1、課題：空間向量與運(yùn)算復(fù)習(xí)小結(jié)課時(shí)：10課型：一、復(fù)習(xí)目標(biāo)1了解空間向量的概念；會(huì)建立坐標(biāo)系，并用坐標(biāo)來(lái)表示向量；2理解空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；會(huì)用向量工具求空間的角和距離.二知識(shí)梳理1求角：（1）直線和直線所成的角：求二直線上的向量的夾角或補(bǔ)角；（2）直線和平面所成的角：找出射影，求線線角；求出平面的法向量，直線的方向向量，設(shè)線面角為,則.（3）二面角：求平面角，或求分別在兩個(gè)面內(nèi)與棱垂直的兩個(gè)向量的夾角（或補(bǔ)角）；求兩個(gè)法向量的夾角（或補(bǔ)角）.2求距離_a _ nNMH（1）點(diǎn)M到面的距離（如圖）就是斜線段MN在法向量方向上的正投影.由得距離公式： （2）線面距離、面面距離都是求一點(diǎn)到平面的距離

2、；（3）異面直線的距離：求出與二直線都垂直的法向量和連接兩異面直線上兩點(diǎn)的向量，再代上面距離公式.三、雙基練習(xí)1在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y，z），下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是 （ ）點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4（x，y，z）A.3 B.2 C.1 D.02 直三棱柱A1B1C1ABC，BCA=90，D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是 （）A B. C D3已知向量a=（1，1，0），b

3、=（1，0，2），且kab與2ab互相垂直，則k= _4 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度分別是 ， .答案提示： 1. C； 2. A； 3. ； 4.（2，1，），dAB=四、典例題解析【例1】 【2015全國(guó)二卷19（本題滿分12分）】如圖，長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)，分別在，上，過(guò)點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形DD1C1A1EFABCB1（）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫(huà)法和理由）；（）求直線與平面所成角的正弦值19（）詳見(jiàn)解析；（）解析：（）交線圍成的正方形如圖：（）作，垂足為，則，因?yàn)闉檎叫危杂谑?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向

4、，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的法向量，則即所以可取又，故所以直線與平面所成角的正弦值為考點(diǎn)：1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平面所成的角 【例2】（本小題滿分13分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,且點(diǎn)M和N分別為的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求二面角的正弦值；（）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).17（）見(jiàn)解析； （） ； （） .解析：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，又因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，得.（）證明：依題意，可得為平面的一個(gè)法向量， 由此可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面（），設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，又，

5、得，不妨設(shè)，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值為.（）依題意，可設(shè)，其中，則，從而，又為平面的一個(gè)法向量，由已知得，整理得，又因?yàn)?，解得，所以線段的長(zhǎng)為.考點(diǎn)：直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用.五、提煉總結(jié)以為師1.求線線角、線面角、二面角的方法：2求點(diǎn)面距離，線面距離、面面距離及異面直線的距離的方法：六、同步練習(xí) 1.【2015高考】一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.（1）請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說(shuō)明理由）（2）證明：直線平面（3）求二面角的余弦值.18（1）點(diǎn)F、G、H的位

6、置如圖所示.（2）詳見(jiàn)解析.（3）解析：（1）點(diǎn)F、G、H的位置如圖所示.（2）連結(jié)BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn).因?yàn)镸、N分別是BC、GH的中點(diǎn)，所以，且，且，所以，所以是平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面.（3）連結(jié)AC，過(guò)M作于P. 在正方形中，所以.過(guò)P作于K，連結(jié)KM，所以平面，從而.所以是二面角的平面角.設(shè)，則，在中，.在中，.所以.即二面角的余弦值為.2.【2015山東】如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn).（）求證：平面；（）若平面， ， ,求平面與平面 所成的角（銳角）的大小.17（）詳見(jiàn)解析；（） 分析：（）思路一：連接，設(shè)，連接，先證明，從而由直線與平面平行的判定定理得平面；思

7、路二：先證明平面 平面 ，再由平面與平面平行的定義得到平面.（）思路一：連接，設(shè)，連接，證明 兩兩垂直, 以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作 于點(diǎn) ，作 于點(diǎn) ，連接，證明 即為所求的角，然后在三角形中求解.解析： （）證法一：連接，設(shè)，連接，在三棱臺(tái)中，為的中點(diǎn)可得 所以四邊形為平行四邊形則為的中點(diǎn)又為的中點(diǎn)所以 又平面 平面所以平面證法二：在三棱臺(tái)中，由為的中點(diǎn)可得 所以四邊形為平行四邊形可得 在 中， 為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，所以 又 ，所以平面 平面 因?yàn)?平面 所以 平面 （）解法一：設(shè) ，則 在三棱臺(tái)中，為的中點(diǎn)由 ，可得四邊形 為平行四邊形，因此 又平面 所以平面 在中，由 ，是中點(diǎn)，所以 因此 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 所以 可得 故 設(shè) 是平面 的一個(gè)法向量，則由 可得 可得平面 的一個(gè)法向量因?yàn)?是平面 的一個(gè)法向量，