1、江蘇省蘇州中學、常州中學精品備課高二數(shù)學組合二一、本講進度 第十章 排列、組合和概率10.2組合二、主要內(nèi)容1、 組合的概念、組合數(shù)的表示法；2、 組合的計算公式，化簡公式及組合數(shù)的兩個性質；3、 利用組合及組合數(shù)的概念解實際問題。三、學習指導1、 組合的定義 ：課本P.96組合數(shù)的定義：課本P.97 組合的計算公式及化簡公式：課本P.98組合數(shù)化簡公式：中，等式右邊除以Amm，意味著抹去m個排列時的順序，簡稱“去序”。2、 關于組合數(shù)性質2：的理解及推廣。從集合的角度看，設被取的n+1個元素的集合是a，b1，b2，bn。公式左邊是從這n+1個元素中取m個的組合數(shù)。將該集合分成兩個子集A=a與

2、B=b1，b2，bn。將從n+1個元素中取m個元素的組合分成兩類（有且僅有該兩類）：一類是含有a，一類不含有a。含有a的一類分兩步得到：（1）從集合A中選一個元素，有C11種選法；（2）從B中選m-1個元素，有種選法，由分步計數(shù)原理，含a的組合有個。不含a的一類也可以分兩步得到：（1）從集合A中選0個元素，有C10種選法；（2）從B中選m個元素，有種選法，由分步計數(shù)原理，不含a的組合有C10Cnm個。再由分類計數(shù)原理，得到。此式特征，右邊每一項的下標之和為n+1，表示被取元素有n+1個，上標之和均為m，表示所取元素為m個。推廣一下，如被取元素有r+1個，每次取m個（mn+r，rm）個。則將n+

3、r個元素分成子集A和B，A含有r個元素，B含有n個元素，仿照剛才的思路可得： 3、對于組合數(shù)性質1：的運用。當時，一般用它來簡化計算。在某些證明題中，用它來變換上標。4、與組合有關的應用題分無附加的條件與有附加條件兩類，附加條件主要是“含與不含”，即某些特殊元素含有或不含在所要求的組合之中的問題。處理問題的方法分直接法及簡接法，其思路與排列問題類似。四、典型例題例1、，求證：m=1+2+3+n解題思路分析：從化簡組合數(shù)著手： 例2、求證：解題思路分析：法一：用組合數(shù)性質2自左向右合并項： 左=法二：左= 法三：表示從m+2個元素中每次取n+1個元素的組合數(shù)；把m+2個元素分成兩個集合：A與B，

4、其中A中含有m個元素，B中含有2個元素。從m+2個元素中的每次取出n+1個的組合，可以分成三類：從A中取n+1個，從B中取0個，有；從A中取n-1個，從B中取2個，有個；從A中取n個，從B中取1個，有個 總數(shù)為 即 評注：法一是用組合數(shù)性質，法二是用組合種數(shù)公式，法三是運用了基本概念，構造了組合數(shù)的模型。本題以第一種方法最簡單。例3、從A、B、C等16人中選7人（1） A必須在內(nèi)的有多少種？（2） A不在內(nèi)的有多少種？ （3）A、B同時在內(nèi)的有多少種？ （4）A或B中有1人在內(nèi)的有多少種？ （5）A、B、C三人中至少有1人在內(nèi)的有多少種？解題思路分析：（1） A必須在內(nèi)，那么只需從其余15人中

5、再選6人即可，因此有C156種；（2） A不在內(nèi)，所以除去A，只在15人人中選7人，有C157種；若用間接法：總數(shù)是C167，不滿足的情形是（1）中的情況，所以滿足的組合數(shù)為C167-C156； （3）A、B同時在內(nèi)，則只需從其余14個人中選5個人，有C145種； （4）分兩步，第一步從A、B中選1人，有C21種；第二步從其余14個人中選6人，有C146種，因此有C21C146種選法； （5）法一：間接法?？倲?shù)是C167，不滿足的情形是A、B、C均在內(nèi)，有C137種，因此滿足條件的組合數(shù)是C167-C137種。法二：直接法。分成四類：從A、B、C中分別選0個、1個、2個、3個，每一類再分成兩步

6、，則共有C30C137+C31C136+C32C135+C33C134種選法。評注：1、設集合R中有r個元素，集合S中有s個元素。如果RS中每次取m個元素的組合里，必須含有R中的r0個元素，那么這樣的組合數(shù)為（0r0r，0m-r0s）。本題第（1）（2）（3）（4）均屬于此類問題。2、解題時，選用直接法還是間接法，以簡便為原則。例4、有劃船運動員10人，其中3人只會劃右舷，2人只會劃左舷，其余5人既會劃左舷也會劃右舷，現(xiàn)在要從這10人中選出6人，平均分配在船的兩舷劃槳，有多少種選法？解題思路分析：首先借助于集合工具對研究對象分類。其次以只會劃左舷的人有2人在內(nèi)為標準進行分類：（1）有2人在內(nèi)，

7、（2）有1人在內(nèi)，（3）有0人在內(nèi)。對第（1）類：第一步從只會劃左舷的2人中選2人去劃左舷，第二步，從左右舷都會劃的5人中選1人也去劃左舷，第三步，從其中7人中選3人去劃右舷，完成這3步的方法數(shù)分別是C22、C51、C73，由分步計數(shù)原理，第（1）類方法有C22C51C73種。同理，第（2）類有C21C52C63種 第（3）類有C20C53C53種由分類計數(shù)原理，共有C22C51C73+C21C52C63+C20C53C53種選法評注：本題以會劃左舷的2人為標準進行分類，也可以以會劃右舷或以左右舷都會劃的5人為標準進行分類，一般說來，選擇元素較少的那一類做標準較簡單。例5、從5位男同學和4位女

8、同學中選出4位參加一個座談會，要求座談會的成員中既有男同學，又有女同學，有幾種不同的選法？解題思路分析：法一：直接法。滿足條件的組合有三類：（1）1男3女；（2）2男2女；（3）3男1女。分別有C51C43、C52C42、C53C41種選法，因此根據(jù)分類計數(shù)原理，共有； C51C43+C52C42+C53C41=120（種）選法法二：間接法。總數(shù)是C94，滿足的情形是4位同學全部是男生，或全部是女生，共有C54+C44種 滿足條件的選法有C94-C54-C44=120（種）例6、（1）四面體的一個頂點為A，從其它頂點和各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一個平面上，有多少種不同取法； （2）四

9、面體的頂點和棱中點共有10個點，在其中取4個不共面的點，有多少種不同的取法。解題思路分析：（1） 考慮平面ABC，從E、F、B、M、C中任取3點必與點A共面，共有C53種取法。同理，平面ACD，平面ABD也有類似的結論考慮直線AB與N，A、E、B、N共面，有1種選法同理直線AC與點P，直線AD與M也有類似結論根據(jù)分類計數(shù)原理，共有3C53+3=33（種）取法（2） 用間接法。從10個點中取4個點有C104種選法不滿足的情形指所取四點共面，有三類：每一個表面上的6點中取4點必共面，如平面ABC內(nèi)，六個點A、B、C、E、F、M中任取四點必共面。共有4C64=60種取法。每一條棱上的對棱中點四點共面

10、，如直線AB與點N，A、E、B、N共面。因為6條條棱，共有6種取法。六條棱的6個中點中任取4個點，因EFPN，EGMN，GFPM，共有3種取法。 滿足4點不共面的取法有C104-（60+6+3）=141（種）評注：本題應充分分析利用圖形的幾何性質。例7、在1，2，3，30這30個數(shù)中，每次取兩兩不等的三個數(shù)，使它們和是3的倍數(shù)，共有多少種不同的取法？解題思路分析：從每一個數(shù)能否被3整除著手，任一個自然數(shù)被3整除，根據(jù)余數(shù)為0，1，2分成三類：（1）能被3整除；A0=3，6，9，30，集合中共10個元素；（2）被3除余1：A1=1，4，7，28，集合中共10個元素；（3）被3除余2：A2=2，5

11、，8，29，集合中也有10個元素。所取3個數(shù)和是3的倍數(shù)的取法有兩類：一是分別從A1、A1、A2中取3個元素，每一個集合取法有C103種，因此共有3C103種二是各從A0、A1、A2中取1個元素，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有C101C101C101=(C101)3種根據(jù)分類計數(shù)原理，共有3C103+(C101)3=1360（種）例8、如果集合A1、A2滿足A1A2=A，則稱（A1、A2）為集合A的一種分析，并規(guī)定：當且僅當A1=A2時，（A1，A2）與（A2，A1）為集合A的同一種分拆，則集合A=a1，a2，a3有多少種不同的分拆法？解題思路分析：選定A1，以A1中元素個數(shù)為標準進行分類：（1） A

12、1是空集，則A2=a1，a2，a3，有1種分拆法； （2）A1是一元集，A2可以是二元集或三元集（必須含除A1中元素后剩余兩元素），有C312=6種分拆法； （3）A1是二元集，如A1=a1，a2，則A2可以是1元集，2元集，3元集（均必須含a3）,有C324=12種分拆法； （4）A1是三元素，則A2可以是一元集、二元集、三元集或，有1(C31+C31+1+1)=8種分拆法。根據(jù)分類計數(shù)原理，共有1+6+12+8=27種分拆法評注：由以上幾例可以看出，正確分類是解題的關鍵。同步練習（一） 選擇題1、 計算C10r+1+C1017-r，值不同的有A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 2、已知

13、a-2，-1，0，1，2，3，4，b-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，則方程表示的不同雙曲線條數(shù)最多是A、14 B、22 C、26 D、483、高三年級有8個班，分配4個數(shù)學教師任教，每個教師教兩個班，則不同的分派方式有A、P82P62P42P22種 B、C82C62C42C22種 C、C82C62C42C22P44種 D、種4、10個人分乘3輛汽車，要求甲車坐5人，乙車坐3人，丙車坐2人，則不同的乘車方法有A、 B、C102C82C55 C、C102C83C553！ D、P102P83P555、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法

14、共有A、35種 B、70種 C、84種 D、140種6、一組6條平行線與另一組3條平行線互相垂直，則由它們所圍成的矩形個數(shù)是A、16個 B、24個 C、45個 D、90個7、已知一些點的坐標（x，y）滿足|x|2，|y|2且xZ，yZ，若以這些點的其中三點為頂點作三角形，這樣的三角形共有A、72個 B、76個 C、80個 D、84個8、以正方體的頂點為頂點的四面體個數(shù)是A、70 B、64 C、58 D、24（二） 填空題9、若C7x=C72，則x=_；若Cx12=Cx3，則x=_；若Cx3Cx2=443，則x=_。10、利用公式Cnm+Cnm-1=Cn+1m計算（1） Cm5-Cm+15+Cm

15、4=_；（2） 若C172x+C172x-1=C186，則x=_；（3） C22+C32+C42+C102=_。11、M和N是兩個不重合的平面，在平面M內(nèi)取5個點，在平面N取4個點，則由這些點最多能決定不同位置的三棱錐有_個。12、棱梯一共有10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若要求8步走完這樓梯，則不同的走法共有_種。13、在連續(xù)6次射擊中，恰好命中4次的情形有_種，又在命中的4次恰好有3次是連續(xù)的情形有_種。（三） 解答題14、異面直線l1和l2上分別有m個和n個（m，n3）不同的點，以這些點為頂點，可分別構成多少個三角形？多少個四面體？15、在1，2，3，100這100個自然數(shù)

16、中，每次取不等的兩數(shù)相乘，使它們的積是7的倍數(shù)，這樣的取法共有多少種？16、大小不等的兩個正方體玩具，分別在各面上標以數(shù)字1，2，3，4，5，6，求：（1） 向上的面標著的數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？（2） 向上的面標著的數(shù)字之積不小于20的有多少種不同的情形？17、兩個同心圓，在外圓周上有相異的6個點，內(nèi)圓周上有相異的3個點，由這9個點所決定的直線最多有多少條？最少有多少條？18、有翻譯人員11名，其中5人僅通英語，4人僅通法語，另2人英語法語皆通，現(xiàn)欲從中找出8人，組成兩個翻譯小組，其中4人譯英語，另4人譯法語，兩個小組同時工作，問滿足條件的8人名單共可開列多少張？參考答案（一） 選擇題

17、 1、B。 由 得r=7，8，92、B。 因ab0，故有C21C51+C41C31=22條3、B。 將8個班分成4組，根據(jù)分步計數(shù)原理，有C82C62C42C22種4、B。 將10個人分成3組，人數(shù)分別是5，3，2，根據(jù)分步計數(shù)原理，有C102C83C55種。5、B。 分成兩類：甲2乙1，甲1乙2，共有C42C51+C52C41=70（臺）6、C。 C32C62=457、B。 滿足條件的點共有9個，用間接法得C93-8=76個8、C。 C84-12C44=58個（二） 填空題 9、 2或5 ， 20 ， 11 10、（1）0 （2）3或6 （3）16511、 120 C94-C54-C44或C52C42+C51C43+C53C4112、 28 C7213、 15 ， 6 C64=15（種）（三） 解答題14、Cm2Cn1+Cm1Cn2=個三角形；個四面體。15、記能被整除的數(shù)組成集合A=7，14，21，98，不能被7整除的數(shù)組成集合B，則取法分兩類： （1）A中取兩個數(shù)，有C142個；（2）A、B中各取1個，有C14