1、2.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教學(xué)目的：1.通過本節(jié)學(xué)習(xí),讓學(xué)生理解數(shù)列的概念,理解數(shù)列是一種特殊函數(shù),把數(shù)列融于函數(shù)之中;2.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式,并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng),對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列,會(huì)根據(jù)前幾項(xiàng)寫出它的通項(xiàng)公式;3.理解遞推公式的意思,能類比函數(shù)畫出數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象;4.理解通項(xiàng)公式與遞推公式的異同;5.通過探究、思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析等教學(xué)方式,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,并通過日常生活重的大量實(shí)例,鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn),大膽猜想,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度;6.通過本節(jié)章頭圖的學(xué)習(xí),體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活,理解大自然的豐富多彩,感受“大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”,從

2、而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點(diǎn)：1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念;2.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式的意義,并能根據(jù)通項(xiàng)公式或遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng);3.了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：1.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式;2.理解遞推公式和通項(xiàng)公式的關(guān)系;3.數(shù)列的遞推公式及其應(yīng)用的處理技巧.教學(xué)過程：一、引入新課：創(chuàng)設(shè)情景引導(dǎo)學(xué)生閱讀章頭圖幾文字說明,“有人說,大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”“樹木的分叉、花瓣的數(shù)量、植物的種子或樹木的排列都遵循了某種數(shù)學(xué)規(guī)律”,那么大自然是怎么懂?dāng)?shù)學(xué)的?都遵循了什么樣的規(guī)律?真是神奇而又奧妙.插圖右側(cè)是四種不同類型的花瓣,其花瓣樹木分別是,你看出這幾個(gè)數(shù)字的特點(diǎn)

3、了嗎?前兩個(gè)之和恰好等于后一個(gè),你說奇妙不奇妙?這種規(guī)律就是我們將要學(xué)習(xí)的數(shù)列.引例1.國(guó)際象棋中的每個(gè)格子中一次放入這樣的麥粒數(shù)排成一列數(shù)2.某班學(xué)生的學(xué)號(hào)由小到大排成一列數(shù)3.1984年至2008年,我國(guó)奧運(yùn)健兒在歷次奧運(yùn)會(huì)上獲得的金牌數(shù)排成一列數(shù) 像上面這些例子中,按一定次序排成的一列數(shù),它們有什么共同特點(diǎn)?共同特點(diǎn): (1)每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù); (2)這些數(shù)在排列上按一定順序來.二、講解新課：1.數(shù)列的概念 按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān),排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng),通常也叫做首項(xiàng),排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng),排在

4、第位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng). 注: 從數(shù)列定義可以看出,數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么他們就不是同一數(shù)列,顯然數(shù)列和數(shù)集有本質(zhì)的區(qū)別.2.數(shù)列的記法 數(shù)列的一般形式可以寫成:,可簡(jiǎn)記為.其中是數(shù)列的第項(xiàng).3.數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 注: (1)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)不唯一. 如,它的通項(xiàng)公式可以是,也可以是. (2)通項(xiàng)公式的作用:求數(shù)列中的任意一項(xiàng);檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是不是該數(shù)列中的項(xiàng),并確定是第幾項(xiàng).4.數(shù)列的本質(zhì) 從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作一個(gè)定義域是正整數(shù)集(或它的子集)的函

5、數(shù).當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.而數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值,序號(hào)就是自變量,數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.其圖象是一群孤立點(diǎn).由于函數(shù)有三種表示法,所以數(shù)列也有三種表示法:列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法.通常用通項(xiàng)公式法表示數(shù)列.5.數(shù)列的分類 (1)按數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是否有限,分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列. 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列;項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列. (2)按數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)的變化趨勢(shì),分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列. 一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列; 一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列; 各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做常數(shù)列;

6、 一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列.6.遞推公式 已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)與它前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式. 注:已知數(shù)列的遞推公式時(shí),采用逐次代值法,可以求出數(shù)列的其它項(xiàng)值.三、講解范例：例1 寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前項(xiàng)分別是下列個(gè)數(shù): (1); (2). (3) (4)解: (1) (2)(3) (4)類型題: 根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)答案: (1) (2) (3)

7、(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)點(diǎn)評(píng): 這種由“數(shù)”給出數(shù)列的“式”的題目,解決的關(guān)鍵是找出這個(gè)數(shù)列呈現(xiàn)的規(guī)律性的東西,然后在通過歸納給出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.但是學(xué)生應(yīng)該注意到,數(shù)列的通項(xiàng)公式并不是唯一的.常用下列手段來解決這類問題: 用和來調(diào)整符號(hào);各項(xiàng)均化為分?jǐn)?shù),平方數(shù),指數(shù),對(duì)數(shù)及同類式子再找規(guī)律;借助一些特殊的數(shù)列:有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用分段的形式來表示.例2 根據(jù)下面數(shù)列的通項(xiàng)公式,寫出前項(xiàng). (1) (2) (3)解: 略例3 在數(shù)列中,通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)的一次函數(shù). (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求; (2)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解: 略例4 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式

8、為. (1)試問是否是數(shù)列中的項(xiàng)? (2)求數(shù)列的最大項(xiàng); (3)若,求.解: 略例5 已知數(shù)列 (1)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式; (2)根據(jù)判斷數(shù)列的增減性和有界性.解: (1) (2)因?yàn)?所以數(shù)列是遞增數(shù)列 又因?yàn)?所以數(shù)列是有界數(shù)列.例6 已知數(shù)列的首項(xiàng),且,寫出這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng).解: 略例7 (1)已知數(shù)列的首項(xiàng),且,試寫出這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng),并歸納出通項(xiàng)公式. (2)在數(shù)列中,(),試寫出這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng),并歸納出通項(xiàng)公式.解: 略例8 設(shè)數(shù)列是以為首項(xiàng)的正數(shù)列,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解: 略類型題1: 已知數(shù)列滿足,寫出前項(xiàng),并猜想.類型題2: 已知數(shù)列滿足,寫出前項(xiàng),并猜想.類型題3

9、: 已知數(shù)列滿足,寫出前項(xiàng),并猜想.例9 已知數(shù)列的遞推公式是,且.求: (1); (2)是這個(gè)數(shù)列中的第幾項(xiàng)? 例10 若記數(shù)列的前項(xiàng)和為,試證明.證明: 略變式題1: 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.變式題2: 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.變式題3: 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.例11 如圖中的三角形成為謝賓斯基(Sierpinski)三角形.在下圖四個(gè)三角形中,著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng),請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象.(P30 例2)解: 略例12 如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽,會(huì)徽的主體圖案是由如圖所示的一連串直角三角形演化而成,其中,記的長(zhǎng)度所在的數(shù)列

10、為()(1)寫出數(shù)列的前項(xiàng);(2)寫出數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系式;(3)求的通項(xiàng)公式;(4)如果把圖中的三角形繼續(xù)做下去,那么的長(zhǎng)度分別為多少?解: 略補(bǔ)充練習(xí):1.下列說法正確的是( C )A. 數(shù)列可以表示為B. 數(shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C. 數(shù)列的第項(xiàng)為D. 數(shù)列可記為2.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是( B ) A. B. C. D.3.已知數(shù)列中,則等于( A ) A. B. C. D. 4.已知數(shù)列的首項(xiàng)且,則等于( D ) A. B. C. D. 5.已知數(shù)列滿足,則數(shù)列是( A ) A. 遞增數(shù)列 B. 遞減數(shù)列 C. 擺動(dòng)數(shù)列 D. 常數(shù)列6.已知數(shù)列滿足,若,則等于( D ) A. B. C. D. 7.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是_.()8.數(shù)列滿足,則是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng).()9.數(shù)列的前項(xiàng)的積為,則這