1、1.(文)了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程及 簡單幾何性質(zhì) (理)理解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程， 知道它的簡單幾何性質(zhì) 2理解數(shù)形結(jié)合的思想，了解拋物線的簡單應(yīng) 用,1拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離 的點(diǎn)的軌 跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的 ，直線l叫做拋物 線的 ，定點(diǎn)F不在定直線l上,相等,焦點(diǎn),準(zhǔn)線,思考探究 當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？,提示：當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且與直線l垂直的直線,2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),x,2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),x軸,x軸,x,x0,x0,x0,x0,原點(diǎn)(0,0),e1,y,

2、y軸,y軸,y,y0,y0,y 0,y 0,原點(diǎn)(0,0),e1,1已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上，其上點(diǎn) P(3，m)到焦點(diǎn)F的距離為5，則拋物線方程為 () Ay28x By28x Cy24x Dy24x,解析：設(shè)拋物線方程為y22px(p0)， 由拋物線定義知，| 3|5，解得p4， 拋物線方程為y28x.,答案：B,2拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則a的值為 () A. B C8 D8,解析：方程yax2化為x2 y， 準(zhǔn)線方程為 2，a .,答案：B,3(2009湖南高考)拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 () A(2,0) B(2,0) C(4,0) D(4,0),解析：由拋

3、物線方程y28x得2p8， 2， 從而拋物線的焦點(diǎn)為(2,0),答案：B,4(2010泰州模擬)若直線axy10經(jīng)過拋物線y24x 的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a_.,解析：由題意知拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1,0)在直線axy10上，a10，a1.,答案：1,5過拋物線x24y的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A(x1，y1)， B(x2，y2)兩點(diǎn)，若y1y26，則|AB|等于_,解析：|AB|y1y2p628.,答案：8,1.拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的 距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、 焦點(diǎn)弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn) 到準(zhǔn)線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化

4、,2焦半徑|PF|x| 或|PF|y| ，它們在解 題中有重要作用，注意靈活運(yùn)用,(1)在拋物線y24x上找一點(diǎn)M，使|MA|MF|最小，其中A(3,2)，F(xiàn)(1,0)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)的最小值 (2)已知拋物線y22x和定點(diǎn)A(3， )，拋物線上有動(dòng)點(diǎn)P，P到定點(diǎn)A的距離為d1，P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d2，求d1d2的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo),思路點(diǎn)撥,課堂筆記(1)如圖(1)，點(diǎn)A在拋物線y24x的內(nèi)部，由拋物線的定義可知， |MA|MF|MA|MH|， 其中|MH|為M到拋物線的準(zhǔn)線的距離 過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M1，垂足為B，則 |MA|MF|MA|MH|AB|4， 當(dāng)且僅當(dāng)

5、點(diǎn)M在M1的位置時(shí)等號(hào)成立 此時(shí)M1點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),(2)如圖(2)，點(diǎn)A(3， )在拋物線y22x的外部，由拋物線的定義可知，d1d2|PA|PF|AF| (其中F為拋物線的焦點(diǎn))此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2),由例1，(1)條件中，求點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值,解：如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知： 點(diǎn)P到直線x1的距離 等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離.,于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A (1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小 顯然，連AF交曲線于P點(diǎn)時(shí)有最小值為 ，即 .,1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采

6、用待定系數(shù)法利用題中已知 條件確定拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p的值 2對(duì)于和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的直線問題，“點(diǎn)差法”是常 用方法如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y22px上兩 點(diǎn)，則直線AB的斜率kAB與y1y2可得如下等式：由 2px1； 2px2.得 2p(x2x1)， ， kAB .,特別警示拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的 .,(1)(2010合肥二檢)直線l過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是 () Ay212x By28x Cy26x

7、Dy24x,(2)(2008全國卷)已知F是拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，A、B是C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，則ABF的面積等于_,思路點(diǎn)撥,課堂筆記(1)如圖，分別過點(diǎn)A、 B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別 為M、N，由拋物線的定義知，|A M|BN|AF|BF|AB|8， 又四邊形AMNB為直角梯形，故AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即為梯形的中位線的長度4，而拋物線的準(zhǔn)線方程為x ， 所以42 p4，故拋物線的方程為y28x.,(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (y1y2)(y1y2)4(x1x2) 1. 線段AB所在直線方程為y2x2，即yx. x24x0 x0，x4. A

8、(0,0)，B(4,4),|AB| 4 . F(1,0)，F(xiàn)到線段AB的距離d . SABF |AB|d2.,答案(1)B(2)2,1.直線與拋物線的位置關(guān)系 設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，直線AxByC0，將 直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的方程 my2nyq0， (1)若m0，當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)0時(shí)，直線與拋物線沒有公共點(diǎn),(2)若m0，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與 拋物線的對(duì)稱軸平行 2焦點(diǎn)弦問題 已知AB是過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物 線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

9、(1)y1y2p2，x1x2 ； (2)|AB|x1x2p (為直線AB的傾斜角)； (3)SAOB ； (4)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,過拋物線y22px的焦點(diǎn)F的 直線和拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，如 圖所示 (1)若A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2， 求證：y1y2p2； (2)若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C. 求證：BCx軸,思路點(diǎn)撥,課堂筆記(1)法一：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F .設(shè)過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2) 當(dāng)斜率存在時(shí)，過焦點(diǎn)的直線方程可設(shè)為 yk ， 由 消去x，得ky22pykp20. (*),當(dāng)k0時(shí)，方程(

10、*)只有一解，k0， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y2p2； 當(dāng)斜率不存在時(shí)，得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為 y1y2p2. 綜合兩種情況，總有y1y2p2. 法二：由拋物線方程可得焦點(diǎn)F ， 設(shè)直線AB的方程為xky ， 并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，,則A、B坐標(biāo)滿足 消去x，可得y22p ， 整理，得y22pkyp20， y1y2p2. (2)直線AC的方程為y x， 點(diǎn)C坐標(biāo)為 ，yc .,點(diǎn)A(x1，y1)在拋物線上， 2px1.又由(1)知，y1y2p2， yc y2，BCx軸,拋物線在高考中一般以選擇題或填空題的形式考查學(xué)生對(duì)拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，而以解答

11、題的形式出現(xiàn)時(shí)，常常將解析幾何中的方法、技巧與思想集于一身，與其他圓錐曲線或其他章節(jié)的內(nèi)容相結(jié)合，考查學(xué)生分析解決綜合問題的能力,考題印證 (2009浙江高考)(14分) 已知橢圓C1： 1(ab 0)的右頂點(diǎn)為A(1,0)，過C1的 焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1. (1)求橢圓C1的方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2：yx2h(hR)上，C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M，N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值,【解】(1)由題意，得 從而 因此，所求的橢圓方程為 x21. (4分) (2)如圖，設(shè)M(x1，y1)，N(x2， y2)，P(t，t2h)，則拋物線C2在點(diǎn) P處的

12、切線斜率為y|xt2t，直 線MN的方程為：y2txt2h. (6分),將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2(2txt2h)240. 即4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.(8分) 因?yàn)橹本€MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以式中的116t42(h2)t2h240. 設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3，,則x3 . 設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x4，則x4 . 由題意，得x3x4，(10分) 即t2(1h)t10. 由式中的2(1h)240，得h1或h3. 當(dāng)h3時(shí)，h20,4h20，,則不等式不成立，所以h1.(12分) 當(dāng)h1時(shí)，代入方程得t1， 將h1，t1代入不等式，檢驗(yàn)成立

13、 所以，h的最小值為1.(14分),自主體驗(yàn) (2010宣武月考)已知F1、F2分別是橢圓 1的左、右焦點(diǎn)，曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以F2為焦點(diǎn)的拋物線，自點(diǎn)F1引直線交曲線C于P、Q兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)記為M.設(shè) . (1)求曲線C的方程； (2)證明： ； (3)若2,3，求|PQ|的取值范圍,解：(1)橢圓 1的右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(1,0)， 可設(shè)曲線C的方程為y22px(p0)， p2，曲線C的方程為y24x. (2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1) ，x11(x21)， y1y2， 2 . 4x1， 4x2，x12x2. ,代入得2x21

14、x2， x2(1)1. 1，x2 ，x1， (x11，y1) 由知，y1y2， (x21，y2) ， 故 .,(3)由(2)知x2 ，x1，得x1x21， 16x1x216. y1y20，y1y24， 則|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2, 2(x1x2y1y2) 16. 2,3， ， |PQ|2 ，得|PQ| .,1若拋物線y22px的焦點(diǎn)與橢圓 1的右焦點(diǎn) 重合，則p的值為 () A2B2 C4 D4,解析：橢圓的右焦點(diǎn)是(2,0)， 2，p4.,答案：D,2若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y40的距離小2， 則P的軌跡方程為 () Ay28x By28x Cx28y Dx28y

15、,解析：由題意知，點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離與它到直線y20的距離相等，由拋物線定義知點(diǎn)P的軌跡是拋物線，其方程為x28y.,答案：C,3若雙曲線 1的左焦點(diǎn)在拋物線y22px的準(zhǔn) 線上，則p的值為 () A2 B3 C4 D4,解析：雙曲線的左焦點(diǎn)( ，0)， 拋物線的準(zhǔn)線x ， p216， 由題意知p0，p4.,答案：C,4如果直線l過定點(diǎn)M(1,2)，且與拋物線y2x2有且僅有 一個(gè)公共點(diǎn)，那么直線l的方程為_,解析：點(diǎn)M在拋物線上，由題意知直線l與拋物線相切于點(diǎn)M(1,2)，y|x14，直線l的方程為y24(x1)，即4xy20.當(dāng)l與拋物線相交時(shí)，l的方程為x1.,答案：4xy20，x1,5已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為 K，點(diǎn)A在C上且|AK| |AF|，則AFK的面積為 _,解析：拋物線y28x的焦點(diǎn)為 F(2,0)，準(zhǔn)線為x2， K(2,0)設(shè)A(x0，y0)，過A點(diǎn) 向準(zhǔn)線作垂線AB，如圖， 則B(2，y0)， |AK| |AF| |AB| (x02)，,由|BK|2|AK|2|AB|