1、反比例函數(shù)專題【知識要點】1. 定義：一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。還可以寫成或xy=k.2. 反比例函數(shù)的圖像畫法步驟： 列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)） 描點（有小到大的順序） 連線（從左到右平滑的曲線）反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的圖像既是軸對稱圖形（對稱軸是或），又是中心對稱圖形（對稱中心是坐標(biāo)原點）。 比例系數(shù)的幾何意義是：過雙曲線 （）上任意一點引軸軸的垂線，所得矩形面積為。4反比例函數(shù)性質(zhì)如下表：的取值圖像所在象

2、限函數(shù)的增減性一、三象限在每個象限內(nèi)，值隨的增大而減小二、四象限在每個象限內(nèi)，值隨的增大而增大5. 反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對對應(yīng)值或圖像上一個點的坐標(biāo)即可求出）6“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”：成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù),但是反比例函數(shù)中的兩個變量必成反比例關(guān)系?！镜淅觥坷? 在反比例函數(shù)的圖像上有三點， 。若則、和的大小關(guān)系是例2 如圖，直線分別交x軸、y軸于點A，C，點P是直線AC與雙曲線的交點，軸，垂足為點B，OB=m，的面積為4+ m2，求點P的坐標(biāo)；例3 如圖，函數(shù)在第一象限的圖象上有一點C(1，5)，過點C的直線ykxb(k0)與x軸交于點A(a

3、，0)(1)寫出a關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)該直線與雙曲線在第一象限的另一交點D的橫坐標(biāo)是9時，求COA的面積 例4 已知是正比例函數(shù)，是反比例函數(shù)，并且當(dāng)自變量取1時，；當(dāng)自變量取2時，9，求和的解析式。例5. 如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點M（2，），且P（，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標(biāo)平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B （1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得OBQ與OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由； （3）如圖2，當(dāng)點Q在第一象限中的雙曲

4、線上運動時，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值例6. 如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點，求的值和這個一次函數(shù)的解析式；（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于C、D，求過A、B、D三點的二次函數(shù)的解析式；（4）在第（3）問的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點E，使四邊形OECD的面積與四邊形OABD的面積S滿足：？若存在，求點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由yxOCDBA336例7. 一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點

5、過點分別作軸，軸，垂足分別為；過點分別作軸，軸，垂足分別為與交于點，連接（1）若點在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：；（2）若點分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，如圖2，則與還相等嗎？試證明你的結(jié)論OCFMDENKyx （圖1）OCDKFENyxM （圖2）例8 某學(xué)校對教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例(如圖所示)，現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請根據(jù)題圖中所提供的信息解答下列問題：(1)藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_，自變量x的取值范圍是_；

6、藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(2)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量小于1.6毫克時學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過_分鐘后，學(xué)生才能回到教室；(3)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？ 【考題訓(xùn)練】一.填空題：1. 若，點M（，）在反比例函數(shù)的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為2.點A(2，1)在反比例函數(shù)的圖像上，當(dāng)1x4時，y的取值范圍是 .xyOAB3. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點是軸正半軸上的一個定點，點是雙曲線（）上的一個動點，當(dāng)點的橫坐標(biāo)逐漸增大時，的面積將會 4. 如圖，A

7、和B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于 . OBCA5. 如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的任意兩點，BC軸，AC軸，ABC的面積記為，則S= 6. 如圖，直線y=mx與雙曲線y=交于A、B兩點，過點A作AMx軸，垂足為M，連結(jié)BM,若=2，則k的值是 7. 如圖，點、是雙曲線上的點，分別經(jīng)過、兩點向軸、軸作垂線段，若則 xyABO8. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)yxOABPCD交于兩點，O為坐標(biāo)原點，則的面積為 9.如圖，雙曲線經(jīng)過矩形QABC的邊BC的中點E，交AB于點D。若梯形ODBC的面積為3，則雙曲線的解析式為

8、10. 如圖，點A在雙曲線上，且OA4，過A作AC軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于B，則ABC的周長為11. 如圖，函數(shù)與的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直于OACBxy軸，垂足為C，則的面積為 12.如圖，已知雙曲線經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB的中點D，與直角邊AB相交于點C若OBC的面積為3，則k_ 13. 已知，點是反比例函數(shù)圖像上的一個動點，的半徑為1，當(dāng)與坐標(biāo)軸相交時，點的橫坐標(biāo)的取值范圍是1221Oyx 已知, A、B、C、D、E是反比例函數(shù)（x0）圖象上五個整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分別以這些點向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條

9、弧，組成如圖5所示的五個橄欖形（陰影部分），則這五個橄欖形的面積總和是 . 如圖，在軸的正半軸上依次截取，過點分別作軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，得直角三角形并設(shè)其面積分別為則的值為 yxOP1P2P3P4P5A1A2A3A4A5 如圖，過原點的直線l與反比例函數(shù)的圖象交于M，N兩點，根據(jù)圖象猜想線段MN的長的最小值是_OyxMNl 如圖，若正方形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在函數(shù) （）的圖象上，則點E的坐標(biāo)是（ ， ）. 如圖，已知點A、B在雙曲線（x0）上， ACx軸于點C，BDy軸于點D，AC與BD交于點P，P是AC的中點，若ABP的面積為3，則k yxOABPCD

10、下圖中正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點，分別以兩點為圓心，畫與軸相切的兩個圓，若點的坐標(biāo)為（2，1），則圖中兩個陰影部分面積的和是 AxyOB 如圖，直線與雙曲線（）交于點將直線向右平移個單位后，與雙曲線（）交于點，與軸交于點，若，則 OxyABC如圖，正方形OABC的面積是4，點B在反比例函數(shù)的圖象上若點R是該反比例函數(shù)圖象上異于點B的任意一點，過點R分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，從矩形OMRN的面積中減去其與正方形OABC重合部分的面積，記剩余部分的面積為S則當(dāng)S=m(m為常數(shù)，且0m4)時，點R的坐標(biāo)是_(用含m的代數(shù)式表示) 如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第

11、一象限相交于點，與軸相交于點軸于點，的面積為1，則yOxACB的長為 .2、直線y=ax(a0)與雙曲線y=交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則4x1y23x2y1=_ 如果一次函數(shù)相交于點（），那么該直線與雙曲線的另一個交點為10如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y6x與函數(shù)(x0)的圖象交于A，B，設(shè)A(x1，y1)，那么長為x1，寬為y1的矩形的面積和周長分別是_15已知A、B兩點是反比例函數(shù)的圖象上任意兩點，如圖，過A、B兩點分別作y軸的垂線，垂足為C、D，連結(jié)AB、AO、BO，求梯形ABDC的面積與ABO的面積比 16如圖，直線y2x2與雙曲線在第二象限內(nèi)的交點為A，與兩坐標(biāo)軸分別

12、交于B、C兩點，ADx軸于點D，如果ADB與COB全等，求k的值 17如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與反比例函數(shù)的圖象交于C、D兩點，如果A點的坐標(biāo)為(2，0)，C、D兩點分別在第一、三象限，且OAOBACBD，試求該一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式 2. 如圖所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函數(shù)y=（x0）的圖象上，OP1A1，P2A1A2，P3A2A3PnAn1An都是等腰直角三角形，斜邊OA1，A1A2An-1An，都在x軸上，則y1+y2+yn= 。3. 如圖，已知函數(shù)的圖象與軸、y軸分別交于點C、B，與雙曲線交于點A、D, 若AB+

13、CD= BC，則k的值為 7. 如圖，A、B兩點在函數(shù)的圖象上.（1）求的值及直線AB的解析式；（2）如果一個點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么我們稱這個點是格點.請直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的個數(shù)。8. 如圖，點P是雙曲線上一動點，過點P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點，交雙曲線y= （0k2|k1|）于E、F兩點（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S1= (用含k1、k2的式子表示)；（2）圖2中，設(shè)P點坐標(biāo)為（4，3）判斷EF與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；記，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒有，請說明理由 10. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，OBADOC，

14、邊OA、OC都在x軸的正半軸上，點B的坐標(biāo)為（6，8），BAOOCD90，OD5反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D，交AB邊于點E（1）、求k的值（2）、求BE的長11. 已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中過點M作直線軸，交軸于點B；過點A作直線軸交軸于點C，交直線MB于點D當(dāng)四邊形OADM的面積為6時，請判斷線段BM與DM的大小關(guān)系，并說明理由yxOoADMCB13. 已知平行于x軸的直線與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別交于點A和

15、點B，又有定點P（2，0）。（1）若，且tanPOB=，求線段AB的長；（2）在過A，B兩點且頂點在直線上的拋物線中，已知線段AB=，且在它的對稱軸左邊時，y隨著x的增大而增大，試求出滿足條件的拋物線的解析式；（3）已知經(jīng)過A，B，P三點的拋物線，平移后能得到的圖象，求點P到直線AB的距離。14. 如圖，曲線C是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，拋物線是函數(shù)的圖象點（）在曲線C上，且都是整數(shù)（1）求出所有的點；（2）在中任取兩點作直線，求所有不同直線的條數(shù)；（3）從（2）的所有直線中任取一條直線，求所取直線與拋物線有公共點的概率642246yxO15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與Y軸和X軸分別

16、交于點A、點8，與反比例函數(shù)y一罟在第一象限的圖象交于點c(1，6)、點D(3，x)過點C作CE上y軸于E，過點D作DF上X軸于F(1)求m，n的值；(2)求直線AB的函數(shù)解析式；(3)求證：AECDFB17. 已知點A、B分別是軸、軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖像上的點，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形。例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)圖像的其中一個伴侶正方形。（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)，求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長；（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，他的圖像的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m 2）在反比例函數(shù)圖像上，求

17、m的值及反比例函數(shù)解析式；（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)，它的圖像的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標(biāo)為（3，4）.寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標(biāo) ，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式 ，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 。(本小題只需直接寫出答案). 21. 如圖，曲線C是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，拋物線是函數(shù)的圖象點（）在曲線C上，且都是整數(shù)（1）求出所有的點；（2）在中任取兩點作直線，求所有不同直線的條數(shù)；（3）從（2）的所有直線中任取一條直線，求所取直線與拋物線有公共點的概率642246yxO22. 水產(chǎn)公司有一種海產(chǎn)品共2 104千克，為尋求合適的銷售

18、價格，進(jìn)行了8天試銷，試銷情況如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售價x(元/千克)400250240200150125120銷售量y(千克)304048608096100觀察表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用反比例函數(shù)刻畫這種海產(chǎn)品的每天銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)之間的關(guān)系現(xiàn)假定在這批海產(chǎn)品的銷售中，每天的銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)之間都滿足這一關(guān)系(1)寫出這個反比例函數(shù)的解析式，并補全表格；(2)在試銷8天后，公司決定將這種海產(chǎn)品的銷售價格定為150元/千克，并且每天都按這個價格銷售，那么余下的這些海產(chǎn)品預(yù)計再用多少天可以全部售出？(3)在按(2)中定價繼

19、續(xù)銷售15天后，公司發(fā)現(xiàn)剩余的這些海產(chǎn)品必須在不超過2天內(nèi)全部售出，此時需要重新確定一個銷售價格，使后面兩天都按新的價格銷售，那么新確定的價格最高不超過每千克多少元才能完成銷售任務(wù)？23. 已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與軸交于點B、A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點C、D，軸于點E，（1）求該反比例函數(shù)的解析式；（2）求直線AB的解析式OxyACBED25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與Y軸和X軸分別交于點A、點8，與反比例函數(shù)y一罟在第一象限的圖象交于點c(1，6)、點D(3，x)過點C作CE上y軸于E，過點D作DF上X軸于F (1)求m，n的值； (2)求直線AB的函

20、數(shù)解析式；(3)求證：AECDFB26. 已知：正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）畫出圖象并回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中過點作直線軸，交軸于點；過點作直線軸交軸于點，交直線于點當(dāng)四邊形的面積為6時，請判斷線段與的大小關(guān)系，并說明理由27. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點過點分別作軸、軸的垂線，垂足為點、如果四邊形是正方形，求一次函數(shù)的關(guān)系式ACOBx 如圖，已知反比例函數(shù)y=（k0）與雙曲線y=交于A（x1，y

21、1），B（x2，y2）兩點，則2x1y27x2y1的值等于_ 7如圖所示，在反比例函數(shù)y=（x0）的圖像上，有點P1，P2，P3，P4，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中的構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，則S1+S2+S3=_8如圖所示，矩形AOCB的兩邊OC，OA分別位于x軸，y軸上，點B的坐標(biāo)為B（，5），D是AB邊上的一點，將ADO沿直線OD翻折，使A點恰好落在對角線OB上的點E處，若點E在一反比例函數(shù)的圖像上，那么該函數(shù)的解析式是_9如圖所示，梯形AOBC的頂點A，C在反比例函數(shù)圖像上，OABC，上底邊OA在直線y=x上，下底邊BC交x軸于E（2，0），則四邊形AOEC的面積為 14正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=的圖像相交于A，C兩點，ABx軸于B，CDx軸于D（如圖），則四邊形ABCD的面積為15在反比例函數(shù)y=的圖像上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)x10x2時，有y10）與直線y=kx交于A，B兩點，點A在第一象限，試解答下列問題：（1）若點A的坐標(biāo)為（4，2），則點B的坐標(biāo)為_； 若點A