1、2.3 映射的概念課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、映射的概念【例1】以下給出的對應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射?(1)設(shè)A=矩形,B=實(shí)數(shù),對應(yīng)法則f為矩形到它的面積的對應(yīng);(2)設(shè)A=實(shí)數(shù),B=正實(shí)數(shù),對應(yīng)法則f為x;(3)設(shè)A=|0180,P=x|0x1,對應(yīng)法則f為求余弦;(4)設(shè)A=(x,y)|xZ,|x|2,yN*,x+y3,B=0,1,2,對應(yīng)關(guān)系為f:(x,y)x+y.解析:(1)這個對應(yīng)是A到B的映射.因?yàn)樗菃沃祵?yīng).不過負(fù)實(shí)數(shù)在A中沒有元素和它對應(yīng).(2)不是映射.因?yàn)楫?dāng)x=0時,集合B中沒有元素與之對應(yīng).(3)不是映射.因?yàn)楫?dāng)=180或?yàn)殁g角時,B中沒有元素和它們對應(yīng).(4)應(yīng)先明確

2、集合A.xZ且|x|2,x-1,0,1. 又yN*且x+y3,A=(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(1,1).f:(x,y)x+y,A中每個元素都在B=0,1,2中能找到唯一的元素與之對應(yīng).f:(x,y)x+y是從A到B的映射.溫馨提示 根據(jù)映射的定義,映射應(yīng)滿足存在性(即集合A中每一個元素在集合B中都有對應(yīng)元素)和唯一性(即集合A中的每一個元素在集合B中只有唯一的元素與之對應(yīng)).在所有對應(yīng)關(guān)系中一對一、多對一都是映射,但一對多不是映射.二、映射概念的應(yīng)用【例2】 (1)已知集合A=R,B=(x,y)|x、yR,f:AB是從A到B的映射f:x(x+1,x2+1

3、),則在B中的對應(yīng)元素為_,(,)在A中的對應(yīng)元素是_.(2)已知集合A=1,2,3,k,B=4,7,a4,a2+3a且aN,kN,xA,yB,映射f:AB,使B中元素y=3x+1和A中元素x對應(yīng),求a及k的值.解析:(1)將x=代入對應(yīng)關(guān)系,可求得其在B中的對應(yīng)元素為(+1,3). 由得x=, 即(,)在A中的對應(yīng)元素為.(2)B中元素y=3x+1和A中元素x對應(yīng),A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10, 即a4=10或a2+3a=10.aN,由a2+3a=10,得a=2.k的象是a4,3k+1=16,得k=5.答案:（1）(+1,3) （2）a=2,k=5溫馨提示 根據(jù)映射的定義,結(jié)

4、合題中所給的對應(yīng)關(guān)系,明確A中的每一個元素所對應(yīng)的元素.有時需列方程(或方程組)求解.三、兩集合的對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用【例3】 已知A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f:AB滿足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:AB的個數(shù).思路分析:緊緊抓住映射f滿足的條件f(a)+f(b)=f(c).由于符合條件的映射有多種類型.需進(jìn)行分類討論.可以就集合B中的有原象的元素個數(shù)進(jìn)行分類討論，也可以就f(c)的情況進(jìn)行分類討論.解:(1)當(dāng)A中三個元素都是對應(yīng)0時, 則f(a)+f(b)=0+0=0=f(c),有一個映射.(2)當(dāng)A中三個元素對應(yīng)B中兩個元素時,滿足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4個

5、,分別為1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.(3)當(dāng)A中的三個元素對應(yīng)B中的三個元素時,有兩個映射,分別是(-1)+1=0,1+(-1)=0. 因此滿足題設(shè)條件的映射有7個.溫馨提示 此題也可以這樣進(jìn)行分類討論.(1)f(c)=-1.則有f(a)=-1,f(b)=0和f(a)=0，f(b)=-1兩種.(2)f(c)=0，則有f(a)=f(b)=0和f(a)=-1，f(b)=1及f(a)=1,f(b)=-1三種.(3)f(c)=1與（1）相似有兩種.因此共有7種不同的映射.各個擊破類題演練 1下列對應(yīng)是否是A到B的映射？是否是A到B的函數(shù)？（1）A=R，B=R，f:x

6、y=;（2）A=a|a=n,nN*,B=b|b=,nN*,f:ab=;（3）A=x|x0,xR,B=R，f:xy,y2=x;（4）A=平面M內(nèi)的矩形，B=平面M內(nèi)的圓，f:作矩形的外接圓.解析：（1）當(dāng)x=0時，y值不存在，不是映射，也不是函數(shù)；（2）是映射，也是函數(shù)；（3）不是映射，因?yàn)槭且粚Χ嗟膶?yīng)，也就不是函數(shù)；（4）是映射；因A、B不是數(shù)集，不是函數(shù).變式提升 1指出以下各對應(yīng)，哪些是映射，哪些不是映射？為什么？（1）已知A=平面上的圓，B=平面上的四邊形，從A到B的對應(yīng)法則是：作圓的內(nèi)接四邊形.(2)已知A=Z，B=Q，從A到B的對應(yīng)法則是f:y=2x.(3)已知A=N，B=N，從A

7、到B的對應(yīng)法則是f:y=|x-3|.(4)已知A=R，B=，從A到B的對應(yīng)法則是f:y=x2.解析：（1）不是映射.因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形不唯一確定，即集合A的圓在集合B中對應(yīng)的四邊形不止一個.(2)是映射.（3）是映射.（4）是映射.溫馨提示 要緊扣映射的定義，只要集合A中任一元素在集合B中有唯一元素對應(yīng)，就可叫做映射.如果A中有兩個或兩個以上的元素對應(yīng)B中同一元素（如（4），或B中尚有一些元素在A中沒有原象（如（2），也是映射所允許的.類題演練 2已知（x,y）在映射f下的象是(x+y,x-y)，求象（1，2）在f下的原象.解析：由題意得象（1，2）的原象是（，-）.變式提升 2已知(x,y)在

8、映射f作用下的象是（x+y,xy）.（1）求（-2，3）在f作用下的象；（2）若在f作用下的象是(2，-3)，求它的原象.解析：（1）x=-2,y=3,x+y=-2+3=1,xy=(-2)3=-6.(-2,3)在f作用下的象是（1，-6）.（2）解這個方程組得(2,-3)在f作用下的原象是（3，-1）和（-1，3）.類題演練 3設(shè)M=a,b,c，N=-2，0，2.從M到N的映射滿足f(a)f(b)f(c)，試確定這樣的映射f的個數(shù).解析：f(a)f(b)f(c)，可通過列表法求解:f(a)f(b)f(c)0-2-22-2-220-2200 故符合條件的映射f有4個.變式提升 3設(shè)集合M=-1,0,1,N=2,3,4,5,6,映射f:MN,對任意xM都有x+f(x)+xf(x)是奇數(shù)，這樣的映射f的個數(shù)為（ ）A.24 B.27 C.50 D.125解析：從MN建立映射，分3步： 第一步給元素找象，并非是N中5個元素都行，還要滿足x+f(x)+xf(x)為奇數(shù)這個條件.當(dāng)x=0時