1、,3.2導數的應用,課時2導數與函數的極值、最值,內容索引,題型一用導數解決函數極值問題,題型二用導數求函數的最值,題型三函數極值和最值的綜合問題,答題模板系列,練出高分,思想方法 感悟提高,題型一用導數解決函數 極值問題,命題點1根據函數圖象判斷極值 例1設函數f(x)在R上可導，其導函數為f(x)，且函數 y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立 的是(),A.函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B.函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) C.函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(2) D.函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(2),解析答案,解析由題圖可

2、知，當x0； 當22時，f(x)0. 由此可以得到函數f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值. 答案D,命題點2求函數的極值,解析答案,當a0時，隨著x的變化，f(x)與f(x)的變化情況如下：,解析答案,解析答案,當a0時，隨著x的變化，f(x)與f(x)的變化情況如下：,解析答案,命題點3已知極值求參數 例3(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1時有極值0， 則ab_.,解析由題意得f(x)3x26axb，,經檢驗當a1，b3時，函數f(x)在x1處無法取得極值， 而a2，b9滿足題意，故ab7.,7,解析答案,解析答案,解析答案,思維升華,解析答案,思維升華,答案C,思維升

3、華,思維升華,思維升華,(1)求函數f(x)極值的步驟： 確定函數的定義域； 求導數f(x)； 解方程f(x)0，求出函數定義域內的所有根； 列表檢驗f(x)在f(x)0的根x0左右兩側值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值 (2)若函數yf(x)在區(qū)間(a，b)內有極值，那么yf(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區(qū)間上單調函數沒有極值,當x1時，y取極大值3.,3,跟蹤訓練1,解析答案,(2)設f(x)ln(1x)xax2，若f(x)在x1處取得極值，則a的值為_.,解析答案,解析由題意知，f(x)的定義域為(1，)，,由題意

4、得：f(1)0，則2a2a10，,當01時，f(x)0， 所以f(1)是函數f(x)的極小值，,返回,題型二用導數求 函數的最值,(1)當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；,解析答案,即x4y4ln 240.,(2)求f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值.,解析答案,思維升華,令f(x)0，得xa.,若a0，則f(x)0，f(x)在區(qū)間(0，e上單調遞增，此時函數f(x)無最小值. 若00，函數f(x)在區(qū)間(a，e上單調遞增， 所以當xa時，函數f(x)取得最小值ln a.,解析答案,思維升華,若ae，則當x(0，e時，f(x)0，函數f(x)在區(qū)間(0，e上單調遞減，,綜

5、上可知，當a0時，函數f(x)在區(qū)間(0，e上無最小值； 當0ae時，函數f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為ln a；,思維升華,思維升華,求函數f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟 (1)求函數在(a，b)內的極值； (2)求函數在區(qū)間端點的函數值f(a)，f(b)； (3)將函數f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.,解析由題意知，當x(0,2)時，f(x)的最大值為1.,D,跟蹤訓練2,解析答案,返回,題型三函數極值和最 值的綜合問題,(1)求f(x)的單調區(qū)間；,解析答案,令g(x)ax2(2ab)xbc， 因為ex0，所以yf(x)的

6、零點就是g(x)ax2(2ab)xbc的零點，且f(x)與g(x)符號相同.,又因為a0，所以30， 即f(x)0， 當x0時，g(x)0， 即f(x)0， 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(3,0)， 單調遞減區(qū)間是(，3)，(0，).,(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)間5，)上的最大值.,解析答案,思維升華,解 由(1)知，x3是f(x)的極小值點，,解得a1，b5，c5，,解析答案,思維升華,因為f(x)的單調遞增區(qū)間是(3,0)，單調遞減區(qū)間是(，3)，(0，)， 所以f(0)5為函數f(x)的極大值， 故f(x)在區(qū)間5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者，,所以函

7、數f(x)在區(qū)間5，)上的最大值是5e5.,思維升華,思維升華,求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.,已知函數f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m、n1,1，則f(m)f(n)的最小值是() A.13 B.15 C.10 D.15,跟蹤訓練3,解析答案,解析對函數f(x)求導得f(x)3x22ax， 由函數f(x)在x2處取得極值知f(2)0， 即342a20，a3. 由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x， 易知f(x)在1,0)上單調遞減，在0,1上單調遞增

8、，,解析答案,當m1,1時，f(m)minf(0)4. 又f(x)3x26x的圖象開口向下， 且對稱軸為x1，當n1,1時， f(n)minf(1)9. 故f(m)f(n)的最小值為13. 答案A,返回,答題模板系列,典例(12分)已知函數f(x)ln xax (aR). (1)求函數f(x)的單調區(qū)間； (2)當a0時，求函數f(x)在1,2上的最小值.,思維點撥 (1)已知函數解析式求單調區(qū)間，實質上是求f(x)0，f(x)0的解區(qū)間，并注意定義域.(2)先研究f(x)在1,2上的單調性，再確定最值是端點值還是極值.(3)兩小問中，由于解析式中含有參數a，要對參數a進行分類討論.,答題模板

9、系列,3.利用導數求函數的最值問題,解析答案,思維點撥,答題模板,返回,溫馨提醒,規(guī)范解答,解析答案,答題模板,溫馨提醒,綜上可知，當a0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，)；,解析答案,答題模板,溫馨提醒,解析答案,答題模板,溫馨提醒,綜上可知， 當0aln 2時，函數f(x)的最小值是a； 當aln 2時，函數f(x)的最小值是ln 22a. 12分,答題模板,溫馨提醒,用導數法求給定區(qū)間上的函數的最值問題一般可用以下幾步答題 第一步：(求導數)求函數f(x)的導數f(x)； 第二步：(求極值)求f(x)在給定區(qū)間上的單調性和極值； 第三步：(求端點值)求f(x)在給定區(qū)間上的端點值；

10、 第四步：(求最值)將f(x)的各極值與f(x)的端點值進行比較，確定f(x)的最 大值與最小值； 第五步：(反思)反思回顧，查看關鍵點，易錯點和解題規(guī)范.,答題模板,(1)本題考查求函數的單調區(qū)間，求函數在給定區(qū)間1,2上的最值，屬常規(guī)題型. (2)本題的難點是分類討論.考生在分類時易出現(xiàn)不全面，不準確的情況. (3)思維不流暢，答題不規(guī)范，是解答中的突出問題.,溫馨提醒,返回,思想方法 感悟提高,1.如果在區(qū)間a，b上函數yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值. 2.求閉區(qū)間上可導函數的最值時，對函數的極值是極大值還是極小值可不作判斷，直接與端點的函數值比較即可.

11、3.當連續(xù)函數的極值點只有一個時，相應的極值必為函數的最值. 4.求極值、最值時，要求步驟規(guī)范、表格齊全，含參數時，要討論參數的大小.,方法與技巧,1.求函數單調區(qū)間與函數極值時要養(yǎng)成列表的習慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能. 2.求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結論. 3.函數在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.當函數yx2x取極小值時，x等于(),B,15,解析令y2xx2xln 20，,16,解析答案,2.函數yln

12、 xx在x(0，e上的最大值為() A.e B.1 C.1 D.e,解析函數yln xx的定義域為(0，).,C,當x(0,1)時，y0，函數單調遞增； 當x(1，e時，y0，函數單調遞減. 當x1時，函數取得最大值1.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.設函數f(x)在R上可導，其導函數為f(x)，且函數f(x)在x2處取得極小值，則函數yxf(x)的圖象可能是(),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由函數f(x)在x2處取得極小值，可得f(2)0， 且當x(a，2)(a2)時

13、，f(x)單調遞增，即f(x)0. 所以函數yxf(x)在區(qū)間(a，2)(a2)內的函數值為正， 在區(qū)間(2，b)(2b0)內的函數值為負，由此可排除選項A，B，D. 答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知函數f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，則f(2)等于() A.11或18 B.11 C.18 D.17或18,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析函數f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10， f(1)10，且f(1)0，,f(x)x34x211x16，f(2)18

14、. 答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知函數f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是() A.(1,2) B.(，3)(6，) C.(3,6) D.(，1)(2，) 解析f(x)3x22ax(a6)， 由已知可得f(x)0有兩個不相等的實根. 4a243(a6)0，即a23a180. a6或a3.,B,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析f(x)x22x3，f(x)0，x0,2， 得x1.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

15、13,14,15,16,7.設aR，若函數yexax有大于零的極值點，則實數a的取值范圍是_.,解析yexax，yexa. 函數yexax有大于零的極值點， 則方程yexa0有大于零的解， x0時，ex1，aex1.,(，1),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.函數f(x)x33a2xa(a0)的極大值是正數，極小值是負數，則a的取值范圍是_.,解析f(x)3x23a23(xa)(xa)， 由f(x)0得xa， 當aa或x0，函數遞增. f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

16、,11,12,13,14,15,16,9.設f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與y軸相交于點(0,6). (1)確定a的值； 解因為f(x)a(x5)26ln x，,令x1，得f(1)16a，f(1)68a， 所以曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y16a(68a)(x1)，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令f(x)0，解得x2或3. 當03時，f(x

17、)0， 故f(x)在(0,2)，(3，)上為增函數； 當2x3時，f(x)0，故f(x)在(2,3)上為減函數.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在x3處取得極小值f(3)26ln 3.,綜上，f(x)的單調增區(qū)間為(0,2)，(3，)，單調減區(qū)間為(2,3)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知函數f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的單調區(qū)間；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是(，k1)； 單

18、調遞增區(qū)間是(k1，).,解由題意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1. f(x)與f(x)隨x的變化情況如下表：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解當k10，即k1時，f(x)在0,1上單調遞增， 所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k； 當0k11，即1k2時， f(x)在0，k1上單調遞減，在k1,1上單調遞增， 所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1； 當k11，即k2時，f(x

19、)在0,1上單調遞減， 所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,綜上，當k1時，f(x)在0,1上的最小值為f(0)k； 當1k2時，f(x)在0,1上的最小值為 f(k1)ek1； 當k2時，f(x)在0,1上的最小值為f(1)(1k)e.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.函數f(x)的定義域是R，f(0)2，對任意的xR，f(x)f(x)1，則不等式exf(x)ex1的解集是() A.x|x0 B.x|x1 D.x|x1或0x1,解析

20、答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又g(0)e0f(0)e010， 所以exf(x)ex1， 即g(x)0的解集為x|x0. 答案A,解析構造函數g(x)exf(x)ex1， 求導得到g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1. 由已知f(x)f(x)1，可得到g(x)0， 所以g(x)為R上的增函數；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.若函數yf(x)的導函數yf(x)的圖象如圖所示， 則yf(x)的圖象可能為(),解析根據f(x)的符號，f(x)圖象應該是先下降后上升，最后下

21、降，排除A、D；從適合f(x)0的點可以排除B.,C,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.函數f(x)x33axb(a0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調遞減區(qū)間是_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,則f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以f(x)的單調遞減區(qū)間是(1,1). 答案(1,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.

22、若函數f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，則實數a的取值范圍是_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析f(x)3x230，得x1，且x1為函數的極小值點，x1為函數的極大值點. 函數f(x)在區(qū)間(a,6a2)上有最小值，則函數f(x)極小值點必在區(qū)間(a,6a2)內， 即實數a滿足a16a2且f(a)a33af(1)2.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,不等式a33af(1)2， 即a33a20，即a313(a1)0， 即(a1)(a2a2)0， 即(a1)2(a2)0，即a2. 故實數a的取值范圍是2,1). 答案2,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若f(x)為R上的單調函數， 則f(x)在R上不變號，結合與條件a0， 知ax22ax10