1、第四章 三角函數(shù)網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點(diǎn)目標(biāo)定位1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，并會(huì)利用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通過(guò)公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）.4.會(huì)用正弦線、正切線畫出正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并

2、在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過(guò)它們的圖象理解正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin（x+）的簡(jiǎn)圖，理解A、的物理意義.5.了解反正弦、反余弦、反正切的概念，會(huì)用反三角表示角.復(fù)習(xí)方略指南本部分內(nèi)容歷來(lái)為高考命題的熱點(diǎn)，其分值約占20%，一般都是三或四個(gè)小題，一個(gè)大題.小題主要考查三角函數(shù)的基本概念、圖象、性質(zhì)及“和、差、倍角”公式的運(yùn)用.大題則著重考查y=Asin（x+）的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)式的恒等變形.試題大都來(lái)源于課本中的例題、習(xí)題的變形，一般為容易題或中檔題.因此復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)“立足于課本，著眼于提高”

3、.本章內(nèi)容公式多，三角函數(shù)作為工具，和其他知識(shí)間的聯(lián)系密切，因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：1.弄清每個(gè)公式成立的條件，公式間的內(nèi)在聯(lián)系及公式的變形、逆用等.切不可死記硬背，要在靈、活、巧上下功夫.2.本章突出顯現(xiàn)以數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想為主導(dǎo)的傾向.在本章復(fù)習(xí)中，應(yīng)深刻理解數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，理解眾多三角公式的應(yīng)用及三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、證明等無(wú)一不體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.3.通過(guò)圖象的變換理解并掌握利用變換研究圖象的思想方法，并從中體會(huì)“變換美”.4.有關(guān)三角函數(shù)方面的應(yīng)用題，大都需要用“輔助角公式”asinx+bcosx=sin（x+）（其中角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定）將函數(shù)化成

4、y=Asin（x+）+h的形式，再求其最值或周期等.4.1 三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式知識(shí)梳理1.任意角的三角函數(shù)設(shè)是一個(gè)任意角，的終邊上任意一點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)的距離是r（r=0），則sin=，cos=，tan=.上述三個(gè)比值不隨點(diǎn)P在終邊上的位置改變而改變.2.同角三角函數(shù)關(guān)系式sin2+cos2=1（平方關(guān)系）；=tan（商數(shù)關(guān)系）；tancot=1（倒數(shù)關(guān)系）.3.誘導(dǎo)公式+2k（kZ）、2的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).另外：sin（）=cos，cos（）=sin.點(diǎn)擊雙基1.已知sin=，cos =，那么的終邊在A.第一象

5、限B.第三或第四象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析：sin=2sincos=0，cos=cos2sin2=0，終邊在第四象限.答案：D2.設(shè)cos=t，則tan（）等于A.B.C.D.解析：tan（）=tan=.cos=t，又sin=，tan（）=.答案：C3.是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點(diǎn)且cos=x，則x的值為A.B.C.D.解析：cos=x，x=0（舍去）或x=（舍去）或x=.答案：C4.若=，則的取值范圍是_.解析：=，cos0.（2k，2k+）（kZ）.答案：（2k，2k+）（kZ）5.化簡(jiǎn)=_.解析：=|sin4cos4|=sin4cos4.答案：sin4cos4典例剖析【例

6、1】 （1）若是第二象限的角，則的符號(hào)是什么?（2）+，求2的范圍.剖析：（1）確定符號(hào)，關(guān)鍵是確定每個(gè)因式的符號(hào)，而要分析每個(gè)因式的符號(hào)，則關(guān)鍵看角所在象限.（2）可以把+與看成兩個(gè)變量（整體思想），然后把2用這兩個(gè)變量表示出來(lái)即可.解：（1）2k+2k+（kZ），1cos0，4k+24k+2，1sin20.sin（cos）0，cos（sin2）0.0.（2）設(shè)x=+，y=，2=mx+ny，則2=m+m+nn=（m+n）+（mn）.m=，n=.2=x+y.x，y，x，y.x+y.評(píng)述：（1）解此題的常見(jiàn)錯(cuò)誤是：+，+得02，由得，+得2，.+得2.（2）本題可用線性規(guī)劃求解，不妨一試.【例2

7、】 已知cos=，且0，求的值.剖析：從cos=中可推知sin、cot的值，再用誘導(dǎo)公式即可求之.解：cos=，且0，sin=，cot=.原式=cot=.評(píng)述：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值是三角函數(shù)中的基本問(wèn)題，也是?？嫉膯?wèn)題之一.【例3】 已知sin=，sin（+）=1，求sin（2+）的值.剖析：由已知sin（+）=1，則+=2k+，再將2+改造成2（+）即可求之.解：sin（+）=1，+=2k+.sin（2+）=sin2（+）=sin=.評(píng)述：整體代入是常用的技巧，這里要分析已知和要求的結(jié)論之間的角的關(guān)系和三角函數(shù)名稱之間的關(guān)系.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.角的終邊過(guò)點(diǎn)P（8m，6cos60）且cos=

8、，則m的值是A.B.C.D.解析：P（8m，3），cos=.m=或m=（舍去）.答案：A2.設(shè)、是第二象限的角，且sinsin，則下列不等式能成立的是A.coscosB.tantanC.cotcotD.secsec解析：A與D互斥，B與C等價(jià)，則只要判斷A與D對(duì)錯(cuò)即可.利用單位圓或特殊值法，易知選A.答案：A3.已知tan110=a，則tan50=_.解析：tan50=tan（11060）=.答案：4.（2004年北京東城區(qū)二模題）已知sin+cos=，那么角是第_象限的角.解析：兩邊平方得1+2sincos=，sincos=0.是第二或第四象限角.答案：第二或第四5.若sincos0，sin

9、tan0，化簡(jiǎn)+.解：由所給條件知是第二象限角，則是第一或第三象限角.原式=6.化簡(jiǎn)（kZ）.解：當(dāng)k=2n（nZ）時(shí)，原式=1.當(dāng)k=2n+1（nZ）時(shí)，原式=1.綜上結(jié)論，原式=1.培養(yǎng)能力7.（2005年北京東城區(qū)模擬題）已知tan（+）=2，求：（1）tan的值；（2）sin2+sin2+cos2的值.（1）解：tan（+）=2，tan=.（2）解法一：sin2+sin2+cos2=sin2+sin2+cos2sin2=2sincos+cos2=.解法二：sin2+sin2+cos2=sin2+sin2+cos2sin2=2sincos+cos2.tan=，為第一象限或第三象限角.當(dāng)為

10、第一象限角時(shí)，sin=，cos=，代入得2sincos+cos2=；當(dāng)為第三象限角時(shí)，sin=，cos=，代入得2sincos+cos2=.綜上所述sin2+sin2+cos2=.8.已知sin=，cos=，若是第二象限角，求實(shí)數(shù)a的值.解：依題意得解得a=或a=1（舍去）.故實(shí)數(shù)a=.9.設(shè)（0，），試證明：sintan.證明：如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中作單位圓，設(shè)角以x軸正半軸為始邊，終邊與單位圓交于P點(diǎn). SOPAS扇形OPASOAT，|MP|AT|.sintan.探究創(chuàng)新10.是否存在、，（，），（0，）使等式sin（3）=cos（），cos（）=cos（+）同時(shí)成立?若存在，求出、的

11、值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：由條件得2+2得sin2+3cos2=2，cos2=.（，），=或=.將=代入得cos=.又（0，），=，代入可知，符合.將=代入得=，代入可知，不符合.綜上可知=，=.思悟小結(jié)1.要熟悉任意角的概念、弧度制與角度制的互化、弧度制下的有關(guān)公式、任意角的三角函數(shù)概念.2.在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并就不同的象限分別求出相應(yīng)的值.3.注意公式的變形使用，弦切互化、三角代換、消元是三角變換的重要方法，要盡量減少開(kāi)方運(yùn)算，慎重確定符號(hào).4.注意“1”的靈活代換，如1=sin2+cos2=sec2tan2=csc2cot2=

12、tancot.5.應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷，一般常用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的口訣.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.本課時(shí)概念多且雜，要求學(xué)生在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，先準(zhǔn)確敘述回憶，復(fù)習(xí)中注意“三基”的落實(shí).2.利用同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明時(shí)，要細(xì)心觀察題目的特征，注意培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問(wèn)題的能力，并注意做題后的總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一般規(guī)律.如：“切割化弦”“1的巧代”，sin+cos、sincos、sincos這三個(gè)式子間的關(guān)系.拓展題例【例1】 求sin21+sin22+sin290.分析：sin21+cos21=sin21+sin289=1.故可倒序相加求和.解：設(shè)S=sin20+sin21+sin22+sin290，S=sin2