1、3柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1.了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間中點的位置的方法.(重點)2.理解柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的互化關(guān)系與公式.(重點)3.體會空間直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)刻畫點的位置的方法的區(qū)別.(易錯易混點)基礎(chǔ)初探教材整理1柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1.柱坐標(biāo)系如圖131，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)M(x，y，z)為空間一點，并設(shè)點M在xOy平面上的投影點P的極坐標(biāo)為(r，)，則這樣的三個數(shù)r，z構(gòu)成的有序數(shù)組(r，z)就叫作點M的柱坐標(biāo)，這里規(guī)定r，z的變化范圍為0r，02，z.圖131特別地，r常數(shù)，表示的是以z軸為軸的圓柱面；常數(shù)，表示的是過z軸的半平面；z常數(shù)，表示的是與x

2、Oy平面平行的平面.2.球坐標(biāo)系設(shè)M(x，y，z)為空間一點，點M可用這樣三個有次序的數(shù)r，來確定，其中r為原點O到點M間的距離，為有向線段與z軸正方向所夾的角，為從z軸正半軸看，x軸正半軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到有向線段的角，這里P為點M在xOy平面上的投影(如圖132).這樣的三個數(shù)r，構(gòu)成的有序數(shù)組(r，)叫作點M的球坐標(biāo)，這里r，的變化范圍為0r，0，02.圖132特別地，r常數(shù)，表示的是以原點為球心的球面；常數(shù)，表示的是以原點為頂點，z軸為軸的圓錐面；常數(shù)，表示的是過z軸的半平面.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)都是有序數(shù)組，但意義不同.()(2)在柱坐標(biāo)系M(r，z

3、)中，表示OM與y軸所成的角.()(3)球坐標(biāo)中，r表示OM的長度.()【解析】(1)柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)都是有序數(shù)組，但意義不同.(2)表示OM與x軸所成的角.(3)球坐標(biāo)中r表示OM的長度.【答案】(1)(2)(3)教材整理2空間中點的坐標(biāo)之間的變換公式設(shè)空間一點M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，柱坐標(biāo)為(r，z)，球坐標(biāo)為(r，)，則空間直角坐標(biāo)柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系(x，y，z)填空：(1)柱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)是_.(2)球坐標(biāo)的直角坐標(biāo)是_.【解析】(1)x2cos 1，y2sin ，z1.所以的直角坐標(biāo)是(1，1).(2)x4sin cos ，y4sin sin ，z4cos 2.的直角坐標(biāo)是(，2)

4、.【答案】(1)(1, ，1)(2)(， ，2)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型把點的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)根據(jù)下列點的柱坐標(biāo)，分別求直角坐標(biāo).(1)；(2).【精彩點撥】【自主解答】設(shè)點的直角坐標(biāo)為(x，y，z).(1)(r，z)，(，1,3)為所求.(2)(r，z)，(1,1,5)為所求.點(r，z)是三維空間坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)，在平面xOy內(nèi)實際為極坐標(biāo)系，且r0,02，在豎直方向上，z為任意實數(shù).化點的柱坐標(biāo)(r，z)為直角坐標(biāo)(x，y，z)，需要運用公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求值與運算即得.再練一題

5、1.將下列各點的柱坐標(biāo)分別化為直角坐標(biāo).(1)；(2)(1，0).【解】設(shè)點的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，(1)(r，z)，(，1,1)為所求.(2)(r，z)(1，0)，(1,0,0)為所求.把點的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)把下列各點的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).(1)；(2).【精彩點撥】【自主解答】設(shè)點的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，(1)(r，)，(1，1，)為所求.(2)(r，)，為所求.首先要明確點的球坐標(biāo)(r，)中角，的邊與數(shù)軸Oz，Ox的關(guān)系，注意各自的限定范圍，即0，02.化點的球坐標(biāo)(r，)為直角坐標(biāo)(x，y，z)，需要運用公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求值與運算.再練一題2.將下列各點的球坐標(biāo)分別化為直

6、角坐標(biāo).(1)；(2)(3，).【解】設(shè)點的直角坐標(biāo)為(x，y，z).(1)(r，)，為所求.(2)(r，)(3，)，(0,0，3)為所求.探究共研型化點的坐標(biāo)為柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)探究1空間中點的坐標(biāo)有三種形式：直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)，它們各有何特點？【提示】設(shè)空間中點M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，柱坐標(biāo)為(r，z)，球坐標(biāo)為(r，)，它們都是有序數(shù)組，但意義不同.直角坐標(biāo)為三個實數(shù)；柱坐標(biāo)分別表示距離、角、實數(shù)；球坐標(biāo)分別表示距離、角、角.探究2在空間的柱坐標(biāo)系中，方程rr0(r0為不等于0的常數(shù))，0，zz0分別表示什么圖形？ 【提示】在空間的柱坐標(biāo)系中，方程rr0表示中心軸為z軸，底半徑為

7、r0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動而成的.方程0表示與zOx坐標(biāo)面成0角的半平面.方程zz0表示平行于xOy坐標(biāo)面的平面，如圖所示.常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，如圖133，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，以Ax為極軸，求點C1的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)以及球坐標(biāo).圖133【精彩點撥】先求C1的直角坐標(biāo)，再根據(jù)柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，求得其柱坐標(biāo)、球坐標(biāo).【自主解答】點C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1).設(shè)點C1的柱坐標(biāo)為(r，z)，球坐標(biāo)為(r，)，其中r0，r0,0，02.由公式及得及得及結(jié)合圖形，得，由cos 得tan .所以點C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，柱坐標(biāo)為，球坐標(biāo)為，其中tan ，0.化點M的直角坐標(biāo)(x，y，z)為柱坐標(biāo)(r，z)或球坐標(biāo)(r，)，需要對公式以及進(jìn)行逆向變換，得到以及提醒：在由三角函數(shù)值求角時，要結(jié)合圖形確定角的范圍再求值.再練一題3.已知點M的柱坐標(biāo)為，求M關(guān)于原點O對稱的點的柱坐標(biāo).【解】M的直角坐標(biāo)為M關(guān)于原點O的對稱點的直角坐標(biāo)為(1，1，1).(1，1，1)的柱坐標(biāo)為：2(1)2(1)22，.tan 1，又x0，y0，y0，柱坐標(biāo)為.【答案】5.已知點P的柱坐標(biāo)為，點B的球坐標(biāo)為，求這兩個點的直角坐標(biāo).【解】設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(x，y