1、第二章 軸向拉伸和壓縮,Chapter2 Axial Tension and Compression,2-1 軸向拉壓的概念及實(shí)例 (Concepts and examples of axial tension ,（2） ab和cd分別平行移至ab和cd , 且伸長(zhǎng)量相等.,結(jié)論：各纖維的伸長(zhǎng)相同,所以它們所受的力也相同.,2.平面假設(shè) (Plane assumption) 變形前原為平面的橫截面,在變形后仍保持為平面,且仍垂直于軸線.,3.內(nèi)力的分布(The distribution of internal force),FN,均勻分布 (uniform distribution),式中,

2、FN 為軸力,A 為桿的橫截面面積, 的符號(hào)與軸力 FN 的符號(hào)相同.,當(dāng)軸力為正號(hào)時(shí)（拉伸）,正應(yīng)力也為正號(hào),稱為拉應(yīng)力;,當(dāng)軸力為負(fù)號(hào)時(shí)（壓縮）,正應(yīng)力也為負(fù)號(hào),稱為壓應(yīng)力 .,4.正應(yīng)力公式(Formula for normal stress),二、 斜截面上的應(yīng)力（Stress on an inclined plane),1. 斜截面上的應(yīng)力（Stress on an inclined plane）,以 p表示斜截面 k-k上的 應(yīng)力，于是有,沿截面法線方向的正應(yīng)力 ,沿截面切線方向的切應(yīng)力 ,將應(yīng)力 p分解為兩個(gè)分量：,p,（1）角,2.符號(hào)的規(guī)定(Sign convention),

3、（3）切應(yīng)力 對(duì)研究對(duì)象任一點(diǎn)取矩,p,（1）當(dāng) = 0 時(shí)，,（2）當(dāng) = 45時(shí)，,（3）當(dāng) = -45 時(shí)，,（4）當(dāng) = 90時(shí)，,討 論,三、強(qiáng)度條件(Strength condition) 桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力,1.數(shù)學(xué)表達(dá)式(Mathematical formula),2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Application of strength condition),（2）設(shè)計(jì)截面,（1） 強(qiáng)度校核,（3）確定許可荷載,例題2 一橫截面為正方形的磚柱分上、下 兩段,其受力情況,各段長(zhǎng)度及橫截面面積 如圖所示.已知F = 50kN， 試求荷載引起的最大工作應(yīng)力.,解：（1）

4、作軸力圖,（2） 求應(yīng)力,結(jié)論： 在柱的下段，其值為1.1MPa，是壓應(yīng)力.,例題3 簡(jiǎn)易起重設(shè)備中，AC桿由兩根 80807等邊角鋼組 成，AB桿由兩根 10號(hào)工字鋼組成. 材料為Q235鋼，許用應(yīng) 力=170MPa .求許可荷載 F.,解：（1） 取結(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，受力分析如圖所示.,結(jié)點(diǎn)A的平衡方程為,由型鋼表查得,得到,（2） 許可軸力為,（3）各桿的許可荷載,（4） 結(jié)論：許可荷載 F=184.6kN,例題4 剛性桿ACB有圓桿CD懸掛在C點(diǎn),B端作用集中力F=25kN,已知CD桿的直徑d=20mm,許用應(yīng)力=160MPa，試校核CD桿的強(qiáng)度,并求： （1）結(jié)構(gòu)的許可荷載F; （2

5、）若F=50kN,設(shè)計(jì)CD桿的直徑.,解： （1） 求CD桿的內(nèi)力,FRAx,（2）結(jié)構(gòu)的許可荷載F,由,得,（3） 若F=50kN，設(shè)計(jì)CD桿的直徑,由,得,取d=25mm,FRAx,1.試驗(yàn)條件 (Test conditions）,2-4 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 (Mechanical properties of materials in axial tension and compression),一、實(shí)驗(yàn)方法(Test method),（1） 常溫: 室內(nèi)溫度 （2） 靜載: 以緩慢平穩(wěn)的方式加載 （3）標(biāo)準(zhǔn)試件：采用國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一規(guī)定的試件,2.試驗(yàn)設(shè)備(Test instrum

6、ents) （1）微機(jī)控制電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī) （2）游標(biāo)卡尺,二、拉伸試驗(yàn)(Tensile tests),先在試樣中間等直部分上劃兩條橫線這一段桿稱為標(biāo)距 l (original gage length).,l = 10d 或 l =5d,1. 低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì) (Mechanical properties for a low-carbon steel in tension),（1）拉伸試樣,（2） 拉伸圖 ( F- l 曲線 ),拉伸圖與試樣的尺寸有關(guān). 為了消除試樣尺寸的影響，把 拉力F除以試樣的原始面積A， 得正應(yīng)力；同時(shí)把 l 除以標(biāo)距 的原始長(zhǎng)度l ，得到應(yīng)變.,表示F和 l關(guān)系的

7、曲線， 稱為拉伸圖 (tension diagram),（3）應(yīng)力應(yīng)變圖 表示應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的曲線，稱為應(yīng)力-應(yīng)變圖(stress-strain diagram),（a） 彈性階段,試樣的變形完全彈性的. 此階段內(nèi)的直線段材料滿足 胡克定律 (Hookes law),b點(diǎn)是彈性階段的最高點(diǎn).,（b） 屈服階段,當(dāng)應(yīng)力超過(guò)b點(diǎn)后，試樣的荷載基本不變而變形卻急劇增加，這種現(xiàn)象稱為屈服(yielding).,c點(diǎn)為屈服低限,（c）強(qiáng)化階段,過(guò)屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力， 要使它繼續(xù)變形必須增加拉力.這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化 (hardening),e點(diǎn)是強(qiáng)化階段的最高點(diǎn),（d） 局部變形階

8、段,過(guò)e點(diǎn)后，試樣在某一段內(nèi)的橫截面面積顯箸地收縮，出現(xiàn) 頸縮 (necking)現(xiàn)象，一直到試樣被拉斷.,試樣拉斷后，彈性變形消失，塑性變形保留，試樣的長(zhǎng)度由 l 變?yōu)?l1，橫截面積原為 A ，斷口處的最小橫截面積為 A1 .,斷面收縮率 (percent reduction in area ),伸長(zhǎng)率 (percent elongation), 5%的材料，稱作塑性材料 (ductile materials), 5%的材料，稱作脆性材料 (brittle materials),（4）伸長(zhǎng)率和端面收縮率,（5）卸載定律及冷作硬化,卸載定律 (unloading law),若加栽到強(qiáng)化階段的

9、某一點(diǎn)d 停止加載,并逐漸卸載,在卸載 過(guò)程中,荷載與試樣伸長(zhǎng)量之間 遵循直線關(guān)系的規(guī)律稱為材料的 卸載定律 (unloading law).,a,b,c,e,f,O,g,f,h,在常溫下把材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段然后卸載,當(dāng)再次加載時(shí),試樣在線彈性范圍內(nèi)所能承受的最大荷載將增大.這種現(xiàn)象稱為冷作硬化,冷作硬化,e - 彈性應(yīng)變(elastic strain),p - 塑性應(yīng)變(plastic strain),d,Yield Strength and Ultimate Strength,2.無(wú)明顯屈服極限的塑性材料(Ductile materials without clearing defined

10、 yield point),3.鑄鐵拉伸時(shí)的機(jī)械性能,- 鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限,(Mechanical properties for a cast iron in tension),e,s,割線斜率,名義屈服應(yīng)力用 表示.,Brittle vs. Ductile Behavior,三、材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能(Mechanical properties of materials in axial compression),1.實(shí)驗(yàn)試樣 (Test specimen),2.低碳鋼壓縮時(shí)的s-e曲線(Stress- strain curve for a low-carbon steel in compre

11、ssion),壓縮的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,低碳鋼壓縮時(shí)的彈性 模量E屈服極限s都與拉 伸時(shí)大致相同. 屈服階段后,試樣越 壓越扁,橫截面面積不 斷增大,試樣不可能被 壓斷,因此得不到壓縮 時(shí)的強(qiáng)度極限.,3.鑄鐵壓縮時(shí)的s-e曲線 (Stress - strain curve for cast iron in compression),鑄鐵壓縮時(shí)破壞端面與橫截面大致成45 55傾角,表明這類試樣主要因剪切而破壞,鑄鐵的抗壓強(qiáng)度極限是抗拉強(qiáng)度極限的45倍.,以大于1的因數(shù)除極限應(yīng)力,并將所得結(jié)果稱為許用應(yīng)力, 用表示.,2. 許用應(yīng)力(Allowable stress),1. 極限應(yīng)力(Ultimate

12、 stress),四、安全因數(shù)和許用應(yīng)力 (Factor of safety & allowable stress),n 安全因數(shù) (factor of safety),塑性材料 (ductile materials),脆性材料 (brittle materials),材料的兩個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)s 和 b 稱作極限應(yīng)力或危險(xiǎn)應(yīng)力, 并用 u 表示.,五、 應(yīng)力集中(Stress concentrations),開(kāi)有圓孔的板條,因桿件外形突然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為 應(yīng)力集中 (stress concentrations).,帶有切口的板條,應(yīng)力集中因數(shù)(stress- concentra

13、tion factor),六、蠕變及松弛(creeping & relaxation),固體材料在保持應(yīng)力不變的情況下，應(yīng)變隨時(shí)間緩慢增長(zhǎng)的現(xiàn)象稱為蠕變(creeping),粘彈性材料在總應(yīng)變不變的條件下,變形恢復(fù)力（回彈應(yīng)力）隨時(shí)間逐漸降低的現(xiàn)象稱為松弛 (relaxation),2-5 拉壓桿的變形計(jì)算 (Calculation of axial deformation),一、縱向變形 (Axial deformation),2. 縱向應(yīng)變 (Axial strain),1. 縱向變形 (Axial deformation),二、橫向變形(Lateral deformation),三、泊松

14、比 (Poissons ratio), 稱為泊松比 (Poissons ratio),2. 橫向應(yīng)變(Lateral strain),1. 橫向變形(Lateral deformation),四、胡克定律 (Hookes law),式中 E 稱為彈性模量 (modulus of elasticity) ，EA稱為抗拉（壓）剛度(rigidity).,實(shí)驗(yàn)表明工程上大多數(shù)材料都有一個(gè)彈性階段，在此彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比.,上式改寫為,由,例題5 圖示為一變截面圓桿ABCD.已知F1=20kN，F(xiàn)2=35kN F3=35kN. l1=l3=300mm，l2=400mm. d1=12mm，

15、d2=16mm，d3=24mm. 試求：,（1） -、-、III-III截面的軸力并作軸力圖,（2） 桿的最大正應(yīng)力max,（3） B截面的位移及AD桿的變形,解：求支座反力 FRD = -50kN,（1）-、-、III-III 截面的軸力并作軸力圖,（2） 桿的最大正應(yīng)力max,AB段,DC段,BC段,max = 176.8MPa 發(fā)生在AB段.,（3） B截面的位移及AD桿的變形,例題6 圖所示桿系由兩根鋼桿 1 和 2 組成. 已知桿端鉸接，兩桿與鉛垂線均成 =30 的角度, 長(zhǎng)度均為 l = 2m,直徑均為 d=25mm,鋼的彈性模量為 E=210GPa.設(shè)在點(diǎn)處懸掛一重物 F=100

16、 kN,試求 A點(diǎn)的位移 A.,解：（1） 列平衡方程,求桿的軸力,（2）兩桿的變形為,變形的幾何條件相容是變形后，兩桿仍應(yīng)鉸結(jié)在一起.,（伸長(zhǎng)）,以兩桿伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度BA1 和 CA2 為半徑作圓弧相交于 A,即為A點(diǎn)的新位置.AA 就是A點(diǎn)的位移.,因變形很小,故可過(guò) A1，A2 分別做兩桿的垂線，相交于 A,可認(rèn)為,例題7 圖示三角形架AB和AC 桿的彈性模量 E=200GPa A1=2172mm2，A2=2548mm2. 求 當(dāng)F=130kN時(shí)節(jié)點(diǎn)的位移.,解：(1)由平衡方程得兩桿的軸力,1 桿受拉,2 桿受壓,（2）兩桿的變形,AA3 為所求A點(diǎn)的位移,一、靜定與超靜定問(wèn)題 (Sta

17、tically determinate & indeterminate problem),2-6 拉壓超靜定問(wèn)題 (Statically indeterminate problem of axially loaded members),1.靜定問(wèn)題 (Statically determinate problem) 桿件的軸力可以用靜力平衡條件求出,這種情況稱作靜定問(wèn)題.,2.超靜定問(wèn)題(Statically indeterminate problem) 只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這種情況稱做超靜定問(wèn)題.,1.超靜定的次數(shù)(Degrees of statically indeterm

18、inate problem ) 未知力數(shù)超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)的數(shù)目,稱作超靜定的次數(shù).,二、超靜定問(wèn)題求解方法 (Solution methods for statically indeterminate problem）,2.求解超靜定問(wèn)題的步驟(Procedure for solving a statically indeterminate),（1）確定靜不定次數(shù)；列靜力平衡方程 （2）根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列變形幾何方程 （3）將變形與力之間的關(guān)系（胡克定律）代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程 （4）聯(lián)立補(bǔ)充方程與靜力平衡方程求解,n = 未知力的個(gè)數(shù) 獨(dú)立平衡方程的數(shù)目,例題8 設(shè) 1，2，3 三桿用

19、絞鏈連結(jié)如圖所示，l1 = l2 = l，A1 = A2 = A， E1 = E2 = E，3桿的長(zhǎng)度 l3 ,橫截面積 A3 ,彈性模量E3 。試求在沿鉛垂方向的外力F作用下各桿的軸力.,三、一般超靜定問(wèn)題舉例 (Examples for general statically indeterminate problem),這是一次超靜定問(wèn)題,（2）變形幾何方程,由于問(wèn)題在幾何,物理及 受力方面都是對(duì)稱,所以變形后A點(diǎn)將沿鉛垂方向下移.變形協(xié)調(diào)條件是變形后三桿仍絞結(jié)在一起,變形幾何方程為,（3）補(bǔ)充方程,物理方程為,（4）聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解,例題9 圖示平行桿系1、2、3 懸吊著剛性橫

20、梁AB，在橫梁上作用著荷載F。各桿的截面積、長(zhǎng)度、彈性模量均相同，分別為A，l，E. 試求三桿的軸力 FN1, FN2, FN3.,F,解：（1） 平衡方程,這是一次超靜定問(wèn)題,且假設(shè)均為拉桿.,（2） 變形幾何方程,物理方程,（3） 補(bǔ)充方程,（4）聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解,圖示桿系,若3桿尺寸有微小誤差,則在桿系裝配好后,各桿將處于圖中位置,因而產(chǎn)生軸力. 3桿的軸力為拉力,1. 2桿的軸力為壓力. 這種附加的內(nèi)力就稱為裝配內(nèi)力. 與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力 (initial stresses) .,四、裝配應(yīng)力 (Initial stresses),(Statically indet

21、erminate structure with a misfit),代表?xiàng)U3的伸長(zhǎng),代表?xiàng)U1或桿2的縮短,代表裝配后A點(diǎn)的位移,（1） 變形幾何方程,（2） 物理方程,（3）補(bǔ)充方程,（4） 平衡方程,FN1， FN2， FN3,（5）聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解,例題10 兩鑄件用兩根鋼桿 1. 2 連接,其間距為 l =200mm. 現(xiàn)要將制造得過(guò)長(zhǎng)了e=0.11mm的銅桿 3 裝入鑄件之間,并保持三根桿的軸線平行且等間距 a,試計(jì)算各桿內(nèi)的裝配應(yīng)力. 已知：鋼桿直徑 d=10mm,銅桿橫截面積為2030mm的矩形,鋼的彈性模量E=210GPa,銅的彈性模量E3=100GPa. 鑄件很厚,其

22、變形可略去不計(jì),故可看作剛體.,A,B,C,1,2,a,a,B1,A1,C1,l,3,C1,C,e,（1）變形幾何方程為,C,（3）補(bǔ)充方程,（4）平衡方程,（2）物理方程,C,A,B,FN3,FN1,FN2,聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解,即可得裝配內(nèi)力，進(jìn)而求出裝配應(yīng)力.,五、溫度應(yīng)力 (Thermal stresses or temperature stresses),例題11 圖 示等直桿 AB 的兩端分別與剛性支承連結(jié).設(shè)兩支承 的距離（即桿長(zhǎng)）為 l,桿的橫截面面積為 A,材料的彈性模量 為 E,線膨脹系數(shù)為 .試求溫度升高 T 時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力.,溫度變化將引起物體的膨脹或收縮.靜定

23、結(jié)構(gòu)可以自由變形, 不會(huì)引起構(gòu)件的內(nèi)力,但在超靜定結(jié)構(gòu)中變形將受到部分或 全部約束,溫度變化時(shí)往往就要引起內(nèi)力,與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力 稱為熱應(yīng)力 (thermal stresses)或溫度應(yīng)力 (temperature stresses).,解: 這是一次超靜定問(wèn)題,變形相容條件是桿的總長(zhǎng)度不變.,桿的變形為兩部分,即由溫度升高引起的變形 lT 以及與軸向壓力FR相應(yīng)的彈性變形 lF,（1）變形幾何方程,（3）補(bǔ)充方程,（4）溫度內(nèi)力,（2）物理方程,由此得溫度應(yīng)力,一、基本概念和實(shí)例 (Basic concepts and examples),1.工程實(shí)例 (Engineering exampl

24、es),（1） 螺栓連接 (Bolted connections),2-7 剪切變形 (Shear deformation),（2） 鉚釘連接 (Riveted connections),（3） 鍵塊聯(lián)接 (Keyed connection),（4） 銷軸聯(lián)接(Pinned connection),2.受力特點(diǎn)(Character of external force),以鉚釘為例,構(gòu)件受兩組大小相等、方向相反、作用線相互很近的平行力系作用.,3.變形特點(diǎn)(Character of deformation) 構(gòu)件沿兩組平行力系的交界面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng).,4.連接處破壞三種形式: (Three typ

25、es of failure in connections)（1）剪切破壞 沿鉚釘?shù)募羟忻婕魯?，如沿n-n面剪斷 . （2）擠壓破壞 鉚釘與鋼板在相互接觸面上因擠壓而使?jié)哼B接松動(dòng)，發(fā)生破壞. （3）拉伸破壞,鋼板在受鉚釘孔削弱的截面處， 應(yīng)力增大，易在連接處拉斷.,二、剪切的應(yīng)力分析 (Analysis of shearing stress),1.內(nèi)力計(jì)算(Calculation of internal force),FS - 剪力(shearing force),2.切應(yīng)力（ Shearing stress）,式中， FS - 剪力(shearing force),A-剪切面的面積 (are

26、a in shear),3.強(qiáng)度條件(Strength condition), 為材料的許用切應(yīng)力 (Allowable shearing stress of a material),(factor of safety),n - 安全因數(shù),- 剪切極限應(yīng)力,(ultimate shearing stress),螺栓與鋼板相互接觸的側(cè)面上,發(fā)生的彼此間的局部承壓現(xiàn)象,稱為擠壓 (bearing).,三、擠壓的應(yīng)力分析 (Analysis of bearing stress),在接觸面上的壓力,稱為擠壓力 (bearing force),并記為F,1.擠壓力(Bearing force) F = FS,（1）螺栓壓扁,（2）鋼板在孔緣壓成橢圓,2.擠壓破壞的兩種形式 (Two types of bearing failure),3.擠壓應(yīng)力(Bearing stress),F -擠壓力 (bearing force),Abs -擠壓面的面積 (area in bearing),4.強(qiáng)度條件(Strength condition),bs-許用擠壓應(yīng)力(allowable bearing stress),擠壓現(xiàn)象的實(shí)際受力如圖 所示.,（1）當(dāng)接觸面為圓柱面時(shí), 擠壓面積 Abs為實(shí)際接觸面在直徑平面上的投影面積,