1、高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材（第28講）一、本講進(jìn)度 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 9 5 空間向量及其運(yùn)算二、主要內(nèi)容1、 空間向量的概念及其運(yùn)算性質(zhì)；2、 利用空間向量的運(yùn)算性質(zhì)解決立體幾何的證明與計(jì)算問(wèn)題。三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、 空間向量的概念及運(yùn)算與平面向量一樣，在空間，具有大小和方向的量叫做向量。向量的表示法：圖形表示法。用有向線段表示；符號(hào)表示法（字母表示法）；如向量，向量。向量的特征：只與長(zhǎng)度與方向有關(guān)，與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即在空間，我們只研究自由向量。由于空間任意兩個(gè)向量之間的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的法則完全與平面向量相同，如加法與減法的三角形法則：+=，=-，在此基礎(chǔ)上可推導(dǎo)出多邊形法則

2、：+=。三角形法則是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，通過(guò)加法可以合并向量，起消元的作用。通過(guò)減法可以分解為若干基本向量，體現(xiàn)化歸的思想。向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算性質(zhì)： （1）加法交換律：+=+ （2）加法結(jié)合律：(+)+=+(+) （3）數(shù)乘分配律：（+）=+2、 共線向量與共面向量的比較共線向量（平行向量）共面向量定 義表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量符 號(hào)幾何位置平行或重合平行或在平面內(nèi)定 理() =實(shí)數(shù)唯一存在，不共線，與，共面=x+y實(shí)數(shù)x，y唯一存在向量參數(shù)表示式=+ t（a為非零方向向量）=(1-t)+ t tR=x+y=+x+y xR，yR 3、空間向量基本定

3、理：如果三個(gè)向量，不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序數(shù)組x，y，z，使=x+y+z。用集合表示為：所有空間向量組成的集合是|= x+y+z，x，y，zR，不共面其中，叫基向量，是空間一個(gè)基底，實(shí)數(shù)x，y，z唯一存在。推論：O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使：=x+y+z利用空間向量基本定理，可以將空間任一向量表示為不共面的三個(gè)向量的線性組合。從而把向量之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基底的運(yùn)算，體現(xiàn)了化歸和消元的思想。4、空間兩個(gè)向量的數(shù)量積與平面向量類似。5、用向量解幾何問(wèn)題的一般方法是；找適當(dāng)基底（通常找同一頂點(diǎn)出發(fā)的若干向量）；用基底表示基

4、向量；通過(guò)向量的計(jì)算解決幾何問(wèn)題，如長(zhǎng)度用模、夾角用數(shù)量積。四、典型例題例1、 空間四邊形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為B臺(tái)點(diǎn)，求證：（+）。解題思路分析：法一：利用多邊形法則，找出與有關(guān)向量的等量關(guān)系，再對(duì)相關(guān)向量進(jìn)行變換，達(dá)到題目要求。例如：=+，=+ 2=+ E，F(xiàn)分別為AD，BC中點(diǎn)與為相反向量，+=同理，+= 2=+，（+）法二：構(gòu)造基本三角形，利用加法定理例如：取AC中點(diǎn)G，則EGDC，F(xiàn)GAB，=+=+=（+）法三：選擇適當(dāng)基底，把問(wèn)題中的向量轉(zhuǎn)化為基底之間的關(guān)系或運(yùn)算例如：選基底，則，=（+） =-=（+-） =（+）說(shuō)明：基底的選法是不唯一的。本題選從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條有向線

5、段作為基底是選基底的最常用方法。還有一種常用選法是在空 間任取一點(diǎn)O，以從點(diǎn)O出發(fā)的三條不共面的向量為基底。例2、已知向量，中選哪一個(gè)向量，一定可以與向量=+，=-，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底？解題思路分析：由空間向量基本定理可知，空間任意不共面的三個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底 +， -與，構(gòu)成平行四邊形 +， -， ，一定共面 與不能與+，-構(gòu)成基底 與+，-可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底例3、平行六面體ABCDA1B1C1D1中，=，=，=，M，N，P，Q分別是A1D1，CC1，BC，A1D的中點(diǎn)，用基底，表示以下向量： （1） （2） （3）解題思路分析：利用多邊形法則，或構(gòu)造若干個(gè)相關(guān)的三角形 （

6、1）=+=+ =+或者： =+=+ （2）=（）-） =-） =）=- （3）（） = =+-=+說(shuō)明：用基向量的線性組合去表示相關(guān)向量，是用向量知識(shí)研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)。在尋找線性組合的過(guò)程中，主要是以向量為邊構(gòu)造三角形或多邊形（包括平行四邊形）。若M為中點(diǎn)，則（）是經(jīng)常用到的重要公式。例4、四面體ABCD中，ABCD，ACBD，求證：ADBC。解題思路分析：首先將幾何語(yǔ)言“翻譯”為向量語(yǔ)言，即已知=0，=0，求證：=0其次，選擇適當(dāng)?shù)幕?，溝通已知向量與未知向量之間的關(guān)系例如：途徑一：選基底，設(shè)=，則：=-，-，- （-）=0 -=0 （-）=0-=0 -得：-=0 （-）=0 ADBC途徑

7、二：任取空間一點(diǎn)O，其基底，設(shè)，則=-，-=-再設(shè)則-，-，- （-）（-）=0 -+=0 -+=0 -得： -+-=0 (-）-(-）=0（-）（-）=0 =0 CBAD說(shuō)明：由上述兩種選基底的方法可知，由于基底的選擇不同，向量運(yùn)算的簡(jiǎn)繁程度也有所差異，因此，應(yīng)學(xué)會(huì)選擇適當(dāng)?shù)幕住＠?、P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=AB=m，若M，N分別在PA、BD上，且（1） 求證：MN平面PBC（2） 求證：MNAD（3） 求MN與PC所成角的大小解題思路分析： （1）根據(jù)共面向量定理，只需證明可以表示為、中任兩個(gè)向量的線性組合，為此，必須選基底，再利用三角形法則，利用基底找

8、到上述向量之間的線性關(guān)系。取基底，設(shè)，=，則，-，- +-2 +(+) （+）=+ 與，共面 平面PBC MN平面PBC （2）只需證，- （+）（-）=（-）=（|-）=0 ，MNAD（4） 利用數(shù)量積公式的變形 =| cos cos=（）/（|） (+)2=(+2) =|cos=m2cos (m2+m2+m2)= |=又 （+）=（+） = cos=（）/（|）= 0， =300 MN與PC成300角說(shuō)明：由本例可以看出，用向量解決幾何問(wèn)題，重在問(wèn)題運(yùn)算，降低了對(duì)空間圖形抽象思維的要求，顯得簡(jiǎn)單，易于上手。例6、PA平面ABCD，ABCD為矩形，PA=AD，M、N分別是PC、AB中點(diǎn)，求證

9、：MN平面PCD。解題思路分析：只需證與、中任意兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0選基底，設(shè)，則=+， （+）=（+） -（+）=- PA平面ABCD PAAB，PAAD =0，=0又ABAD =0 （-）（-）=+=0 -（+）（-）=-(-)=-(|-)=0 MNCD，MNPD又MCDPD=D MN平面PCD說(shuō)明：通過(guò)上述兩例可以知道，三角形法則或多邊形法則是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，因?yàn)橛没渍_表示出相關(guān)向量是解決問(wèn)題的關(guān)鍵一步。同步練習(xí) （一）選擇題1、 對(duì)空間任意兩個(gè)向量，（），的充要條件是A、= B、= C、= D、=-2、 下列命題正確的是A、 如果向量，與任何向量不能構(gòu)成空間的基底，那么，不共線

10、B、如果，是三個(gè)基向量，那么+，+，+，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 C、若，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么O，A，B，C四點(diǎn)共面D、空間中的基底只有有限個(gè)3、在空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則(+)等于A、 B、 C、 D、4、已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都是a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，那么下列運(yùn)算結(jié)果為正值的是A、 B、 C、 D、（二） 填空題 5、如果兩個(gè)向量，不共線，則與，共面的充要條件是_。 6、平行六面體ABCDA1B1C1D1中，+=_ 。7、在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=900，BAA

11、1=DAA1=600，則A1C等于_。8、已知G為ABC的重心，O為空間任意一點(diǎn)，則用，表示為_。9、正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是上底面A1B1C1D1和側(cè)面CDD1C1的中心，如果+x+y，則x=_，y=_。10、空間四邊形OABC，點(diǎn)M，N分別是OA，OB的中點(diǎn)，設(shè)=，則用，表示的結(jié)果是_。（三） 解答題11、平行六面體ABCDA1B1C1D1中，P，M，N分別是CA1，CD1，C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA1上，CQQA1=41，試用基底，表示以下向量：，。12、已知空間四邊形OABC，OA=OB，CA=CB，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，CB，CA的中點(diǎn)，求證：EFGH

12、是矩形。13、空間四邊形OABC的各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都是1，D，E分別是OA，BC的中點(diǎn)（1） 求證：DE是OA，BC的公垂線；（2） 求OA與BC間的距離。14、四面體ABCD中，AB=CD，BC=AD，P、Q分別為AC、BD的中點(diǎn)，求證：PQAC，PQBD。15、O、G分別為四面體ABCD的外接球球心和重心，求證：OG2=R2-(AB2+AC2+AD2+BC2+CD2+BD2)，其中R為外接球半徑。參考答案 （一）選擇題1、B 2、C 3、C 4、D （二）填空題5、=m+n，m、nR6、7、8、=(+)9、，10、(+-) （三）解答題11、=(+)=(+)=(+) ()=(2+)=+ ()=(+)+(+)=+ ()=+12、取基底，設(shè)， 則=(-) =()=(-)-(-)=(-) ，EFGH為平行四邊形取AB中點(diǎn)M，連OM，CM則OMAB，CMAB =0，=0 （+）=0 =0 (-)=0 (-)=0 ，EFEH EFGH為矩形13、（1）(+) BDAO DCOA ()(+) DEOA同理，DEBC DE是OA與BC的公垂線 （2） =(+-) (+-) =+2-2= |= OA與BC間的距離為14、設(shè)=，=， AB=CD(