1、,第六章數(shù) 列,6.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,高頻小考點(diǎn),思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.數(shù)列的定義 按照 排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的 . 2.數(shù)列的分類,一定順序,項(xiàng),有限,無(wú)限,知識(shí)梳理,1,答案,答案,3.數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是 、 和. 4.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與 之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.,列表法,圖象法,解析法,序號(hào)n,S1,SnSn1,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)所有數(shù)列的第n

2、項(xiàng)都能使用公式表達(dá).() (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).() (3)1,1,1,1，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.() (4)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.() (5)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)nN*，都有an1Sn1Sn.() (6)在數(shù)列an中，對(duì)于任意正整數(shù)m，n，amnamn1，若a11，則a22.(),思考辨析,答案,1.下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是(),B.1，2，3，4，,解析根據(jù)定義，屬于無(wú)窮數(shù)列的是選項(xiàng)A、B、C(用省略號(hào))，屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C、D，故同時(shí)滿足要求的是選項(xiàng)C.,C,考點(diǎn)自測(cè),2,解析答案,1,2,3,4,5,2.

3、數(shù)列3,7，11,15，的通項(xiàng)公式可能是() A.an4n7 B.an(1)n(4n1) C.an(1)n(4n1) D.an(1)n1(4n1),C,答案,1,2,3,4,5,3.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為() A.15 B.16C.49 D.64,解析Snn2，a1S11. 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1. 當(dāng)n1時(shí)符合上式， an2n1，a828115.,A,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an_.,5n4,1,2,3,4,5,答案,5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則an_.,解

4、析當(dāng)n1時(shí)，a1S12，當(dāng)n2時(shí)， anSnSn1n21(n1)212n1，,解析答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類深度剖析,解析注意到分母0,2,4,6都是偶數(shù)，對(duì)照選項(xiàng)排除即可.,C,題型一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,解析答案,解析答案,思維升華,根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項(xiàng)的聯(lián)系特征；拆項(xiàng)后的各部分特征；符號(hào)特征.應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.,思維升華,根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式. (1)1,7，13,19，； 解數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過(guò)(1)n表示， 從第2

5、項(xiàng)起，每一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它的前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6， 故通項(xiàng)公式為an(1)n(6n5).,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)0.8,0.88,0.888，；,解析答案,解各項(xiàng)的分母分別為21，22，23，24，易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母小3.,解析答案,例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn2Snn2，nN*. (1)求a1的值； 解令n1時(shí)，T12S11， T1S1a1，a12a11，a11.,題型二由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式,解析答案,(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,解析答案,思維升華,解n2時(shí)，Tn12Sn1(n1)2， 則SnTnTn12Snn22Sn

6、1(n1)2 2(SnSn1)2n12an2n1. 因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a1S11也滿足上式， 所以Sn2an2n1(n1)， 當(dāng)n2時(shí)，Sn12an12(n1)1， 兩式相減得an2an2an12， 所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，,解析答案,思維升華,因?yàn)閍1230， 所以數(shù)列an2是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列. 所以an232n1，所以an32n12， 當(dāng)n1時(shí)也成立， 所以an32n12.,思維升華,思維升華,A,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則其通項(xiàng)公式為 _.,解析當(dāng)n1時(shí)，a1S13122112； 當(dāng)n2時(shí)， anSnSn

7、13n22n13(n1)22(n1)16n5， 顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式.,解析答案,例3(1)設(shè)數(shù)列an中，a12，an1ann1，則通項(xiàng)an_.,解析由題意得，當(dāng)n2時(shí)， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1),題型三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,解析答案,(2)數(shù)列an中，a11，an13an2，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an_.,解析答案,思維升華,解析方法一(累乘法) an13an2，即an113(an1)，,即an123n1(n1)，所以an23n11(n2)，,解析答案,思維升華,即an123n1(n1)，所以an23n11(n2)， 又a11也滿足上式，故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式

8、為an23n11. 方法二(迭代法) an13an2， 即an113(an1)32(an11)33(an21) 3n(a11)23n(n1)，,所以an23n11(n2)， 又a11也滿足上式， 故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an23n11. 答案23n11,思維升華,已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解. 當(dāng)出現(xiàn)anan1m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn) f(n)時(shí)，用累乘法求解.,思維升華,以上(n1)個(gè)式子相乘得,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an1(nN

9、*)，則a5等于() A.16 B.16 C.31 D.32 解析當(dāng)n1時(shí)，S12a11，a11. 當(dāng)n2時(shí)，Sn12an11， an2an2an1，an2an1. an是等比數(shù)列且a11，q2， 故a5a1q42416.,B,解析答案,命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性,A.遞減數(shù)列 B.遞增數(shù)列 C.常數(shù)列 D.擺動(dòng)數(shù)列,B,題型四數(shù)列的性質(zhì),解析答案,命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性,解析答案,周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.,命題點(diǎn)3數(shù)列的最值,C,解析答案,思維升華,(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題可用以下三種方法 用作差比較法，根據(jù)an1an的符號(hào)判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列.,結(jié)合相

10、應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷. (2)解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法 先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值. (3)數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解.,思維升華,an為周期數(shù)列且T4，,跟蹤訓(xùn)練4,解析答案,(2)設(shè)an3n215n18，則數(shù)列an中的最大項(xiàng)的值是(),由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n2或3時(shí)，an最大，最大值為0.,D,解析答案,返回,高頻小考點(diǎn),典例(1)將石子擺成如圖所示的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，為“梯形數(shù)”.根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 014項(xiàng)與5的差，即a2 0145 等于(),A.2 0182 012 B.2 0202 013

11、C.1 0092 012 D.1 0102 013,高頻小考點(diǎn),5.數(shù)列中的新定義問(wèn)題,A.(1，) B.(，1 C.(1，) D.(，1,解析答案,思維點(diǎn)撥,溫馨提醒,返回,思維點(diǎn)撥 (1)觀察圖形，易得anan1n2(n2)可利用累加法求解. (2)由“減差數(shù)列”的定義，可得關(guān)于bn的不等式，把bn的通項(xiàng)公式代入，化歸為不等式恒成立問(wèn)題求解.,解析答案,溫馨提醒,解析(1)因?yàn)閍nan1n2(n2)，a15， 所以a2 014(a2 014a2 013)(a2 013a2 012)(a2a1)a1 2 0162 01545,所以a2 01451 0102 013，故選D. (2)由數(shù)列b3

12、，b4，b5，是“減差數(shù)列”，,解析答案,溫馨提醒,化簡(jiǎn)得t(n2)1.,答案(1)D,(2)C,溫馨提醒,解決數(shù)列的新定義問(wèn)題要做到： (1)準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決數(shù)列新定義問(wèn)題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，將題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式，切忌同已有概念或定義相混淆. (2)方法選?。簩?duì)于數(shù)列新定義問(wèn)題，搞清定義是關(guān)鍵，仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng)(特殊處、簡(jiǎn)單處)體會(huì)題意，從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法.,返回,溫馨提醒,思想方法感悟提高,1.求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng).通常用觀察法(對(duì)于交錯(cuò)數(shù)列一般用(1)n或(1)n1來(lái)區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號(hào))；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，若求通項(xiàng)可用歸納、猜想和

13、轉(zhuǎn)化的方法.,3.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：對(duì)這類問(wèn)題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有兩種常見思路： (1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想； (2)利用累加法或累乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 4.數(shù)列的性質(zhì)可利用函數(shù)思想進(jìn)行研究.,方法與技巧,1.數(shù)列anf(n)和函數(shù)yf(x)定義域不同，其單調(diào)性也有區(qū)別：yf(x)是增函數(shù)是anf(n)是遞增數(shù)列的充分不必要條件. 2.數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不存在，也可能有多個(gè). 3.由anSnSn1求得的an是從n2開始的，要對(duì)n1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分

14、數(shù)形式，且正負(fù)相間， 求通項(xiàng)公式時(shí)，我們可以把每一部分進(jìn)行分解：符號(hào)、分母、分子.,C,解析答案,2.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10等于() A.15 B.12C.12 D.15 解析由題意知，a1a2a10 14710(1)10(3102) (14)(710)(1)9(392)(1)10(3102) 3515.,A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.若數(shù)列an滿足：a119，an1an3(nN*)，而數(shù)列an的前n項(xiàng)和數(shù)值最

15、大時(shí)，n的值為() A.6 B.7 C.8 D.9 解析an1an3， 數(shù)列an是以19為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列， an19(n1)(3)223n. a7222110，a8222420， n7時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和最大.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,5.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann22n(nN)*，則“1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析若數(shù)列an為遞增數(shù)列，則有an1an0，,因此“1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.,A,1

16、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n1(nN*)，則an_. 解析當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1， 當(dāng)n1時(shí)，a1S14211，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.數(shù)列an中，已知a11，a22，an1anan2(nN*)，則a7_. 解析由已知an1anan2，a11，a22， 能夠計(jì)算出a31，a41，a52，a61，a71.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,8.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn2ann

17、，則an_. 解析當(dāng)n1時(shí)，S1a12a11，得a11， 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12ann2an1(n1)， 即an2an11，an12(an11)， 數(shù)列an1是首項(xiàng)為a112，公比為2的等比數(shù)列， an122n12n，an2n1.,2n1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,9.數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann27n6. (1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？ 解當(dāng)n4時(shí)，a4424766. (2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？ 解令an150，即n27n6150， 解得n16或n9(舍去)， 即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng).,1,2

18、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)？ 解令ann27n60，解得n6或n1(舍去). 所以從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(1)求a2，a3；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求an的通項(xiàng)公式.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解由題設(shè)知a11.,于是a11，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,顯然，當(dāng)n1時(shí)也滿足上式.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知數(shù)列an滿足an1anan1(n2)，a11，a23，記Sna1a2an，則下列結(jié)論正確的是() A.a2 0141，S2 0142 B.a2 0143，S2 0145 C.a2 0143，S2 0142 D.a2 0141，S2 0145 解析由an1anan1(n2)，知an2an1an， 則an2an1(n2)，an3an，an6an， 所以數(shù)列