1、章末綜合測(cè)評(píng)(三)推理與證明(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1下面四個(gè)推理不是合情推理的是()A由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì)B由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180C某次考試張軍的成績(jī)是100分，由此推出全班同學(xué)的成績(jī)都是100分D蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龜、蜥蜴是爬行動(dòng)物，所以所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的【解析】逐項(xiàng)分析可知，A項(xiàng)屬于類比推理，B項(xiàng)和D項(xiàng)屬于歸納推理，而C項(xiàng)中各個(gè)學(xué)生的成績(jī)不能類比，不是合情推理【答案】C2用反證

2、法證明命題“若直線AB，CD是異面直線，則直線AC，BD也是異面直線”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：則A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以AB，CD共面，這與AB，CD是異面直線矛盾；所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線AC，BD也是異面直線；假設(shè)直線AC，BD是共面直線則正確的序號(hào)順序?yàn)?)ABCD【解析】結(jié)合反證法的證明步驟可知，其正確步驟為.【答案】B3下列推理是歸納推理的是()AA，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|2a|AB|，得P的軌跡為橢圓B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C由圓x2y2r2的面積r2，猜出橢圓1的面積SabD科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇【解析】

3、由歸納推理的特點(diǎn)知，選B.【答案】B4用反證法證明“a，b，c中至少有一個(gè)大于0”，下列假設(shè)正確的是()A假設(shè)a，b，c都小于0B假設(shè)a，b，c都大于0C假設(shè)a，b，c中都不大于0D假設(shè)a，b，c中至多有一個(gè)大于0【解析】用反證法證明“a，b，c中至少有一個(gè)大于0”，應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立而要證命題的否定為“假設(shè)a，b，c中都不大于0”，故選C.【答案】C5下面給出了四個(gè)類比推理a，b為實(shí)數(shù)，若a2b20則ab0；類比推出：z1，z2為復(fù)數(shù)，若zz0，則z1z20；若數(shù)列an是等差數(shù)列，bn(a1a2a3an)，則數(shù)列bn也是等差數(shù)列；類比推出：若數(shù)列cn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，dn，則

4、數(shù)列dn也是等比數(shù)列；若a，b，cR，則(ab)ca(bc)；類比推出：若a，b，c為三個(gè)向量，則(ab)ca(bc)；若圓的半徑為a，則圓的面積為a2；類比推出：若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，則橢圓的面積為ab.上述四個(gè)推理中，結(jié)論正確的是()ABCD【解析】在復(fù)數(shù)集C中，若z1，z2C，zz0，則可能z11且z2i，故錯(cuò)誤；在類比等差數(shù)列性質(zhì)推理等比數(shù)列性質(zhì)時(shí)，一般思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，故正確；由于向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合律不成立，錯(cuò)誤；若圓的半徑為a，則圓的面積為a2；類比推出，若橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，則橢圓面

5、積為ab，正確【答案】D6將平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算相類比，易得下列結(jié)論：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc.以上通過類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4【解析】平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律，故正確，錯(cuò)誤；由abac(a0)得a(bc)0，從而bc0或a(bc)，故錯(cuò)誤故選B.【答案】B7(2016昌平模擬)已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b4b5b6b7b8b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為()Aa1a2a3a929Ba1a2a3a929Ca1a2a3a929Da1a2a

6、3a929【解析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的特征知，a1a2a929.【答案】D8(2016北京高考)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半甲、乙、丙是三個(gè)空盒每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【解析】取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況：紅紅，則乙盒中紅球數(shù)加1；黑黑，則丙盒中黑球數(shù)加1；紅黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1；黑紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1.

7、因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣多，所以和的情況一樣多，和的情況完全隨機(jī)和對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響和出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣綜上，選B.【答案】B9在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n0，則lg ；(2)22.【證明】(1)當(dāng)a，b0時(shí)，有，lglg，lg lg ab.(2)要證22，只要證()2(22)2，即22，這是顯然成立的，所以，原不等式成立18(本小題滿分12分)觀察以下各等式：sin230cos260sin 30cos 60，sin220cos250sin 20cos 50

8、，sin215cos245sin 15cos 45.分析上述各式的共同特點(diǎn)，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明【解】猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin22sin sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.19(本小題滿分12分)點(diǎn)P為斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PMBB1交AA1于點(diǎn)M，PNBB1交CC1于點(diǎn)N.(1)求證：CC1MN；(2)在任意DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22DFEFcosDFE.擴(kuò)展到空間類比三角形的余弦定理，

9、寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明【解】(1)證明：因?yàn)镻MBB1，PNBB1，又PMPNP，所以BB1平面PMN，所以BB1MN.又CC1BB1，所以CC1MN.(2)在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1cos .其中為平面BCC1B1與平面ACC1A1所成的二面角證明如下：因?yàn)镃C1平面PMN，所以上述的二面角的平面角為MNP.在PMN中，因?yàn)镻M2PN2MN22PNMNcosMNP，所以PM2CCPN2CCMN2CC2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP，由于SBCC

10、1B1PNCC1，SACC1A1MNCC1，SABB1A1PMBB1PMCC1，所以S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1SACC1A1cos .20(本小題滿分12分)(2014江蘇高考)如圖4，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求證：圖4(1)直線PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.【證明】(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DEPA.又因?yàn)镻A平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA6，BC8，所以DEPA，DEP

11、A3，EFBC4.又因?yàn)镈F5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因?yàn)锳CEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.21(本小題滿分12分)在數(shù)列an中，a11，a2，且an1(n2)(1)求a3，a4，猜想an的表達(dá)式，并加以證明；(2)設(shè)bn， 求證：對(duì)任意的nN，都有b1b2bn.【解】(1)容易求得：a3，a4.故可以猜想an，nN.下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：顯然當(dāng)n1,2,3,4時(shí)，結(jié)論成立，假設(shè)當(dāng)nk(k4，kN)時(shí)，結(jié)論也成立，即ak.那么當(dāng)nk1時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：ak1.即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對(duì)任意nN，an成立(2)證明：bn()，所以b1b2bn(1)()()()(1)，所以只需要證明(1)13n13n2102(顯然成立)，所以對(duì)任意的nN，都有b1b2bn0). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720022】(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(iN*)個(gè)零點(diǎn)，證明：對(duì)一切nN*，有0，此時(shí)f(x)0；當(dāng)x(2k1)，(2k2)(kN)時(shí)，sin x0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2k，(2k1)(kN)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2k1)，(