1、第四節(jié),1,基本積分法 : 直接積分法 ;,換元積分法 ;,分部積分法,初等函數(shù),初等函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、有理函數(shù)的積分,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,有理函數(shù)的積分,本節(jié)內(nèi)容:,第四章,有理函數(shù) rational function,真分式 proper fraction,假分式 improper fraction,生詞,一、 有理函數(shù)的積分,3,有理函數(shù):,時(shí),為假分式;,時(shí),為真分式.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,簡(jiǎn)單分式:,形如,的分式.(其中A、a、M、N、p、q為常數(shù)),定理. 任何一個(gè)真分式,4,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,( 無(wú)公因子),

2、都可,分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單分式之和,并且,(1) 若Q(x)=0有k重實(shí)根a (即把Q(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分,解,含有 因子), 則分解時(shí)必含有以下的分式:,(2) 若Q(x)=0有一對(duì)k重共軛復(fù)根,和,(即把Q(x)在實(shí)數(shù),范圍內(nèi)因式分解,含有 因子),則分解時(shí)必含有,5,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,簡(jiǎn)單分式之和,而這些簡(jiǎn)單分式不外乎為以下四種類(lèi)型:,于是,求任何一個(gè)真分式的不定積分問(wèn)題,也就轉(zhuǎn)化為求,以上四種類(lèi)型的不定積分.,6,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,求四種類(lèi)型的不定積分：,7,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,求四種類(lèi)型的不定積分：,上一節(jié)例9,四種類(lèi)型的不定積分,

3、都為初等函數(shù),8,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,有理函數(shù)的不定積分：,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式為,若干部分分式之和,結(jié)論: 有理函數(shù)的不定積分為初等函數(shù).,例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,9,解:,(1) 用拼湊法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(2) 用賦值法,10,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(3) 混合法,11,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,原式 =,例2. 求,12,解: 已知,例1(3) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 求,13,解: 原式,思考: 如何求,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,提示:,變形方法

4、同例3,并利用上一節(jié)課件例9 .,例4. 求,14,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解:,令,得, 原式,例5. 求,15,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說(shuō)明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便 ,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求,簡(jiǎn)便的方法.,例6. 求,16,解: 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7. 求,17,常規(guī) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解: 原式,(見(jiàn)P348公式21),注意本題技巧,按常規(guī)方法較繁,按常規(guī)方法解:,18,第一步 令,比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得,第二步 化為部分分式 . 即令,比較系數(shù)定 A ,

5、 B , C , D .,第三步 分項(xiàng)積分 .,此解法較繁 !,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例. 求,解: 令,比較同類(lèi)項(xiàng)系數(shù), 故, 原式,說(shuō)明: 此技巧適用于形為,的積分.,二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例,20,設(shè),表示三角函數(shù)有理式 ,令,萬(wàn)能代換,t 的有理函數(shù)的積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1. 三角函數(shù)有理式的積分,則,例8. 求,21,解: 令,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,22,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例9. 求,23,解:,說(shuō)明: 通常求含,的積分時(shí),往往更方便 .,的有理式,用代換,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例10. 求,

6、24,解法 1,令,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例10. 求,25,解法 2,令,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例11. 求,26,解: 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù), 可令,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,27,令,令,被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換,化為有理函數(shù)的積分.,例如:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,令,例12. 求,28,解: 令,則,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例13. 求,29,解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的,最小公倍數(shù) 6 ,則有,原式,令,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例14. 求,30,解: 令,則,原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),31,1. 可積函數(shù)的特殊類(lèi)型,有理函數(shù),分解,多項(xiàng)式及部分分式之和,三角函數(shù)有理式,萬(wàn)能代換,簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù),三角代換,根式代換,2. 特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定,要注意綜合使用基本積分法 ,簡(jiǎn)便計(jì)算 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,簡(jiǎn)便 ,思考與練習(xí),32,如何求下列積分更簡(jiǎn)便 ?,解: 1.,2. 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè),33,P218 1-24,第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束