1、2020年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(三)試題及解析一、選擇題：18小題,每小題4分,共32分下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的(1)設(shè) ，則(A). (B). (C). (D). 【答案】B 【解析】設(shè)，則則 (2)函數(shù)，則第二類間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）(A).1(B).2(C).3(D).4【答案】C【解析】本題考查的是第一類間斷點(diǎn)與第二類間斷點(diǎn)的定義，判斷間斷點(diǎn)及類型的一般步驟為：1.找出無(wú)定義的點(diǎn)（無(wú)意義的點(diǎn)）；2.求該點(diǎn)的左右極限；3.按照間斷點(diǎn)的定義判定。第二類間斷點(diǎn)的定義為至少有一個(gè)不存在，很顯然不存在的點(diǎn)為。在處，；在處， ；在處， ，；在處，；所以，第二類間

2、斷點(diǎn)為3個(gè)。(3) 對(duì)奇函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則( )(A). 是奇函數(shù)(B). 是偶函數(shù)(C).是奇函數(shù)(D).是偶函數(shù)【答案】：A【解析】為奇函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù) 為偶函數(shù)，又為偶函數(shù)，則 ，則為偶函數(shù)，故 為偶函數(shù)，以0為下限、被積函數(shù)為偶函數(shù)的變限積分函數(shù)為奇函數(shù)。所以，本題選;對(duì)于選項(xiàng)，為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則 既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)。(4).已知冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，則的收斂區(qū)間為(A).(-2,6)(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【答案】【解析】由比值法可知，冪級(jí)數(shù)收斂時(shí)，則要求的收斂區(qū)間，只需要求出的值即可，而條件告訴我們冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，即收斂

3、半徑為4則，即所以本題選。(5)設(shè)4階矩陣不可逆，的代數(shù)余子式，為矩陣的列向量組，為的伴隨矩陣，則的通解為（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（C）【解析】不可逆知，及；由知且線性無(wú)關(guān)（無(wú)關(guān)組的延長(zhǎng)組仍無(wú)關(guān)），故及，故的基礎(chǔ)解系含有3個(gè)向量。由知，的列向量均為的解，故通解為。(6)設(shè)為3階矩陣，為的特征值對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，為的特征值的特征向量。若存在可逆矩陣，使得，則可為（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）【解析】因?yàn)闉榈奶卣髦祵?duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故仍為特征值的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；因?yàn)闉榈奶卣髦档奶卣飨蛄浚嗜詾樘卣髦档奶卣飨蛄?，因?yàn)樘卣飨蛄颗c特征值

4、的排序一一對(duì)應(yīng)，故只需，就有。(7) ，則恰好發(fā)生一個(gè)的概率為（ ）(A).(B). (C) .(D).【答案】（D）【解析】又， (8) .若二維隨機(jī)變量服從，則下列服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且與獨(dú)立的是（ ）(A). (B). (C). (D). 【答案】（C）【解析】由二維正態(tài)分布可知，所以，所以與獨(dú)立二、填空題：914小題,每小題4分,共24分 (9)，則_.【答案】【解析】，將帶入可知，(10)已知曲線滿足，求曲線在點(diǎn)處的切線方程【答案】【解析】在兩側(cè)同時(shí)對(duì)求導(dǎo)有，將帶入可知，所以切線方程為(11)設(shè)產(chǎn)量為，單價(jià)為,廠商成本函數(shù)為，需求函數(shù)為，求廠商取得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量【答案】【解析】由可知，

5、則利潤(rùn)函數(shù)為， ，令可得，此時(shí)，故取得最大利潤(rùn)(12)設(shè)平面區(qū)域，則求繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積【答案】【解析】由題意列式得 (13)行列式【答案】.【解析】(14) 隨機(jī)變量的分布律為為被3除的余數(shù)，則 解析三、解答題：1523小題,共94分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟(15)(本題滿分10分) 設(shè)為常數(shù)，且當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小，求的值.【解析】 ，由于，則，且式，得.(16)(本題滿分10分) 求函數(shù)的極值. 【解析】，解得，.且，.討論：對(duì)于，求得，因，則不為極值點(diǎn)； 對(duì)于，求得，因且，則為極小值點(diǎn)，且極小值為. (17)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)滿足，且有.（）求； （）設(shè)，求.

6、【解析】（）由得，解得，則，又由得，則.（） ，則.(18)(本題滿分10分) 設(shè)區(qū)域，計(jì)算.【解析】設(shè)，則，兩邊同取積分得 .則，.(19)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).,.證:(1)存在使 (2)若對(duì)任意,則.證明:(1)時(shí),則,顯然成立.時(shí),不妨設(shè)在點(diǎn)處取得最大值.由拉格朗日中值定理得,存在,使得;存在,使得;所以,即介于與之間,從而有或,結(jié)論得證.（）當(dāng)時(shí),采用反證法,假設(shè).則或,與已知矛盾,假設(shè)不成立.當(dāng)時(shí),此時(shí),易知.設(shè),;則有,從而單調(diào)遞減.又,從而,即,.因此,從而.綜上所述,最終 (20)(本題滿分11分)二次型經(jīng)正交變換化為二次型，。求：（I）的值；（II）正

7、交矩陣【答案】（I）；（II）.【解析】（I）記，故。因?yàn)椋?，所以，其中為正交矩陣。所以相似，故特征值相同，故知，故。（II）由，知的特征值均為。解齊次線性方程組及，求特征向量并直接單位化，對(duì)，由知，；對(duì)，由知，；同理，的屬于特征值的特征向量為，的屬于特征值的特征向量為.記，就有，因此，只需令，則，二次型經(jīng)正交變換化為。(21)(本題滿分11分)設(shè)為2階矩陣，是非零向量且不是的特征向量。（I）證明矩陣可逆；（II）若，求并判斷是否相似于對(duì)角矩陣。【解析】（I）設(shè) 若，則由知； 若，則，所以是的屬于特征值的特征向量，與已知條件產(chǎn)生矛盾。所以，向量組線性無(wú)關(guān)，故矩陣可逆。（II）因?yàn)?，所以，記，因此，即，由可逆知相似且。由知，矩陣的特征值均為，因?yàn)樘卣髦祷ゲ幌嗤?，故矩陣相似于?duì)角矩陣。(22)(本題滿分11分)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，且求（1）二維隨機(jī)變量的概率分布；（2）求的相關(guān)系數(shù).【解析】（1） 由題意，所以可計(jì)算可得 01010（2） 由（1）可計(jì)算,所以可得(23)(