1、.閘北區(qū) 2015 學年度第二學期高三數(shù)學（理科）期中練習卷一、填空題（ 60 分）本大題共有10 題，要求在答題紙相應題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得6 分，否則一律得零分1設函數(shù) f ( x)axax (a0且 a1），且 f(1)3 ，則 f (0)f (1)f (2) 的值是2已知集合 A x | x2 |a ， B x | x22x30 ，若 BA ，則實數(shù) a 的取值范圍是3如果復數(shù) z 滿足 | z |1且 z2abi ，其中 a,bR ，則 ab 的最大值是uuuruuuruuur4在直角坐標系xoy 中，已知三點 A(a,1), B(2, b), C (3,4) ，若

2、向量 OA ，OB 在向量 OC 方向上的投影相同，則3a4b 的值是5某科技創(chuàng)新大賽設有一、 二、三等獎 ( 參與活動的都有獎) 且相應獎項獲獎的概率是以a 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列，相應的獎金分別是以7000 元、 5600元、 4200 元，則參加此次大賽獲得獎金的期望是元6 已知 F1 、 F2 是橢圓 C :x2y21(a b 0)的兩個焦點，P 為橢圓上一點，且a2b2uuuruuuurPF1F2 的面積為9 ，則 bPFPF ，若127 ABC 中， a,b, c 分別是A,B, C 的對邊且 acc2b2a2 ，若 ABC 最大邊長是7 且 sin C 2sin A ，則

3、ABC 最小邊的邊長為8在極坐標系中，曲線sin2 與sin2 的公共點到極點的距離為_9如右圖， A 、 B 是直線 l 上的兩點，且AB2 ，兩C個半徑相等的動圓分別與l 相切于 A 、B 兩點， C 是這兩個圓的公共點，則圓弧AC ，圓弧 CB 與線段ABlAB 圍成圖形面積S 的取值范圍是10設函數(shù) f (x)x21 ，對任意 x3,， fx4m2 f (x)f ( x1) 4 f ( m) 恒2m成立，則實數(shù) m 的取值范圍是二、 選擇題（ 15 分）本大題共有3 題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得5 分，否則一律

4、得零分.r rrr, 5 ) 的11已知 a 與 b 均為單位向量， 其夾角為，則命題 P : | ab | 1 是命題 Q :26().A 充分非必要條件B 必要非充分條件C 充分且必要條件D 非充分且非必要條件12已知 S, A, B,C 是球 O 表面上的點，SA平面 ABC ， ABBC ， SAAB1BC2 ，則球 O 的表面積等于（）A 4B 3C 2D 13已知數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ，對任意正整數(shù) n ， an 13Sn ，則下列關于 an 的論斷中正確的是（）A 一定是等差數(shù)列B 一定是等比數(shù)列C 可能是等差數(shù)列，但不會是等比數(shù)列D 可能是等比數(shù)列，但不會是等差數(shù)

5、列三、解答題（本題滿分75 分）本大題共有 5 題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應的題號）內(nèi)寫出必要的步驟14（本題滿分 12 分，第（ 1）小題 5 分，第（ 2）小題7 分）在長方體 ABCDA1B1C1D1 中， AB2 ， AD1 ， AA11 ，點 E 在棱 AB 上移動 .（1）探求 AE 等于何值時，直線D1E 與1CD平面 AA1 D1 D 成 45o 角；A1B1（2）點 E 移動為棱 AB 中點時，求點E 到DC平面 A1 DC1 的距離AE.B15、（本題滿分 14 分，第（ 1）小題 6 分，第（ 2）小題8 分）某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量P 萬件（生產(chǎn)量與

6、銷售量相等）與促銷費用x 萬元滿足 Px 2(其中 0x a ， a 為正常數(shù) )已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品還需投入成本6( P1 ) 萬420 ) 元件P元( 不含促銷費用 )，產(chǎn)品的銷售價格定為(4P（ 1）將該產(chǎn)品的利潤 y 萬元表示為促銷費用 x 萬元的函數(shù)；（ 2）當促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？16（本題滿分15 分，第（ 1）小題 7 分，第（ 2）小題 8 分）已知函數(shù)f ( x)sin(x) (0,0) 的周期為，圖象的一個對稱中心為,0. 將函數(shù)f ( x) 圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2 倍 ( 縱坐標不變 ) ，再將所得到4.的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g

7、( x) 的圖象2（1）求函數(shù) f ( x) 與 g( x) 的解析式；（2）求證：存在x0 (, )，使得f (x0 )，g(x0 )，f ( x0 )g(x0 )能按照某種順序 成等差64數(shù)列17（本題滿分16 分，第（ 1）小題 8 分，第（ 2）小題 8 分）若動點 M 到定點 A(0,1) 與定直線 l : y3 的距離之和為4 （1）求點 M 的軌跡方程，并在答題卡所示位置畫出方程的曲線草圖；（2）記（ 1）得到的軌跡為曲線C ，問曲線 C 上關于點 B(0, t)(tR) 對稱的不同點有幾對？請說明理由18（本題滿分18 分，第（ 1）小題 4 分，第（ 2）小題 6 分，第（

8、2）小題 8 分）已知數(shù)列 an ， Sn 為其前 n 項的和，滿足 Snn( n 1)（1）求數(shù)列 an 的通項公式；2（2）設數(shù)列 1 的前 n 項和為 Tn ，數(shù)列 Tn 的前 n 項和為 Rn ，求證：當 n2, n N * 時anRn 1n(Tn1) ；（ 3 ）已知當nN * ，且 n6 時有 (1m)n( 1) m ，其中 m1,2,L , n ，求滿足n323n4nL( n 2)n(an 3)an 的所有n 的值高三數(shù)學（理科）期中練習卷參考答案一、填空題1、 122、 a33、24、 25、 5000.6、37、18、139、(0,210、m3或 m3222填空題詳解：1、解

9、： f (2)a2a 2(aa 1 )22f 2 (1) 37 ，原式237122、解： A x | 2a x2a ，B x |1x3 ，A2a1a3Q B2a33、解：由 | z |1 可知 | z2| 1，a2b21(ab)22(a2b2 )2a b2取等 ab22uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurOA OBOB OC4、解： ：向量 OA ， OB 在向量 OC 方向上的投影分別為uuur，uuur，由uuuruuuruuuruuur|OC | OC |3a4uuur64b3a4b 2條件 OA OBOB OC ，即，uuuruuurAB OC ， 即 ： 向 量

10、OA ， OB 在 向 量 OC 方 向 上 的 投 影 相 同 ，uuuruuur0 3(2a)4(b1)0 ，即 3a4b2AB OC5、解：設獲得的獎金為元，則= 7000,5600,4200P(7000)a ， P(5600)2a ， P(4200)4a，Q 7a1a17124E7000560042005000777uuuruuuurPF1F2 的面積為 9 ，1uuuruuuuruuuruuuur186、解： PF1PF2 ，2| PF1 | | PF2 |9, | PF1 | | PF2 |uuuruuuuruuuruuuruuuuruuuur2a222由橢圓定義， | PF1 |

11、 PF2 | PF1 |2| PF1 | PF2 | PF2 |4auuuruuuuruuuruuuur(2c)2代 入 上 式 得 ， (2c)2uuuruuuur(2a) 2Q PF1PF2 ,| PF1 |2| PF2 |22| PF1| PF2 |，(2a)2(2c)2uuuruuuurb21 uuuruuuur9，b32| PF1 | PF2 | ，| PF1 | PF2 |27、解： Q acc2b2a2cos B1，B2，最大邊為 b又 Q sin C2sin A ， c2a ，2a3最小邊為由余弦定理 (7) 2a24a22a 2a(1 ) 解得 a128、解：聯(lián)立方程組得(2

12、)213 ，又0 ，故所求為 1 39、解：兩圓半徑 r時，點 C 趨向直線 AB ，此時S0兩圓外切時， r 1，S扇形=412 ，S=2-2=2-2，S （0, 2-4210、解：依據(jù)題意得x21 4m2 ( x21)( x1)21 4( m21) 在 x 3 ,) 上恒定成m22立，即 14m2321在 x 3 ,) 上恒成立。m2x2x2.當 x3 時 函 數(shù) y3 21 取 得 最 小 值5 ， 所 以 14m25 ， 即2x2x3m23(3m21)(4m23)0 ，解得 m3或 m322二、選擇題：11、 B12、A13、 C選擇題詳解：rrrr(,) 若, 5 )111、解：由向

13、量幾何意義知| ab | 1| ab |32612、解： .由已知，球 O 的直徑為2RSC 2，表面積為 4R2413 、解： n2 時有an13Sn，則 an 1 an3(SnSn 1 ) ，于是 an 1an3an ，即an3Sn 1an 14an又 a23S1 ，即 a23a1 ，數(shù)列 an 一定不是等比數(shù)列。若 a10 ，則對任意正整數(shù)n ，有 an 0 ，它不是等比數(shù)列但它是等差數(shù)列三、解答題14、（本題滿分 12分，第（ 1）小題 5 分，第（ 2）小題7 分）解：（ 1）法一：長方體ABCDA1 B1C1D1 中，因為點 E 在棱 AB 上移動，所以 EA平面 AA1 D1 D

14、 ，從而ED1 A 為直線 D1E 與平面 AA1D1D 所成的平面角，RtED1 A中，ED1 A45oAE AD2 .1法二：以 D 為坐標原點， 射線 DA, DC , DD1 依次為 x, y, z 軸軸，建立空間直角坐標系，uuur， 設 E(1,y,0)則 點 D1(0,0,1) ， 平 面 AA1 D1D 的 法 向 量 為 DC(0, 2,0)， 得uuuuruuuur uuurD1E DCD1 E (1, y, 1)，由sin ，得 y2，故 AE2uuuur uuurD1E DC4（ 2）以 D 為坐標原點，射線DA, DC, DD1 依次為 x, y, z 軸，建立空間直

15、角坐標系，則點E(1,1,0) ， A1 (1,0,1) ，C1(0, 2,1) ，uuuuruuuuruuur從而 DA1(1,0,1) ， DC1(0,2,1) ， DE(1,1,0)rr uuuurxz0( x, y, z) ，由n DA10設平面 DA1C1 的法向量為 nr uuuur2 yz0n DC10.r uuurr1，所以點 E 到平面 A1DC1 的距離為 dn DE1.令 n ( 1,1)r2n15、（本題滿分 14分，第（ 1）小題 6 分，第（ 2）小題 8 分）解：（ 1）由題意知，y (420) px6( p1 )pp將 Px 2代入化簡得：y19243 x（ 0

16、 xa ） .4x 22（2） y 223 (16x2)22316(x2)10 ，2x2x2上式當且僅當162,即 x2時，取等號。xx 2當 a 2 時 , 促銷費用投入 2 萬元時，廠家的利潤最大 ;當 a2 時 ,易證y 在 x0,a 上單調(diào)遞增 , 所以 x a 時 ,函數(shù)有最大值。綜上：當 a2 時,促銷費用投入2 萬元，廠家的利潤最大 ;當 0a 2時促銷費用投入a 萬元，廠家的利潤最大。16、（本題滿分15 分，第（ 1）小題 7 分，第（ 2）小題 8 分）解： (1) 、由函數(shù) f ( x) sin(x) 的周期為，0 ，得22T又曲線 yf ( x) 的一個對稱中心為,0，

17、(0, ) ，4故 fsin 20 ，得cos2 x2，所以 f ( x)44將函數(shù) f (x) 圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍 ( 縱坐標不變 ) 后可得 ycosx 的圖象，再將ycosx 的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)=cos x 的圖象，所以 g( x)sin x22(2) 、當 x, 時， 1sin x2， 0cos2 x1，64222所以 sin xcos2x sin x cos2x問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2 xsin x sin x cos2x 在 ,內(nèi)是否有解64設 G (x)sin x sin x cos 2x2cos 2x ， x 6,4.Q G ()1)2

18、0 ，0 ， G(2644且函數(shù) G( x) 的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G( x) 在 內(nèi)存在零點 x0 ，6,4注：事實上可以證明這樣的零點是唯一的任取 x1 , x2( ,) ，不妨 x1x264G ( x1) G ( x2 )(sin x1sin x2 )(sin x12)cos 2x1(sin x22)cos 2x2Qx1x2，32x12x22cos2x1cos2x2 064又Q sin x12sin x220，(sin x1 2)(sin x22)0由不等式的性質(zhì)得(sin x12)cos 2 x1 (sin x22)cos 2x2 ， 又顯然 sin x1 sin x2G (x1)

19、G (x2 )G ( x) 在, 內(nèi)單調(diào)遞增，可知函數(shù) G (x) 在 , 內(nèi)存在唯一零點646417、（本題滿分 16 分，第（ 1）小題 8 分，第（ 2）小題8 分）解： (1)、設 M ( x, y) ，由題意x2( y1)2| y3|4 ：當 y3 時，有x2( y1)2y1 ，化簡得： x24y ：當 y3 時，有x2( y1)27y ，化簡得： x212( y4) （二次函數(shù)）綜 上 所 述 ： 點M的 軌 跡 方 程 為x24 y, y3（如圖）12( y 4), y 3(2) 、當 t 0 或 t 4 顯然不存在符合題意的對稱點當 0 t4 時，注意到曲線C 關于 y 軸對稱

20、，至少存在一對（關于y 軸對稱的）對稱點下面研究曲線 C 上關于 B(0, t) 對稱但不關于 y 軸對稱的對稱點設 P(x0 , y0 ) 是軌跡 x24 y ( y3)上任意一點，則 x024 y0 ( y03)，它關于 B(0, t)的 對 稱 點 為 Q(x0 , 2ty0 ) ， 由 于 點 Q在 軌 跡x212( y4) 上 ， 所 以( x0 )212(2 ty04)， 聯(lián) 立方 程 組x02x024 y0（ * ） 得12(2t y04)4 y012(2 t y04) ，化簡得 ty06 (0 y03)3. 當 y0(0,3)時， t(2,3) ，此時方程組 (*) 有兩解，

21、即增加有兩組對稱點。 當 y00 時， t2 ，此時方程組 (*) 只有一組解，即增加一組對稱點。（注：對稱點為P(0,0) ， Q(0,4) ） 當 y03 時 ， t3 ， 此 時 方 程 組 (*)有 兩 解 為P(23,3), Q(23,3) ，沒有增加新的對稱點。t0,t4,不存在t(0,2), L對1綜上所述：，對t2 L L2t（，對2,3) L3t）， 對3,4L 118、（本題滿分18 分，第（ 1）小題 4 分，第（ 2）小題 6 分，第（ 2）小題 8 分）解：當 n 2 時， anSnSnn( n 1)(n1)nn122又 Q a1S1 1，所以 ann(2) 、 Q 11，Tn 11L1，ann2nRn