1、,第三節(jié),一、含參變量的有限積分,二、含參變量的無窮積分,含參變量的積分,第十二章,1,一、含參變量的有限積分,上的連續(xù)函數(shù),則積分,記作,u 稱為參變量, 上式稱為含參變量的有限積分.,含參變量積分的性質(zhì),定理1.(連續(xù)性),上連續(xù),則函數(shù), 連續(xù)性, 可積性, 可微性 :,確定了一個(gè)定義在 上的函數(shù),在區(qū)間,也連續(xù).,2,證:,在閉區(qū)域R上連續(xù), 所以一致連續(xù),即,只要,就有,有,這說明,3,定理1 表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運(yùn),算與積分運(yùn)算的順序是可交換的.,同理可證,上連續(xù),則含參變量的積分,4,定理2. (可積性),上連續(xù),推論:,在閉矩形域上連續(xù)函數(shù)f(x,y), 其

2、累次積分可交換,即,定理2表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),關(guān)于不同,變數(shù)的積分(簡稱累次積分)可交換積分次序.,求積順序,5,定理3. (可微性),都在矩形,證: 令,函數(shù),6,因上式左邊的變上限積分可導(dǎo),右邊,有,被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在閉矩形域上連續(xù),時(shí),導(dǎo)數(shù)與積分運(yùn)算是可以交換次序的 .,定理3說明,7,變量外,積分上、下限也含有參變量，即,但,對應(yīng)唯一一個(gè)積分（值）,則它仍是區(qū)間,的函數(shù)，設(shè),.,一般情況，,含參變量的有限積分，除被積函數(shù)含有參,下面給出函數(shù),在區(qū)間,的可微性.,8,定理4.,都在矩形域,而函數(shù),與,在區(qū)間,可導(dǎo)，,，有,則函數(shù),在區(qū)間,可導(dǎo)，且,9,求函數(shù),的導(dǎo)數(shù)(y0

3、).,例1.,解：,，暫時(shí)固定，,，使,顯然，被積函數(shù),與,在矩形域,都連續(xù)，,根據(jù)定理2，有,10,例2.,解:,由被積函數(shù)的特點(diǎn)想到積分:,11,例3.,解:,考慮含參變量 t 的積分所確定的函數(shù),顯然,由于,12,故,因此得,13,例4.,解:,14,例5.,分小時(shí), 函數(shù),的 n 階導(dǎo)數(shù)存在, 且,證: 令,在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),由定理5 可得,15,即,同理,于是,16,二.含參變量的無窮積分,1.含參變量的無窮積分的定義,設(shè)二元函數(shù)f(x,u)在區(qū)域,有定義。,無窮積分,都收斂，,即,都對應(yīng)唯一一個(gè)無窮積分（值）,.,于是，,是區(qū)間,的函數(shù)，表為,稱為含參變量的無窮積分，有

4、時(shí)也簡稱無窮積分，,u是參變量.,17,2.含參變量無窮積分一致收斂的定義,設(shè),，無窮積分,收斂.,若,有,則稱無窮積分,在區(qū)間I一致收斂。,18,證明：無窮積分,在區(qū)間a,b(a0),例6.,一致收斂.,證明:,設(shè)A0,無窮積分(u看作常數(shù)),已知aub,有,使不等式,成立，解得,取,于是，,有,即無窮積分,在區(qū)間a,b(a0)一致收斂.,19,3.含參變量無窮積分一致收斂的判別法,定理5 (柯西一致收斂準(zhǔn)則）,無窮積分,在區(qū)間 I,一致收斂,有,定理6(優(yōu)函數(shù)判別法),若,有,且無窮積分,收斂，,則無窮積分,在區(qū)間I一致收斂.,20,例7.,證明:無窮積分,在區(qū)間,一致收斂(a0).,證明

5、：,有,因?yàn)闊o窮積分,收斂,所以無窮積分,從而無窮積分,收斂，,也收斂,根據(jù)定理6,則無窮積分,在區(qū)間,一致收斂(a0).,21,例8.證明無窮積分,在R一致收斂.,證明：,，有,.,而無窮積分,收斂,則無窮積分,在R一致收斂.,說明:,雖然用定理6判別某些無窮積分一致收斂很簡便,但此定理的應(yīng)用局限在無窮積分必是絕對收斂,若無窮積分是一致收斂,同時(shí)又是條件收斂,則不能用定理6來判別.,22,定理7.,若函數(shù)f(x,u)在區(qū)間,，,連續(xù)且,在D有界,即,有,無窮積分,在區(qū)間I一致收斂.,23,即:,4.含參變量無窮積分的性質(zhì),定理8(連續(xù)性),注意:,24,定理 9 (可積性),即,(積分次序可交換),25,可微性定理表明在定理?xiàng)l件下,求導(dǎo)運(yùn)算和積分運(yùn)算,可以交換.即,定理10 (