1、3.3 排序不等式課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、利用排序不等式證明不等式【例1】 已知a,b,cR+,求證:.證明：不妨設(shè)abc0,則00,則a+ba+cb+c0,0,0,對(duì)應(yīng)用排序原理,得,+,得2()a+b+c,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立).二、利用排序不等式證明條件不等式【例2】 設(shè)a,b,c,d是滿足ab+bc+cd+da=1的非負(fù)實(shí)數(shù),求證:.證明:不妨設(shè)abcd0,則a+b+ca+b+da+c+db+c+d0,得0,令S=,對(duì)于應(yīng)用排序原理,得S,S,S,+,可得3Sa2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da=1.S(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=時(shí),等號(hào)成立).類題演練2設(shè)a1,a2,

2、，an是1,2,n的一個(gè)排列,求證:+.證明:設(shè)b1,b2,bn-1是a1,a2,an-1的一個(gè)排列,且b1b2bn-1;c1,c2,cn-1是a2,a3,an的一個(gè)排列,且c1c2cn-1,則且b11,b22,bn-1n-1;c12,c23,cn-1n.利用排序不等式有.變式提升1設(shè)實(shí)數(shù)x1x2xn,y1y2yn,z1,z2,zn是y1,y2,yn的一個(gè)置換,證明22.證明:顯然所需證明之不等式等價(jià)于,這由排序不等式可直接得到.三、利用排序不等式解決其他問(wèn)題【例3】 有十個(gè)人各拿一只水桶去打水,設(shè)水龍頭灌滿第i個(gè)人的水桶需要ti分鐘,且這些ti(i=1,2,10)各不相等,試問(wèn):(1)只有一

3、只水龍頭供水時(shí),應(yīng)如何安排這十個(gè)人打水的次序,使他們的總的花費(fèi)時(shí)間最少?這個(gè)最少時(shí)間是多少?(2)若有兩個(gè)相同的水龍頭供水時(shí),應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序,使他們的總的花費(fèi)時(shí)間最少?這個(gè)最少時(shí)間是多少?解析：(1)設(shè)按某次序打水時(shí)水龍頭灌滿第i個(gè)人的水桶需要si分鐘,則第一人花費(fèi)的時(shí)間為s1分鐘,第二人花費(fèi)的時(shí)間為(s1+s2)分鐘,第十人花費(fèi)的時(shí)間為(s1+s2+s10)分鐘,總的花費(fèi)時(shí)間為s1+(s1+s2)+(s1+s2+s10)=10s1+9s2+2s9+s10.其中,序列s1,s2,s10是t1,t2,t10的一個(gè)排列.由題設(shè),這些ti各不相同,不妨設(shè)t1t2t10,則由排序原理知10s

4、1+9s2+2s9+s1010t1+9t2+2t9+t10，即按任意一個(gè)次序打水花費(fèi)的總時(shí)間不小于按如下順序打水的時(shí)間:先按打水所需時(shí)間從小到大依次排隊(duì),然后逐個(gè)打水,此時(shí)花費(fèi)時(shí)間最省,總的花費(fèi)時(shí)間為(10t1+9t2+2t9+t10)分鐘.(2)如果有兩個(gè)水龍頭,設(shè)總時(shí)間最少時(shí)有m個(gè)人在第一個(gè)水龍頭打水,設(shè)依次所用時(shí)間為p1,p2,pm;有10-m個(gè)人在第二個(gè)水龍頭打水,依次所需時(shí)間設(shè)為q1,q2,q10-m.顯然必有一個(gè)水龍頭的打水人數(shù)不少于5人,不妨設(shè)為第一個(gè)水龍頭,也不可能有一個(gè)水龍頭沒(méi)人去打水,則5m10.由(1)知p1p2pm,q1q2q10-m.總的花費(fèi)時(shí)間為T=mp1+(m-1

5、)p2+pm+(10-m)q1+(9-m)q2+q10-m.其中p1,p2,pm,q1,q2,q10-m=t1,t2,t10,t1t25,我們讓在第一個(gè)水龍頭打水的第一人到第二個(gè)水龍頭的第一位去,則總的花費(fèi)時(shí)間變?yōu)門=(m-1)p2+pm+(11-m)p1+(10-m)q1+q10-m.所以T-T=(2m-11)p10,即當(dāng)m5時(shí),我們讓第一個(gè)水龍頭的第一人到第二個(gè)水龍頭去后,總時(shí)間減少.故在m=5時(shí),總時(shí)間可能取得最小值.由于m=5,故兩個(gè)水龍頭人一樣多.總用時(shí)為T=(5p1+4p2+3p3+2p4+p5)+(5q1+4q2+3q3+2q4+q5).由于p1p2p5,q1q2q5.不妨設(shè)p1

6、=t1.下證q10,即經(jīng)交換后總時(shí)間變少.因此q1p2,也即q1=t2.類似地,我們可以證明piqiqi+1(i=1,2,3,4),p5q5.從而最省時(shí)的打水順序?yàn)樗堫^一:t1,t3,t5,t7,t9;水龍頭二:t2,t4,t6,t8,t10.其中t1t2t10.類題演練3設(shè)a1,a2,an是n個(gè)正數(shù),證明,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)等號(hào)成立.證法一:記G=,令bi=(i=1,2,n),則原不等式b1+b2+bnn,其中b1b2bn=1.取x1,x2,xn,使b1=,b2=,bn-1=,則bn=,由排序不等式易證b1+b2+bn=+n,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=xn時(shí)等號(hào)成立.所以所證不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)等號(hào)成立.證法二:令ti=a(i=1,2,n),則tn=1.從而正數(shù)序列t1,t2,tn及對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)大小次序正好相反,由排序原理得n=t1+t2+tnt1+t2+tn,即n=,從而G,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)等號(hào)成立.變式提升2設(shè)a,b,c是某三角形的三邊長(zhǎng),T是該三角形的面積,證明a2+b2+c2T,并問(wèn)何時(shí)取等號(hào)?證明:根據(jù)Heron公式,需證明不等式等價(jià)于(a2+b2+c2)23(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=3(b+c)2-a2a2-(b-