為偶數(shù).以下用數(shù)學(xué)歸納法證明“命題p(n)是真命題”.因為k1是偶數(shù)，所以k2=-2也是偶數(shù).當(dāng)n=1時，p(n)是真命題；假設(shè)當(dāng)n=m(mN*)時，p(n)是真命題，即km，km+1均為偶數(shù)，則km+2=k1km+1-km也是偶數(shù)，即n=m+1時，p(n)也是真命題.由可知，對nN*，p(n)均是真命題，從而kn是偶數(shù).8. 當(dāng)n=2時，a1=-a2，所以2|a1|=|a1|+|a2|1，即|a1|，所以|b1+b2|=-，即當(dāng)n=2時，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n