1、二叉樹(shù)模型,Investment Analysis and Portfolio Management,1,1 單步二叉樹(shù)模型,假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為$20 ，我們知道3個(gè)月后的價(jià)格將可能為$22 或$18 。 我們打算對(duì)3 個(gè)月后以$21 執(zhí)行價(jià)格買人股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。3 個(gè)月后期權(quán)價(jià)值是如下兩個(gè)值之一：若到時(shí)股票價(jià)格為$22 ，期權(quán)的價(jià)值將是$1; 若股票價(jià)格為$18 ，期權(quán)的價(jià)值將是0。,2,考慮一種有價(jià)證券組合，該組合包含一個(gè)股股票多頭和一個(gè)股票看漲期權(quán)的空頭。 我們將計(jì)算構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合時(shí)的 值。如果股票價(jià)格從$20 上升到$22時(shí)，股票的價(jià)值為22 ，期權(quán)的價(jià)值為$1 ，所以

2、該證券組合的總價(jià)值為22 -1; 如果股票價(jià)格從$20 下降到$18 時(shí)，股票的價(jià)值為18 ，期權(quán)的價(jià)值為零，該證券組合的總價(jià)值為18 。 如果選取某個(gè) 值，以使得該組合的終值對(duì)兩個(gè)股票價(jià)格都是相等的，則該組合就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。這意味著:,3,在無(wú)套利機(jī)會(huì)的情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合的收益必定為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)在這種情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年12%。因此我們知道今天該組合的價(jià)值一定是$4.5 的現(xiàn)值，即: 今天的股票價(jià)格己知為$20。假設(shè)期權(quán)的價(jià)格由f來(lái)表示。因此今天該組合的價(jià)值為: 20 x 0.25 - f = 5 f 于是 5 - f= 4.367,4,一般結(jié)論,考慮一個(gè)價(jià)格為S0的股票，基于該股

3、票的某期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格為f， 在這樣的條件下，我們可將以上所得結(jié)論推廣到一般情形： 假設(shè)期權(quán)在時(shí)刻T 到期，并且在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價(jià)格 或從S0 向上運(yùn)動(dòng)到一個(gè)新的水平S0u (其中,u1) 或從S0 向下運(yùn)動(dòng)到新的水平S0d（其中,d 1) 當(dāng)股票價(jià)格向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，股票價(jià)格增長(zhǎng)的比率為u-1 當(dāng)股票價(jià)格向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，股票價(jià)格減少的比率為1-d。 如果股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)到S0u ， 我們假設(shè)期權(quán)的損益為fu; 如果股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)到S0d ， 我們假設(shè)期權(quán)的損益為fd,5,想像一個(gè)證券組合由 股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭來(lái)組成。我們計(jì)算了使得該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)時(shí)的 值。如果股票價(jià)格上升，期權(quán)有效期末該組合的價(jià)值

4、為: 如果股票價(jià)格下降，組合的價(jià)值為: 當(dāng)二者價(jià)值相等時(shí): 即 (1),6,在這種情況下，該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，收益一定是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。公式(1 )說(shuō)明，當(dāng)我們?cè)赥 時(shí)刻的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，是期權(quán)價(jià)格變化與股票價(jià)格變化之比。 如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率用r 來(lái)表示，該組合的現(xiàn)值一定是: 而構(gòu)造該組合的成本是: 因此 即 將公式(1)中的 代入化簡(jiǎn)得 (2) 其中 (3),7,再考慮前面的數(shù)值例子, u = 1.1, d = 0.9 , r = 0.12, T = 0.25 ,fu= 1 和fd=0。從式(3)可得: 從式(B) 可得:,8,股票預(yù)期收益的無(wú)關(guān)性,期權(quán)定價(jià)公式(2) 沒(méi)有用到股票上升和下降的概率

5、。例如，當(dāng)上升概率是0.5時(shí)，我們得到的歐式期權(quán)價(jià)格與上升概率為0.9 時(shí)得到的歐式期權(quán)價(jià)格相等。 這一點(diǎn)令人驚訝且違備常理。人們很自然假設(shè)如果股票價(jià)格上升的概率增加，基于該股票的看漲期極價(jià)值也增加，基于該股票的看跌期權(quán)的價(jià)值則減少，其實(shí)情況并非如此。 該問(wèn)題的關(guān)鍵是:我們并不是按絕對(duì)價(jià)值為期權(quán)估值。我們只是根據(jù)標(biāo)的股票的價(jià)格估計(jì)期權(quán)的價(jià)值。未來(lái)上升和下降的概率已經(jīng)包含在股票的價(jià)格中。它說(shuō)明:當(dāng)根據(jù)股票價(jià)格為期權(quán)估值時(shí)，我們不需要再考慮股票價(jià)格上升和下降的概率。,9,2 風(fēng)險(xiǎn)中性估值,雖然我們不需要對(duì)股票價(jià)格上升和下 降的概率做任何假設(shè)，就推導(dǎo)出公式(2) 如果將公式(2) 中的變量p 解釋為

6、股票價(jià)格上升的概率，于是變量l-p 就是股票價(jià)格下降的概率。表達(dá)式: 則是期權(quán)的預(yù)期收益。按照這種對(duì)p 的解釋，于是公式(2) 可以表述為:期權(quán)現(xiàn)價(jià)是其未來(lái)預(yù)期值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。 當(dāng)上升概率假設(shè)為p 時(shí)，T 時(shí)刻預(yù)期的股票價(jià)格E(ST) 由下式給出: 即 將式(3)中的p 代人上式，化簡(jiǎn)得: (4) 該式說(shuō)明，平均來(lái)說(shuō)股票價(jià)格以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)。因此，假定上升概率等于p 就是等價(jià)于假設(shè)股票收益等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。,10,我們把所有人對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)都是無(wú)差異的世界稱為風(fēng)險(xiǎn)中性世界(Risk Neutral World)。在這樣的世界中，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不要求補(bǔ)償，所有證券的預(yù)期收益都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。公式(4

7、 )說(shuō)明:當(dāng)我們假定上升概率為p 時(shí)，我們就在假設(shè)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界。公式(2)說(shuō)明:期權(quán)的價(jià)值是其預(yù)期收益在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。 期權(quán)估值中的所謂風(fēng)險(xiǎn)中性估值原理是一個(gè)重要的一般原理，而以上的結(jié)果只是這個(gè)原理的一個(gè)例子。這說(shuō)明我們可以完全放心地假設(shè):當(dāng)為期權(quán)估值時(shí)，世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的。我們得到的價(jià)格不僅僅在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中是正確的，在其它世界中也是正確的。,11,風(fēng)險(xiǎn)中性估值和無(wú)套利理論,回顧前例： 股票現(xiàn)價(jià)為$20，3 個(gè)月末股票價(jià)格可能上漲到$22 或下降到$18。所考慮的期權(quán)是一份執(zhí)行價(jià)格為$21 、有效期為3 個(gè)月的歐式看漲期權(quán)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是12%。 我們說(shuō)過(guò)，在風(fēng)險(xiǎn)中性世

8、界中，股票價(jià)格上升變動(dòng)的概率是p 。在這樣的世界中，股票的預(yù)期收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率12%。這意味著p 一定滿足: 則p 一定為0.6523 。 在3 個(gè)月末，看漲期權(quán)價(jià)值為$1的概率為0.6523 ，價(jià)值為零的概率為0.34770, 因此，看漲期權(quán)的期望值為: 0.6523 x 1 + 0.3477 x 0 = $0.6523 風(fēng)險(xiǎn)中性世界中用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。該期權(quán)今天的價(jià)值,12,現(xiàn)實(shí)世界與風(fēng)險(xiǎn)中性世界,必須強(qiáng)調(diào)， p 是在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股價(jià)上升的概率，而在現(xiàn)實(shí)世界中事實(shí)并不一定這樣。例子中p = 0.6523 ，當(dāng)價(jià)格上升的概率為0.6523的時(shí)候，股票和期權(quán)的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)

9、險(xiǎn)利率12%。假設(shè)在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為16% ， p*是股票價(jià)格上升的概率。則有 因此，現(xiàn)實(shí)世界中期權(quán)的預(yù)期損益為 不幸的是，現(xiàn)實(shí)世界中很難確定能適用于該預(yù)期收益的準(zhǔn)確貼現(xiàn)率。持有看漲期權(quán)頭寸比持有相應(yīng)股票的頭寸風(fēng)險(xiǎn)更大，所以用來(lái)貼現(xiàn)看漲期權(quán)損益的貼現(xiàn)率應(yīng)該高于16% 。不知道期權(quán)價(jià)值的情況下，我們也不知道這個(gè)貼現(xiàn)率應(yīng)該比16%高多少。（因?yàn)樵撈跈?quán)的準(zhǔn)確價(jià)值為0.633 ，我們可以推導(dǎo)出準(zhǔn)確的貼現(xiàn)率應(yīng)該是42.58% 。因?yàn)?.633 =0.7041e-0.4258*3/12),13,3 兩步二叉樹(shù)圖,14,兩步樹(shù)圖的一般結(jié)論。初始股票價(jià)格為S0，在每個(gè)單步二叉樹(shù)中，股票價(jià)格或上升到

10、初始值的u 倍，或下降到初始值的d 倍。期權(quán)價(jià)值的符號(hào)表示在樹(shù)圖中(例如，在兩次上升運(yùn)動(dòng)后，衍生證券的價(jià)值為fuu)。我們假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是r，每個(gè)單步二叉樹(shù)的時(shí)間長(zhǎng)度是t年?，F(xiàn)在，時(shí)間單步的長(zhǎng)度為t 而不是T，式(2) 和式(3 )變成: ,(10),15,16,4 看跌期權(quán)的例子,u = 1.2, d = 0,t = 1,r= 0.05 ，根據(jù)公式(5) ，風(fēng)險(xiǎn)中性概率p 的值為: 最后股票的可能價(jià)格為$72 、$48 和$32。在這種情況下，fuu= 0 ，fud= 4, fdd =20 ，利用公式(6) ，有: 看跌期權(quán)的價(jià)值是$4.1 923 0 利用公式(1) 并從每個(gè)單步二叉樹(shù)倒推

11、，也可以得到這個(gè)結(jié)果。下圖 表示了所計(jì)算的期權(quán)價(jià)格。,17,18,5 美式期權(quán),美式期權(quán)進(jìn)行估值。方法是從樹(shù)末端向起點(diǎn)倒推計(jì)算，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)檢驗(yàn)提前執(zhí)行是否最佳。在最后節(jié)點(diǎn)的美式期權(quán)價(jià)值與歐式期權(quán)在最后節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值相同。在較前的一些節(jié)點(diǎn)，期權(quán)的價(jià)值是取如下兩者之中較大者: 1.由公式(5) 求出的值 2. 提前執(zhí)行所得的收益,19,20,上圖說(shuō)明了，如果所考慮的期權(quán)是美式的而不是歐式的，會(huì)發(fā)生什么變化。當(dāng)然股票價(jià)格和它們的概率不會(huì)變化。在最后節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值也沒(méi)有變化。在節(jié)點(diǎn)B ，公式(5) 給出期權(quán)的價(jià)值為$1.4147 ，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為負(fù)值(-8) 。很清楚，在節(jié)點(diǎn)B 提前執(zhí)行不是明

12、智的，在這個(gè)節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值為1.4147 。 在節(jié)點(diǎn)C ，公式(5) 給出期權(quán)的價(jià)值為$9.4636 ，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為$12。在這種情況下提前執(zhí)行是最佳的因此期權(quán)的價(jià)值為$12 。在初始節(jié)點(diǎn)A ，公式(5) 給出的期權(quán)價(jià)值為: 而提前執(zhí)行的價(jià)值為$2.0。在這種情況下，提前執(zhí)行是不明智的。因此期權(quán)的價(jià)值為$5.0894 0,21,6 Delta值,股票期權(quán)的delta 是股票期權(quán)價(jià)格的變化與標(biāo)的股票價(jià)格的變化之比。 delta 是一個(gè)數(shù)字，即為了構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，對(duì)每一個(gè)賣空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的股票數(shù)量。它與前面引入的是相同的。 構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖有時(shí)就稱之為delta 對(duì)沖。看漲期

13、權(quán)的delta 是正值，而看跌期權(quán)的delta 是負(fù)值。,22,23,7 用u 和d 計(jì)算波動(dòng)率,假定股票的預(yù)期收益(現(xiàn)實(shí)世界中)為，而其波動(dòng)率為 (a) 給出了二叉樹(shù)圖中第一步股票價(jià)格的變動(dòng)。該步的長(zhǎng)度為t,，起始股票價(jià)格S0 上升到S0u 或下降到S0d，假定價(jià)格上升的概率(現(xiàn)實(shí)世界中)為p* 第一個(gè)時(shí)間步結(jié)束之時(shí)的預(yù)期股票價(jià)格為 而樹(shù)圖中此時(shí)的預(yù)期股價(jià)為 為了匹配樹(shù)圖參數(shù)表示的預(yù)期股票收益，下式應(yīng)當(dāng)成立: 即 （11）,24,25,股票價(jià)格的波動(dòng)率 應(yīng)該使t等于較短時(shí)間長(zhǎng)度t內(nèi)股票價(jià)格收益的標(biāo)準(zhǔn)方差。等價(jià)的條件是，收益的方差為 2t （作為結(jié)論接受） 圖(a) 中的樹(shù)圖中，股價(jià)收益的方差

14、為 為了匹配樹(shù)圖參數(shù)表示的股價(jià)波動(dòng)率，下式應(yīng)當(dāng)成立: （12） 式(11)代人式(12) ，得 一個(gè)解為 Cox 、Ross 和Robinstein (1 979) 提出的匹配波動(dòng)率的u 、d 值,26,利用前面的分析，我們可以將圖 (a) 中的樹(shù)圖替換成圖 (b)中的樹(shù)圖。新的樹(shù)圖中，上升的慨率為p ， 并假定是風(fēng)險(xiǎn)中性世界。根據(jù)公式(6) 可以計(jì)算p 值如下: 其中 這是上升的風(fēng)險(xiǎn)中性概率。在圖 (b) 中，時(shí)間步結(jié)束之時(shí)的預(yù)期股價(jià)為 如公式(4 )所示。股票價(jià)格收益的方差為 代人式(13 )和式(14) 中的u 和d ， 并忽略t2及其高階項(xiàng)，可知上式等于,27,說(shuō)明：當(dāng)我們從現(xiàn)實(shí)世界切

15、換到風(fēng)險(xiǎn)中性世界的時(shí)候，股票的預(yù)期收益有變化，但是其波動(dòng)率保持不變(至少在t 趨近于零的時(shí)候)。 Girsanov 定理一個(gè)重要的一般結(jié)論。 當(dāng)我們從具有某種風(fēng)險(xiǎn)偏好集合的世界移到具有另外一種風(fēng)險(xiǎn)偏好集合的世界的時(shí)候，變量的預(yù)期增長(zhǎng)率會(huì)有變化，但其波動(dòng)率保持不變。 從一種風(fēng)險(xiǎn)偏好的世界移到另外一種風(fēng)險(xiǎn)偏好的世界，有時(shí)被稱為測(cè)度變換(change the measure) 。現(xiàn)實(shí)世界測(cè)度有時(shí)被稱為P 測(cè)度(P-measure) ，而風(fēng)險(xiǎn)中性世界測(cè)度被稱為Q 測(cè)度( Q-measure) 。,28,再次考慮美式看跌期權(quán)的例子，股價(jià)為$50 ，執(zhí)行價(jià)格為$52 ，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5% ，期權(quán)的有效期限為

16、2 年，有兩個(gè)時(shí)間步。此時(shí)，t =1假定波動(dòng)率為30%。根據(jù)公式(13)-公式(16) ，可得: 因此,29,8 增加樹(shù)圖中的步數(shù),實(shí)際應(yīng)用二叉樹(shù)圖方法時(shí)，通常將期權(quán)有效期分成30 或更多的時(shí)間步。在每一個(gè)時(shí)間步，就有一個(gè)單個(gè)二叉樹(shù)股票價(jià)格變動(dòng)。30 個(gè)時(shí)間步意味著最后有31 個(gè)終端股票價(jià)格，并且230即大約有10 億個(gè)可能的股票價(jià)格路徑。 不管有多少時(shí)間步，都可以使用公式(13)-公式(16) 決定相應(yīng)的二叉樹(shù)圖 假定上圖中的例子中有5 個(gè)時(shí)間步而不是2 個(gè)。那么參數(shù)應(yīng)該是t = 2/5 = 0.4, r =0.05 且= 0.3。那么，我們可以計(jì)算出 =1.2089 , d=1/1.2089 =0.8272 ，a=e0.05*0.4 ，以及p=（1.0202-0.8272）/（1.2089-0.8272）=0.5056,30,除了計(jì)算p 的公式變化之外，方法和股票期權(quán)的分析方法相同 支付連續(xù)紅利收益的股票的期權(quán) 考慮支付己知紅利收益率q 的股票。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，紅利與資本利潤(rùn)帶來(lái)的總收益率為r。紅利收益率為q ， 所以資本收益率應(yīng)該為r-q。如果股票的起始價(jià)格