1、在數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域，如微分方程、運(yùn)動穩(wěn)定性、振動、自動控制、多體系統(tǒng)動力學(xué)、航空、航天等等，常常遇到矩陣的相似對角化問題。而解決這一問題的重要工具就是特征值與特征向量。為此，本章從介紹特征值與特征向量的概念和計算開始，進(jìn)而討論矩陣與對角形矩陣相似的條件，最后介紹相關(guān)的應(yīng)用問題。,第五章 特征值與特征向量,一.特征值與特征向量的定義和求法,5.1 特征值與特征向量,注意:1. 只有方陣才有特征值與特征向量; 2. 特征向量必須是非零向量，而特征值不一定非零。,下面討論特征值和特征向量的解法：,式 子 可寫成以下線性方程組,如果 是方程組的非零解，則有 是 的根。,反之，如果有 是 的根，

2、方程組有非零解。,是 的特征值 的特征向量， 是 的特征根。,綜上，可得矩陣 的特征值與特征向量的求法：,（1 )寫出矩陣 的特征多項式 ，它的全部根就是矩陣 的全部特征值;,(2) 設(shè) 是矩陣 的全部互異的特征值.將 的每個互異的特征值 分別代入特征方程組，得,分別求出它們的基礎(chǔ)解系,這就是特征值 所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。,非零線性組合,是 的屬于特征值 的全部特征向量 ，其中 為任意常數(shù)。,例1 設(shè),求A的特征值與特征向量,解,當(dāng) 時解方程組（-I-A)X=0,得基礎(chǔ)解系為：,例2 證明：若 是矩陣A的特征值， 是A的屬于 的特征向量，則,證,顯然單位矩陣的特征值全是1；零矩陣的特征值

3、全是0；上（下）三角陣的特征值是它的全部主對角元。,矩陣 的全部特征值的集合常稱為 的譜。,二、特征值和特征向量的性質(zhì),設(shè) ，易見，它的特征多項式是關(guān)于 的 次多項式，不妨設(shè)為,即,考慮上式左端行列式的展開式，它除了,這一項含有 個形如 的因式外，其余各項最多含有 個這樣的因式。于是 只能由 （5.1.6) 產(chǎn)生。比較（5.1.5)兩端的系數(shù)，得,在式（5.1.5)中，令 ，得,另外,根據(jù)多項式理論， 次多項式 在復(fù)數(shù)域上有 個根，不妨設(shè)為 ，又由于 的首項系數(shù) ，于是有,比較 和 ， 得,于是可得特征值的重要性質(zhì):,由 易見，矩陣 可逆的充要條件是它的所有特征值都不為零。,矩陣 的主對角線上

4、的所有元素之和 稱為矩陣 的跡，記作 。于是，性質(zhì) 又可寫成,還可證明，特征值和特征向量還有如下性質(zhì)：,并可證明， 的屬于特征值 的全部特征向量，再添加零向量，便可以組成一個子空間，稱之為 的屬于特征值 的特征子空間，記為 。不難看出， 正是特征方程組 的解空間。,若 都是矩陣 的屬于 特征值 的特征向量，則其非零線性組合,也是A的屬于特征值 的特征向量。,若 是矩陣 的特征值， 是 的屬于特征值 的特征向量，則有,是矩陣 的特征值（其中 為正整數(shù)）；,是矩陣 的特征值（其中 為任意常數(shù)）；,是 的特征值（這里 是關(guān)于 的多項式函數(shù)）;,當(dāng) 可逆時， 是 的特征值；并且 仍是矩陣 的分別對應(yīng)于

5、特征值 的特征向量；,例 已知n階可逆方陣A的全部特征值為 求 的全部特征值及,解 由特征值的性質(zhì)知， 又已知 可逆，從而 的全部特征值為 由伴隨矩陣的性質(zhì)知，當(dāng) 可逆時， 從而有,于是，由上述性質(zhì) 中的 知， 的全部特征向量值為,于是,三. 矩陣的相似,定義 設(shè)A、B是兩個n階矩陣。若存在n階可逆矩陣P，使得 則稱相似于，記作，稱為由到的相似變換矩陣。,相似矩陣具有如下性質(zhì)：,顯然，若 ，則,另外，可以證明，相似矩陣還有以下性質(zhì)：,為任意數(shù)。,其中 均為 階矩陣， 為 階,可逆矩陣。特別地，當(dāng) 時， 有,（4） 若 A B ，則 f(A) f(B) ，這里 為任一多項式函數(shù)。,其證明如下：,

6、設(shè),則,由 A B 可知，存在可逆矩陣 ，使得,于是,即得 f(A) f(B)。,若 ，則 ，其證明如下,由 可知，存在可逆矩陣 ，使得,于是,由上易見，若 ，則矩陣 ， 有相同的譜。,若 ， 則,其證明如下：,由 可知，存在可逆矩陣,取,顯然 可逆，且,于是有,因此,例.3設(shè) 是矩陣的屬于特征值 的特征向量。證明： 是矩陣的對應(yīng)于特征值 的一個特征向量。,證 由已知可得,于是,又由 得 ，故結(jié)論成立。,解 1）先求得,于是,2）由上式得,兩端同時求 次冪，得,思考題,思考題解答,.矩陣的相似對角化,一. 矩陣可對角化的條件,不妨假設(shè) 階方陣 可相似于對角陣，即存在可逆矩陣 ，使得,或,令,并

7、將之代入上式，得,即,從而有,由 可逆知, 且 線性無關(guān)從而 是 的 個線性無關(guān)的特征向量， 是 的 個特征值。,反之，若 階方陣 有 個線性無關(guān)的特征向量，不妨設(shè)為 ，則存在相應(yīng)的特征值 ，使得,此時，令,顯然 可逆，且有,綜上，有如下結(jié)論,定理階方陣可相似對角化的充要條件是有個線性無關(guān)的特征向量。,與 相對應(yīng)的對角陣的主對角元正好是 的全部特征值，并且 的順序與 的順序相對應(yīng).,相似變換矩陣 由 的 個線性無關(guān)的特征向量作為列構(gòu)成，即,不唯一，因為,1）特征向量不唯一；,2) 的順序隨 的順序改變而改變。,根據(jù)定理5.2.1， 階方陣 的相似對角化問題就轉(zhuǎn)化為 是否有 個線性無關(guān)的特征向量

8、的問題.,定理.階方陣的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。,設(shè),上式兩端同時左乘A，得,由于 上式可變?yōu)?由式 減式 的 倍，消去 ，得,根據(jù)歸納假設(shè)， 線性無關(guān)。于是,已知 ，所以必有,綜上，結(jié)論對一切正整數(shù)都成立。,推論若階方陣有n個互異的特征值（即特征多項式無重根），則可相似對角化。,定理設(shè) 是階方陣的個互異的特征值， 是屬于特征值 的線性無關(guān)的特征向量,則由所有這些特征向量（共 個）構(gòu)成的向量組,是線性無關(guān)的。,由定理 和 知，對 階方陣 來說，只要屬于它的各個互異特征值的特征向量的總數(shù)不少于 ,就可以相似對角化。那么，對它的特征值 來說，屬于它的線性無關(guān)的特征向量最多有多少個？,

9、由.1 知，特征值 對應(yīng)的全部特征向量正好是特征方程組 的全部非零解。因此， 的屬于特征值 的線性無關(guān)的特征向量最多有 個。,這個數(shù)就是特征方程組 解空間的維數(shù)，也即特征子空間 的維數(shù)，稱之為特征值 的幾何重數(shù)，記為 。,另外，有,被稱為特征值 的代數(shù)重數(shù) ，且有,設(shè)A的互異特征值 , 對應(yīng)的幾何重數(shù)分別為 。于是A 的線性無關(guān)的 特征向量最多有 個。A可相似對角化當(dāng)且僅當(dāng),定理.2.4 階方陣的任一特征值 的幾何重數(shù) 不大于它的代數(shù)重數(shù) 。,特別地，對于單特征值，其幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)。,由定理 可得,同時，由上面已知， A 可相似對角化當(dāng)且僅當(dāng),于是有,定理 設(shè) 是階方陣A的全部互異的特征

10、值， 和 分別是特征值 的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)，i=1，2，,s，則A可相似對角化的充要條件是 = ， i=1，2，s,二 相似對角化的方法,求出 的全部互異的特征值,前面討論了 階矩陣可相似對角化的條件，下面給出求相似對角陣及變換矩陣的方法和步驟：,對每個特征值 ,求特征矩陣 的秩，并判斷 的幾何重數(shù) 是否等于它的代數(shù)重數(shù) 。只要,的一組基礎(chǔ)解系,有一個不相等， 就不可以相似對角化；否則 可以相似對角化。,當(dāng) 可以對角化時，對每個特征值 ,求方程組,則有,令,其中有 個 。,例1 判斷下列實矩陣能否化為對角陣？,解,解之得基礎(chǔ)解系,求得基礎(chǔ)解系,解之得基礎(chǔ)解系,故 不能化為對角矩陣.,解,解之

11、得基礎(chǔ)解系,所以 可對角化.,注意,即矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的位置 要相互對應(yīng),則,從而有,三、小結(jié),相似矩陣 相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好 的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：,相似變換與相似變換矩陣,這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種 運(yùn)算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與 之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從 而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對 角矩陣的運(yùn)算,相似變換是對方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A 變成，而可逆矩陣 稱為進(jìn)行這一變換的 相似變換矩陣,思考題,思考題解答,.實對稱矩陣的相似對角化,一. 實對稱矩陣的特征值和特征向量.,二. 實對稱

12、矩陣的相似對角化。,定理1實對稱矩陣的特征值為實數(shù).,證明,一. 實對稱矩陣的特征值和特征向量.,于是有,兩式相減，得,定理實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的。,證 設(shè),于是,二、實對稱矩陣的相似對角化,定理設(shè) 是 n 階實對稱矩陣 A的任一特征值，p，q 分別為它的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)，則,定理對任一階實對稱矩陣，存在階正交矩陣，使得,其中 為矩陣的全部特征值。,由此定理知，實對稱矩陣一定可以相似對角化，而且有,根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化 為對角矩陣，其具體步驟為：,2.,1.,解,例 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ， 使 為對角陣.,(1) 第一步 求 的特征值

13、,解之得基礎(chǔ)解系,解之得基礎(chǔ)解系,解之得基礎(chǔ)解系,第三步 將特征向量正交化,第四步 將特征向量單位化,于是得正交陣,例 設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值為1，4，-2，矩陣A對應(yīng)的特征值1和4的特征向量分別為,（1） 求A的特征值-2的特征向量；,（2） 求A。,解 設(shè)A的特征值-2的特征向量是,因此，A的特征值-2的全部特征向量為,求得其一組基礎(chǔ)解系：,（2）取,同時,從而,例5.3.3 已知 為實對稱矩陣，且 證明：存在正交矩陣 ，使得,證 由 知 和 有相同的特征值，設(shè)為,根據(jù)定理5.3.4，對 和 分別存在正交矩陣 和 ,使得,從而有,其中 由正交矩陣的性質(zhì)知，為正交矩陣。,取 ，于是有,思

14、考題,思考題解答,應(yīng)用,一. 求解線性方程組,例求解線性微分方程組,解 令,則方程組 可表示成矩陣形式,假設(shè) 可以相似對角化，即存在可逆矩陣 ,使得,其中 為 的全部特征值。于是令,即,其中 ,將式 代入式 ，得,在上式兩端同時左乘 ,得,即,將上式積分得,其中 為積分常數(shù)。將式 代入式 ，可得,其中 為矩陣 的第 列，也是 的對應(yīng)于特征值 的特征向量，,另外，對于 階線性齊次常系數(shù)微分方程,可令,于是，可得與方程 同解的方程組,其中,式 可寫成矩陣形式,于是這類微分方程可以歸結(jié)為等價的線性微分方程組，然后再利用特征值和特征向量求解。,解 令,例求解微分方程,于是，式 可變?yōu)榈葍r的方程組,即,

15、其中,于是由例5.4.1可知，,可求得 的特征值為 ，對應(yīng)的特征向量分別為,從而,其中 為任意常數(shù)。,二.過程,例 某超市為了提高自己的經(jīng)營、服務(wù)水平，年末對附近一個小區(qū)的居民作了市場調(diào)查。結(jié)果表明，該小區(qū)有的居民使用該超市提供的日用品，而且在這些老顧客中，有的人表示，來年仍將繼續(xù)使用該超市提供的日用品；同時，在尚未使用過該超市提供的日用品的被調(diào)查中，有的人表示，來年將使用該超市提供的日用品。問：照此趨勢，年后，在這個小區(qū)中，有多少比例的居民使用該超市提供的日用品？,這個例子從數(shù)學(xué)角度看可以抽象出一個數(shù)學(xué)模型，即一個有限狀態(tài)的系統(tǒng)。它每一時刻處在一個確定的狀態(tài)，并隨著時間的流逝從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移為

16、另一個狀態(tài)，每一狀態(tài)的概率只與前一個狀態(tài)相關(guān)。這樣的一種連續(xù)過程被稱為Markov過程。,一般地假設(shè)系統(tǒng)共有n種可能的狀態(tài)，分別記為1,2,n,在某個觀察期間，它的狀態(tài)為j，而在下一個觀察期間，它的狀態(tài)i為的概率為 ，稱之為轉(zhuǎn)移概率。它不隨時間而變化，且有,稱矩陣 為轉(zhuǎn)移矩陣。由系統(tǒng)的初始狀態(tài)可以構(gòu)造一個 元向量稱之為狀態(tài)向量，記為 ， 年后的狀態(tài)向量記為 ，于是有,時，有,由上式易見, 要求出 ,關(guān)鍵是求 。當(dāng) 可相似對角化，即存在可逆矩陣 ，使得,對于例5.4.3系統(tǒng)共有兩種狀態(tài)：使用和不使用，分別記為1和2，于是有,下面求 。先求 的特征值及對應(yīng)的特征向量。,取,于是,于是，特征值為 。對應(yīng)的特征向量分別為,從而,由上可知，當(dāng) 時,第三步將每一個特征值代入相應(yīng)的特征方程組， 求出基礎(chǔ)解系，即得該特征值的特征向量