1、四川省古藺縣中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修三教學(xué)案：第二章-隨機(jī)變量教學(xué)中的兩個問題在“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”第九次課題會上，以“隨機(jī)抽樣”和“離散型隨機(jī)變量”兩節(jié)研究課為載體，對中學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)與概率的教育價值進(jìn)行專題研究討論中，大家對教學(xué)內(nèi)容的理解、教學(xué)方法的把握等都展開了爭論筆者就“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)談兩點(diǎn)看法一、隨機(jī)變量與概率引入隨機(jī)變量的主要目的是，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，這樣就可以利用數(shù)學(xué)工具來研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象通俗地說，隨機(jī)變量就是用數(shù)來表示試驗(yàn)結(jié)果，即每一個試驗(yàn)結(jié)果都用一個數(shù)字表示例如，在擲硬幣的試驗(yàn)中，可以用“1”表示“正面向上”，“0”表示“反

2、面向上”從隨機(jī)變量的定義來看，用什么數(shù)字來表示試驗(yàn)結(jié)果是隨意的也就是說完全可以用其他的數(shù)字分別表示，比如“1”和“1”，“1”和“2”等有很多情形，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是用數(shù)量來刻畫的，這時最自然的做法就是把刻畫試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值直接定義成隨機(jī)變量的取值例如，燈泡的壽命，小麥的產(chǎn)量等從數(shù)學(xué)上講，隨機(jī)變量就是一個從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集的映射這個和學(xué)生熟悉的函數(shù)概念相同之處在于值域是某一實(shí)數(shù)集，不同之處在于定義域不一定是實(shí)數(shù)集，而是試驗(yàn)結(jié)果比較函數(shù)與隨機(jī)變量兩個概念的異同，是對隨機(jī)變量概念內(nèi)涵作辨析的有效途徑出于此目的，課堂上教師給出了如下的表格： 并針對表格依次提了兩個問題：“對于隨機(jī)變量的每一個

3、取值都有唯一確定的概率值與它對應(yīng)，這種關(guān)系是什么關(guān)系？”“每一個隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對應(yīng)，這個對應(yīng)是函數(shù)關(guān)系嗎？”顯然，這里教師把隨機(jī)變量的取值到概率值的關(guān)系看作函數(shù)，作為隨機(jī)變量概念比較的對象首先，不妨先看一下概率是不是隨機(jī)變量的取值到概率值的函數(shù)關(guān)系我們知道，概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值度量，每一個隨機(jī)事件都對應(yīng)唯一的概率值我們也知道，針對具體的問題，可以找到一組“不能或不必再分”的隨機(jī)事件，即基本事件（只含有一個試驗(yàn)結(jié)果），使得任何隨機(jī)事件都可以表示成基本事件的和，且這種表示唯一例如，在擲骰子的試驗(yàn)中，我們關(guān)心擲出骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)，可以選擇“點(diǎn)數(shù)為1”“點(diǎn)數(shù)為2”“點(diǎn)數(shù)

4、為6”為基本事件，那么隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)小于3”發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)“點(diǎn)數(shù)為1”“點(diǎn)數(shù)為2”有一個發(fā)生，這說明隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)小于3”與基本事件集“點(diǎn)數(shù)為1”，“點(diǎn)數(shù)為2”相互唯一決定，“點(diǎn)數(shù)小于3”為“點(diǎn)數(shù)為1”“點(diǎn)數(shù)為2”的和于是，隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)小于3”可以等同基本事件集“點(diǎn)數(shù)為1”，“點(diǎn)數(shù)為2”類似的，可以將每一隨機(jī)事件與基本事件集合的某個子集等同，于是認(rèn)為研究隨機(jī)事件就是研究相應(yīng)的基本事件集合的子集這樣，概率就是以集類為定義域的函數(shù)，這種函數(shù)叫做集函數(shù)又由于表中定義的隨機(jī)變量的取值與基本事件一一對應(yīng)，因此概率也就是定義在隨機(jī)變量取值集合的子集上的函數(shù)例如，對于隨機(jī)事件“點(diǎn)數(shù)小于3”，有P(“點(diǎn)數(shù)小

5、于3”)=P(“點(diǎn)數(shù)為1”，“點(diǎn)數(shù)為2”)= PX(1，2)對于單個隨機(jī)變量取值的概率，就是以此取值為元素的單點(diǎn)集的概率可見，概率是從隨機(jī)變量的取值集合的子集到概率值的對應(yīng)關(guān)系，是集函數(shù)，而不是我們通常意義下的函數(shù)那么，隨機(jī)變量的取值到概率值看成函數(shù)關(guān)系有沒有問題？按照函數(shù)的定義是沒有問題，但筆者體會不到需要看成函數(shù)關(guān)系的必要性，況且，從連續(xù)型隨機(jī)變量的情形來看，每個隨機(jī)變量取值對應(yīng)的概率值都為0，這種對應(yīng)關(guān)系就更沒有討論價值了其實(shí)筆者更擔(dān)心的是，過分強(qiáng)調(diào)它是函數(shù)關(guān)系，容易給學(xué)生一種誤導(dǎo)概率是隨機(jī)變量的取值到概率值的函數(shù)因此，把隨機(jī)變量的取值到其概率值看成函數(shù)關(guān)系，作為隨機(jī)變量的概念比較的對象

6、，不是很合適二、恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量雖然前面提到，按隨機(jī)變量的定義，用什么數(shù)表示試驗(yàn)結(jié)果具有任意性但對具體問題而言，定義隨機(jī)變量時還應(yīng)注意恰當(dāng)性問題課堂上曾有學(xué)生列舉了如下的離散型隨機(jī)變量的例子：“一個盒子里放5個球，其中3個紅球，2個黑球，任意摸出2個球，摸出的各種結(jié)果分別用下表數(shù)字表示 那么這里的X就是一個離散型隨機(jī)變量”這樣定義的X是一個離散型隨機(jī)變量，這個教師應(yīng)該肯定，但同時應(yīng)指出這不是一個好的定義（但遺憾的是教師沒有這么做，錯過了一次關(guān)于恰當(dāng)定義隨機(jī)變量的好機(jī)會）因?yàn)橛?，2，3表示摸球結(jié)果時，這些數(shù)只是簡單的符號，數(shù)值本身沒有實(shí)際意義，或者說實(shí)際意義不明確，數(shù)字與被表示的各種摸球結(jié)果

7、之間的對應(yīng)關(guān)系不明顯如果用下表，數(shù)字就可以賦予明確的實(shí)際意義： 表中0表示“2個黑球”，即摸出的結(jié)果中含有0個紅球；1表示“1個紅球1個黑球”，即摸出的結(jié)果中含有1個紅球，2表示“2個紅球”，摸出的結(jié)果中含有2個紅球這樣定義，隨機(jī)變量就有了明確的實(shí)際意義，X就表示摸出的2個球中含有紅球的個數(shù)隨機(jī)變量的每個取值0，1，2也很容易與摸球的各種結(jié)果建立對應(yīng)，有利于用隨機(jī)變量表示一些事件例如，X1表示“紅球個數(shù)不超過1個”，X0表示“至少含有1個紅球”等由于引入隨機(jī)變量是為了更好地研究隨機(jī)現(xiàn)象，因此除了隨機(jī)變量的定義要注意其實(shí)際意義外，更重要的是要有利于隨機(jī)現(xiàn)象的研究，且表示簡單例如，在擲硬幣的試驗(yàn)中，表示硬幣的正面向上和反面向上，可以用“1”和“0”，也可以用“1”和“1”，如果只從對應(yīng)的角度講，似乎后一組更合適，“一正一負(fù)”和“一正一反”正好對