1、第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)自主學(xué)習(xí)1一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形2在RtABC中，C90，則有：(1)AB90，0A90，0B90；(2)a2b2c2(勾股定理)；(3)sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B；(4)c，c，c.3正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即，這個(gè)比值是三角形外接圓的直徑2R.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C及對(duì)應(yīng)的三邊a、b、c，試用向量法證明正弦定理證明(1)若ABC為直角三角形，不妨設(shè)C

2、為直角如圖所示，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，sin A，sin B，所以c2R(2R為外接圓直徑)C90，sin C1，c2R.2R.（2）若ABC為銳角三角形，過A點(diǎn)作單位向量i，則有：ii()ii，ii0，ii，即ccos(90A)acos(90C)，csin Aasin C，.同理可證：；.(3)若ABC為鈍角三角形，可仿(2)證明綜上，.對(duì)點(diǎn)講練已知兩角和一邊解三角形例1在ABC中，a5，B45，C105，解三角形分析要注意在ABC中隱含條件ABC180的運(yùn)用解由三角形內(nèi)角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ba55；ca555()總結(jié)已知一個(gè)三角

3、形的三邊和三內(nèi)角這六個(gè)量中的三個(gè)量，其中至少有一個(gè)是邊，可以求解其余的三個(gè)量變式訓(xùn)練1在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形解，b4.C180(AB)180(3045)105，c22.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形例2在ABC中，a2，b6，A30，解三角形分析已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，先判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形解a2，b6，ab，A30bsin A，所以本題有兩解，由正弦定理得：sin B，故B60或120.當(dāng)B60時(shí)，C90，c4；當(dāng)B120時(shí)，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.總結(jié)已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，

4、首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時(shí)，需對(duì)角的情況加以討論變式訓(xùn)練2在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知A60，a，b1，則c等于()A1 B2 C.1 D.答案B解析由正弦定理，可得，sin B，故B30或150.由ab，得AB，B30，故C90，由勾股定理得c2.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，判斷三角形解的個(gè)數(shù)例3不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)(1)a5，b4，A120；(2)a9，b10，A60；(3)c50，b72，C135.解(1)sin Bsin 120，所以三角形有一解(2)sin Bsin 60，而1，所以當(dāng)B為銳角時(shí)，滿足sin B的角有60B9

5、0，故對(duì)應(yīng)的鈍角B有90B120，也滿足ABsin C，所以B45，所以BC180，故三角形無解總結(jié)已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，此類問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，具體判斷方法是：可用三角形中大邊對(duì)大角定理，也可作圖判斷變式訓(xùn)練3不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)(1)a7，b14，A30；(2)a30，b25，A150；(3)a7，b9，A45.解(1)A30，absin A，故三角形有一解(2)A15090，a30b25，故三角形有一解(3)A45，bsin 45ab，故三角形有兩解1利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角(2)已知兩邊

6、和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和兩角2已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其它兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的情況比較復(fù)雜，可能無解，可能一解或兩解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B時(shí)的各種情況.A為銳角absin Aabsin Absin Aab無解一解(銳角)課時(shí)作業(yè)一、選擇題1在ABC中，下列等式中總能成立的是()Aasin Absin B Bbsin Ccsin A Cabsin Cbcsin B Dasin Ccsin A答案D解析由余弦定理知D正確2在ABC中，已知a18，b16，A150，則這個(gè)三角形解的情況是()A有兩個(gè)解 B有一個(gè)解 C無解 D不能確定答案B解析因?yàn)閍b，A為鈍角，所有只

7、有一個(gè)解3在ABC中，已知a8，B60，C75，則b等于()A4 B4 C4 D.答案C解析方法一根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，A180(BC)45.根據(jù)正弦定理，b4.方法二如圖，過點(diǎn)C作CDAB，由條件可知A45，而由CDasin 60bsin 45，得b4.4在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，如果ca，B30，那么角C等于()A120 B105 C90 D75答案A解析ca，sin Csin Asin(18030C)sin(30C)，即sin Ccos C.tan C.又C(0，)，C120.5在ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是()Ab10，A45，C70 Ba30

8、，b25，A150Ca7，b8，A98 Da14，b16，A45答案D解析對(duì)于A，由三角形的正弦定理知其只有一解；對(duì)于B，ab，即AB，且A150，只有一解；對(duì)于C，ab，即AB，且A98，無解二、填空題6在ABC中，AC，BC2，B60，則C_.答案75解析由正弦定理，sin A.BC2AC，A為銳角，A45.C75.7在ABC中，已知a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若b2a，BA60，則A_.答案30解析b2asin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A，即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化簡(jiǎn)得sin Acos A，tan A，A30.8在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有兩解，則x的取值范圍是_答案2x2解析因三角形有兩解，所以asin Bba，即x2x，2x2.三、解答題9在ABC中，若a2，A30，討論當(dāng)b為何值時(shí)(或在什么范圍內(nèi))，三角形有一解，有兩解或無解？解當(dāng)a2a，b4時(shí)，無解；當(dāng)ab或a