1、3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式互動課堂疏導引導1.兩角和的余弦公式比較cos(-)與cos(+),并且注意到+與-之間的關(guān)系:+=-(-),則由兩角差的公式得cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin,即cos(+)=coscos-sinsin.(C(+)2.兩角和與差的正弦公式sin(-)=cos(-+)=cos(-)+=cos(-)cos-sin(-)sin=sincos-cossin,即sin(-)=sincos-cossin.(S(-)在上式中,以-代可得sin(+)=sincos+cossin.(S(+)3.正確理解

2、和差角的正弦公式(1)公式對于任意的角、都成立.(2)搞清sin()的意義.例如sin(+)是兩角與的和的正弦,它表示角+終邊上任意一點的縱坐標與原點到這點的距離之比.在一般情況下,sin(+)sin+sin,如=,=時,sin(+)=sin=1,sin+sin=+=1.sin(+)sin+sin.只有在某些特殊情況下,sin(+)=sin+sin,例如,當=0,=時,sin(0+)=sin=,sin0+sin=0+=,sin(0+)=sin0+sin.在學習時一定要注意:不能把sin(+)按分配律展開.(3)牢記公式并能熟練左、右兩邊互化.例如化簡sin20cos50-sin70cos40,

3、要能觀察出此式等于sin(20-50)=-sin30=-.(4)靈活運用和(差)角公式.例如化簡sin(+)cos-cos(+)sin,不要將sin(+),cos(+)展開,而應(yīng)就整個式子,直接運用公式sin(+)-=sin,這也是公式的逆用.4.兩角和與差的正切公式的推導當cos(+)0時,將公式S(+),C(+)的兩邊分別相除,有tan(+)=.當coscos0時,將上式的分子、分母分別除以coscos,得tan(+)=(T(+).由于tan(-)=-tan.在T(+)中以-代,可得tan(-)=(T(-).5.關(guān)于兩角和與差的正切公式要注意幾個問題(1)公式適用范圍.因為y=tanx的定

4、義域為x+k,kZ.所以T()只有在+k,+k,+k時才成立,否則不成立,這是由任意角的正切函數(shù)的定義域所決定的.當tan、tan或tan()的值不存在時,不能使用T()處理某些有關(guān)問題,但可改用誘導公式或其他方法.例如,化簡tan(-),因為tan的值不存在,不能利用公式T(-),所以改用誘導公式.(2)注意公式的逆向運用=tan(+)-=tan,=tan(45+).(3)變形應(yīng)用tan+tan=tan(+)(1-tantan),tan-tan=tan(-)(1+tantan),如tan+tan+tantantan(+)=tan(+),tan(+)-tan-tan=tantantan(+).

5、活學巧用1.在ABC中,若sinAsinBcosAcosB,則此三角形的外心位于它的( )A.內(nèi)部 B.外部 C.一邊上 D.不確定解析:cosAcosB-sinAsinB0,即cos(A+B)0,-cosC0.cosC0.C為鈍角.ABC為鈍角三角形.三角形的外心位于它的外部.答案:B2.化簡下列各式:(1)cos(80+3)cos(35+3)+sin(80+3)cos(55-3);(2)sin(x+)+2sin(x-)-cos(-x);(3).解析:(1)原式=cos(80+3)cos(35+3)+sin(80+3)sin(35+3)=cos(80+3)-(35+3)=cos45=.(2)

6、原式=sinxcos+cosxsin+2sinxcos-2cosxsin-coscosx-sinsinx=sinx-cosx+cosx-sinx=0.(3)原式=tan(-).答案:(1);(2)0;(3)tan(-).3.已知cos(+)=-,cos2=-,、均為鈍角,求sin(-).解析:、(90,180),+,2(180,360).cos(+)=- 0,cos2=-0.+,2(180,270).sin(+)=,sin2=.sin(-)=sin2-(+)=sin2cos(+)-cos2sin(+)=(-)(-)-(-)()=.答案:.4.求下列各式的值.(1)(2)(3).解:(1)原式=tan(75-15)=tan60=.(2)原式=tan(55-25)=tan30=.(3 =tan(60-15)=tan45=1.答案:(1)3;(2) ;(3)1.5.化簡求值:(3+tan30tan40+tan40tan50+tan50tan60)tan10.解:原式=(1+tan30tan40+1+tan40tan50+1+tan50tan60)tan10,因為tan10=tan(40-30)=所以1+tan40tan30=.同理,1+tan40tan50=,1+tan50tan60=.所以原式=(+)tan10=tan40-tan30+tan50-tan40+tan6