1、定積分概念與性質(zhì),一、定積分問題舉例,二、定積分定義,三、定積分的性質(zhì),一、定積分問題舉例,曲邊梯形 設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a, b上非負(fù)、連續(xù). 由直線xa、xb、y0及曲線yf (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊.,1.曲邊梯形的面積,觀察與思考,在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形, 當(dāng)小矩形的寬度減少時(shí), 小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?,怎樣求曲邊梯形的面積？,求曲邊梯形的面積,(1)分割:,ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=xi-xi1;,小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi (xi1xixi);,(2)近似代替:,(4)取極限:,設(shè)maxD

2、x1, Dx2, Dxn, 曲邊梯形的面積為,(3)求和: 曲邊梯形的面積近似為 ;,2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度vv(t)是時(shí)間 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程S.,(1)分割:,T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1;,(2)近似代替:,物體在時(shí)間段ti1, ti內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為,DSiv(i)Dti ( ti1 iti );,物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為,(3)求和:,(4)取極限:,記maxDt1, Dt2, Dtn, 物體所經(jīng)過的路程為,二、定積分定義,定積分的定義,maxDx1, Dx

3、2,Dxn;,記Dxi=xi-xi1 (i1, 2, n),ax0x1x2 xn1xnb;,在區(qū)間a, b內(nèi)插入分點(diǎn):,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界.,如果當(dāng)0時(shí), 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和xi的取法無關(guān), 則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上,定積分各部分的名稱 積分符號(hào), f(x) 被積函數(shù), f(x)dx 被積表達(dá)式, x 積分變量, a 積分下限, b 積分上限, a, b積分區(qū)間，,定積分的定義,二、定積分定義,積分和,定積分的定義,二、定積分定義,說明： 定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān), 而與積分變量的記法無關(guān), 即,函數(shù)的可積性 如果函

4、數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分存在, 則稱f(x)在區(qū)間a, b上可積.,定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積.,定積分的定義,二、定積分定義,定積分的幾何意義,當(dāng)f(x)0時(shí), f(x)在a, b上的定積分表示由曲線yf(x)、直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.,當(dāng)f(x)0時(shí), f(x)在a, b上的定積分表示曲邊梯形面積的負(fù)值.,這是因?yàn)?一般地, f(x)在a, b上的定積分表示介于x軸、曲線yf(x)及直線xa、xb之

5、間的各部分面積的代數(shù)和.,定積分的幾何意義,當(dāng)f(x)0時(shí), f(x)在a, b上的定積分表示由曲線yf(x)、直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.,當(dāng)f(x)0時(shí), f(x)在a, b上的定積分表示曲邊梯形面積的負(fù)值.,利用定義計(jì)算定積分,解:,取分點(diǎn)為 (i=1, 2, , n-1), 則 (i=1, 2, , n).,在第i 個(gè)小區(qū)間上取右端點(diǎn) (i=1, 2, , n).,于是,利用幾何意義求定積分,解 函數(shù) y1x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積.,因?yàn)橐詙=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是一個(gè)直角三角形, 其底

6、邊長(zhǎng)及高均為1, 所以,首頁,例2,三、定積分的性質(zhì),兩點(diǎn)規(guī)定,這是因?yàn)?三、定積分的性質(zhì),性質(zhì)1,三、定積分的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,注：值得注意的是不論a b c的相對(duì)位置如何上式總成立,三、定積分的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,性質(zhì)4,推論1,如果在區(qū)間a b上 f (x)g(x) 則,這是因?yàn)間(x)f(x)0 從而,如果在區(qū)間a b上 f (x)0 則,性質(zhì)5,所以,這是因?yàn)閨f(x)|f(x)|f(x)|, 所以,推論1,如果在區(qū)間a b上 f (x)g(x) 則,如果在區(qū)間a b上 f (x)0 則,性質(zhì)5,推論2,推論1,如果在區(qū)間a b上 f (x)g(x) 則,如果在區(qū)間a b上 f (x)0 則,性質(zhì)5,推論2,性質(zhì)6,設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值 則,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 則在積分區(qū)間a b上至少存在一個(gè)點(diǎn)x 使下式成立,這是因?yàn)? 由性質(zhì)6,性質(zhì)7(定積分中值定理),積分中值公式,由介值定理, 至少存在一點(diǎn)xa, b, 使,兩端乘以ba即得積分中值公式.,解,總結(jié)