1、第3章 動(dòng)量守恒 角動(dòng)量守恒上一章我們研究了牛頓定律，特別是牛頓第二定律給出了力的瞬時(shí)作用規(guī)律。實(shí)際上，力對物體的作用總是要延續(xù)一段時(shí)間。在這段時(shí)間內(nèi)，力的作用將積累起來產(chǎn)生一個(gè)總效果。力的時(shí)間積累效應(yīng)的規(guī)律，就是動(dòng)量定理。把動(dòng)量定理應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系，導(dǎo)出一個(gè)重要的守恒定律動(dòng)量守恒定律。對用于質(zhì)點(diǎn)系，引入質(zhì)心的概念，并說明了外力和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。然后，研究和動(dòng)量概念相關(guān)的、描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)特征的重要的物理量角動(dòng)量。在牛頓第二定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出角動(dòng)量變化率和外力矩的關(guān)系角動(dòng)量定理，并進(jìn)一步導(dǎo)出了另一條重要的守恒定律角動(dòng)量守恒定律。動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律以及與之相關(guān)的動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理和能量定理深

2、刻反映了機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)形式相互轉(zhuǎn)化之間的關(guān)系，具有普遍的意義，它們是自然界最基本、最普遍的規(guī)律。這一章我們著重研究動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律以及與之相關(guān)的動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理。3.1 沖量與動(dòng)量定理3.1.1 沖量物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化必須在物體運(yùn)動(dòng)的過程中受到力的作用，力作用到質(zhì)點(diǎn)上，可以使質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量或速度發(fā)生變化。在許多實(shí)際情況下，我們要考慮力按時(shí)間積累的效果。這一效果可以直接從牛頓第二定律得出：1、牛頓第二定律的微分形式 （3.1-1）式中乘積就表示力在時(shí)間內(nèi)的積累量，叫做在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量。此式表明：在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于在同一時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。這一關(guān)系叫做動(dòng)

3、量定理的微分形式，實(shí)際上是牛頓第二定律公式數(shù)學(xué)形式的變化。2、沖量的定義 將（3.1-1）式兩邊對到這段時(shí)間積分，則有 （3.1-2），將 （3.1-3）稱為質(zhì)點(diǎn)的沖量。3.1.2 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理（3.1-3）式表示在到這段時(shí)間內(nèi)合力的沖量。（3.1-3）式的物理意義是：在到這段時(shí)間內(nèi)，合外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量等于質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間間隔內(nèi)的動(dòng)量的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： （3.1-4）沖量是矢量，一般地說，沖量的方向并不與動(dòng)量的方向相同，而是與動(dòng)量的增量方向相同。（3.1-4）式是動(dòng)量定理的矢量表達(dá)式，寫成直角坐標(biāo)系的分量式為， （3.1-5）在國際單位制中，沖量、動(dòng)量的單位是

4、牛頓秒 或 公斤米/秒，用符號 Ns 或 表示。圖3.1-1動(dòng)量定理在打擊和碰撞等問題中特別有用，在打擊和碰撞的極短時(shí)間內(nèi)物體間的相互作用力稱為沖力，其特點(diǎn)是作用時(shí)間極短，大小隨時(shí)間而激劇變化。沖力隨時(shí)間變化的情況往往很復(fù)雜，有時(shí)無法知道沖力與時(shí)間的函數(shù)的關(guān)系。因此，引入平均沖量的概念，將其定義為：式中為X軸方向上的平均沖力。同樣可以定義Y軸、Z軸方向上的平均沖力和。因此，雖然無法確定每一瞬時(shí)的沖力，但是都可以通過測定沖力作用前后質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。利用動(dòng)量定理求出質(zhì)點(diǎn)受到的沖力，卻可以通過測定沖力作用前后質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，利用動(dòng)量定理求出質(zhì)點(diǎn)受到的沖量。沖力示意圖如圖3.1-1所示。圖中曲線就是沖力隨時(shí)間

5、變化的示意圖，直線為平均沖力，曲線下面積與直線下面積相等，均為沖力在時(shí)間的沖量。例3.1-2、有一沖力作用在質(zhì)量為0.3kg的物體上，物體最初處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知力的大小F與時(shí)間的關(guān)系為 ， 和，式中F的單位為N，t的單位為s。求1、 上述時(shí)間內(nèi)的沖量和平均沖量的大??；2、 物體末速度的大小。解題思路：由沖量、平均沖量的定義式和動(dòng)量定理進(jìn)行求解。解：1、由沖量的定義式有 平均沖量的大小為 2、物體末速度的大小為 。由于動(dòng)量定理的應(yīng)用比較多的場合是在打擊和碰撞過程中出現(xiàn)。因此，有些同學(xué)常常認(rèn)為只有打擊和碰撞這類問題才有動(dòng)量問題。為了使同學(xué)們思路開闊一些，除了強(qiáng)調(diào)在打擊或碰撞這類問題中動(dòng)量定理的應(yīng)用

6、以外，再分析一些其它的例子，使學(xué)生對動(dòng)量、沖量和動(dòng)量定理有進(jìn)一步的理解可能是有意義的。 *例3.1-2 如圖3.1-2所示,質(zhì)量為m的物體做圓錐擺運(yùn)動(dòng),其速率為v,圓半徑為R, 圓錐的夾角為。分析：（1）、質(zhì)點(diǎn)繞行半周，作用在質(zhì)點(diǎn)上中力的沖量；（2）、質(zhì)點(diǎn)由a到b繞行半周，繩的張力T的沖量。 解：因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的周期為T=，重力是恒力，所以質(zhì)點(diǎn)繞行半周，作用在質(zhì)點(diǎn)上中力的沖量為圖3.1-2 ，方向向下。 （2）、因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，繩中的張力，雖然張力的大小不變，但是張力的方向隨其運(yùn)動(dòng)不斷地變化，張力的沖量不等于，為了計(jì)算張力的沖量，先把張力分解為水平和垂直兩個(gè)分量：，所以張力的沖量；

7、又因?yàn)榈拇笮『头较蚨疾蛔?，所以，與重力的沖量大小相等，方向相反。 張力的沖量有兩種解法：一是矢量疊加法；二是動(dòng)量定理法。下面用動(dòng)量定理法求解：，如圖3.1-3所示，在矢量三角形中，有：圖3.1-3 例3.1-3 如圖3.1-4所示，傳送帶以3 m/s的速率水平向右運(yùn)動(dòng)，砂子從高h(yuǎn)=0.8 m處落到傳送帶上,即隨之一起運(yùn)動(dòng).求傳送帶給砂子的作用力的方向（g取10 m/s2） 解：設(shè)沙子落到傳送帶時(shí)的速度為，隨傳送帶一起運(yùn)動(dòng)的速度為，則取直角坐標(biāo)系，x軸水平向右，y軸向上 設(shè)質(zhì)量為Dm 的砂子在Dt時(shí)間內(nèi)平均受力為,則 ,圖3.1-4由此式即可得到砂子所受平均力的方向,設(shè)力與x軸的夾角為則-1(4

8、/3)= 53,力方向斜向上。 3.1.3 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 * 1、 質(zhì)心動(dòng)量 質(zhì)心是力學(xué)一個(gè)重要的概念，涉及到質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題都回避不了這個(gè)概念。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量可以表示為質(zhì)心的動(dòng)量。由動(dòng)量定義 （3.1-6）以m表示質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，則，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可表示為： （3.1-7）式中 （3.1-8），此式為質(zhì)心矢徑的定義。與參考系有關(guān)，可以證明由（3.1-8）式所確定的質(zhì)心C點(diǎn)，相對于一定質(zhì)量分布的質(zhì)點(diǎn)系是完全確定的。質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系的物理量，它是由質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量決定的，與其質(zhì)量分布有關(guān)，是質(zhì)點(diǎn)的位矢對質(zhì)量的加權(quán)平均。圖3.1-5（3.1-7）式中是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度，用表示，則 （3.1-9）可見，我們可以把

9、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量看成是這樣一個(gè)“質(zhì)點(diǎn)”的動(dòng)量，這個(gè)“質(zhì)點(diǎn)”集中了質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量并以質(zhì)心速度運(yùn)動(dòng)。2、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：系統(tǒng)外的質(zhì)點(diǎn)對系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)的作用稱為外力，系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力稱為內(nèi)力。為了簡單起見，我們先討論由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為和，在碰撞時(shí)間內(nèi)，除內(nèi)力和外，還分別受到外力和的作用，如圖3.1-5所示。則兩質(zhì)點(diǎn)所受力的沖量和動(dòng)量分別為： ，將兩式相加，有+由牛頓第三定律可知：和是系統(tǒng)的內(nèi)力，應(yīng)滿足=-，所以上式變成 （3.1-10）（3.1-10）式表明：作用在兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)的外力的矢量和的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。把這一結(jié)論推廣到有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)

10、，（3.1-10）式寫成， 即 （3.1-11）和分別表示系統(tǒng)的末動(dòng)量和初動(dòng)量，上式表明：作用于系統(tǒng)的外力的矢量和的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。*3、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量m與質(zhì)心加速度的乘積。， （3.1-12）（3.1-12）式的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律也可以從牛頓運(yùn)動(dòng)定律導(dǎo)出。3.2 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)中普遍適用的幾個(gè)守恒定律之一，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)，這個(gè)定律可由動(dòng)量定理直接推導(dǎo)出來。由 ，若=0，則有 = 恒矢量 （3.2-1）上式說明：如果系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中所受外力的矢量和為零，則系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，這一結(jié)論就是動(dòng)量守恒定律。應(yīng)用動(dòng)量守恒

11、定律解決力學(xué)問題時(shí)，可以不考慮系統(tǒng)在內(nèi)力作用下發(fā)生的復(fù)雜變化，只需研究變化前后系統(tǒng)的總動(dòng)量，因此可帶來很大的方便。應(yīng)用動(dòng)量守恒定律應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件是：，即系統(tǒng)所受外力的矢量和為零。在一些實(shí)際問題中，系統(tǒng)所受外力的矢量和雖然不為零。但是，卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)地小于內(nèi)力，這時(shí)仍然可視為滿足動(dòng)量守恒的條件。比如：碰撞、爆炸、沖擊等過程；2、動(dòng)量守恒是矢量守恒，具體應(yīng)用時(shí)可用直角坐標(biāo)分量式：=恒量，外力；=恒量，外力；=恒量 ，外力 （3.2-2）若系統(tǒng)所受外力矢量和不為零，但是在某個(gè)方向上的分量為零，雖然系統(tǒng)的總動(dòng)量不守恒，但是在該方向上動(dòng)量的分量守恒；3、動(dòng)量具有相對性。動(dòng)量守恒定律中所涉

12、及的動(dòng)量都是相對于同一慣性系的，對不同的慣性系，同一物體的動(dòng)量是不相同的；4、在系統(tǒng)所受外力矢量和為零的情況下，雖然系統(tǒng)的總動(dòng)量不變。但是，由于系統(tǒng)內(nèi)各物體間內(nèi)力的作用，各物體的動(dòng)量都要發(fā)生轉(zhuǎn)移、各物體的動(dòng)量的大小和方向都可能變化。動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)最普遍、最基本的定律之一，動(dòng)量守恒定律雖然是從表述宏觀物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律導(dǎo)出的。但是，近代的科學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論分析都表明：在自然界中，大到天體間的相互作用，小到質(zhì)子、中子、電子等基本粒子間的相互作用，動(dòng)量守恒定律都適用；而在原子、原子核等微觀領(lǐng)域中，牛頓運(yùn)動(dòng)定律卻不適用了。因此，動(dòng)量守恒定律比牛頓定律運(yùn)用更加廣泛。碰撞問題 當(dāng)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)（物體）相互接近時(shí)（不

13、一定接觸），它們的運(yùn)動(dòng)發(fā)生了變化，稱為碰撞。若碰撞前后兩物體總動(dòng)能沒有損失的碰撞，叫彈性碰撞。牛頓總結(jié)了各種碰撞實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，提出碰撞定律：碰撞后兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的分離速度（）與碰撞前兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的接近速度（）成正比，比值由它們的質(zhì)量決定，且 （4.5-1）通常稱e為恢復(fù)系數(shù)。1、當(dāng)e=1時(shí)，有=，通常稱為完全彈性碰撞，簡稱彈性碰撞；2、當(dāng)e=0時(shí)，有，即碰撞后，兩質(zhì)點(diǎn)不分離，常稱為完全非彈性碰撞；3、當(dāng)0e故在（5）式 0，則。這說明探測器從土星旁繞過后，由于引力的作用而速率增大了彈弓效應(yīng)。彈弓效應(yīng)是航天技術(shù)中增大宇宙探測器速率的一種有效辦法。1989年10月發(fā)射的伽利略探測器、1990年10月發(fā)射的尤里

14、西斯太陽探測器和1996年12月發(fā)射的“火星探路者”于1997年7月4日準(zhǔn)時(shí)降落在火星上，這些宇宙探測器的發(fā)射都利用了彈弓效應(yīng)。美國宇航局于1997年10月15日又發(fā)射了一顆探測土星的核動(dòng)力航天器，重5.67噸的“卡西尼”號。它將航行7年，行程，將兩次掠過金星，1999年8月在900km上空掠過地球，然后掠過木星。在掠過這些行星時(shí)，都是利用彈弓效應(yīng)加速并改變方向，最后于2004年7月進(jìn)入土星軌道，開始對土星的光環(huán)系統(tǒng)和它的衛(wèi)星進(jìn)行為期4年的考察。它所攜帶的“惠更斯”號探測器將在土星最大的衛(wèi)星土衛(wèi)六的表面著陸，考察這顆和地球早期（45億年前）極其相似的天體。火箭的飛行原理 火箭是一種利用燃料燃燒

15、后噴出的氣體產(chǎn)生的反沖推力的發(fā)動(dòng)機(jī)。它自帶燃料與助燃劑，因而可以在空間任何地方發(fā)動(dòng)?；鸺夹g(shù)在近代有很大發(fā)展，火箭炮以及各種各樣的導(dǎo)彈都有利用火箭發(fā)動(dòng)機(jī)作動(dòng)力?？臻g技術(shù)發(fā)展更以火箭技術(shù)為基礎(chǔ)，各式各樣的人造地球衛(wèi)星，飛船和空間控測器都是靠火箭發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)射并控制航向的。在科學(xué)史上，火箭是中國最早發(fā)明的。我國南宋時(shí)有作為煙火玩物的“起火”，明代對多箭頭的火箭以及稱為“火龍出水”的二級火箭已有書籍記載。1990年4月7日，我國成功地將亞洲1號通訊衛(wèi)星送入太空，說明我國運(yùn)載火箭技術(shù)成熟可靠?！伴L征二號”是我國獨(dú)立研制的多用途三級火箭，它長43.25米，最大直徑3.35米。起飛質(zhì)量約為202噸，起飛推動(dòng)力

16、248噸，可將1.4噸重的衛(wèi)星送入離地約3.6公里的地球同步轉(zhuǎn)移軌道,有效載荷能力居世界第四位。該火箭的特點(diǎn)是第一、二級用常規(guī)推進(jìn)劑，而第三級則使用液氫，液氧推進(jìn)劑，這是低溫高能推進(jìn)劑，它代表現(xiàn)代火箭技術(shù)的新水平。2005年11月26日，在北京人大會(huì)堂舉行慶祝神舟六號載人航天飛行圓滿成功的大會(huì)上，胡錦濤說：中國僅用兩年的時(shí)間就實(shí)現(xiàn)了從“一人一天”（楊立偉）到“多人多天”（費(fèi)俊龍、聶海勝）的大跨度，標(biāo)志著中國在發(fā)展載人航天技術(shù)方面取得了又一個(gè)里程碑意義的重大勝利。 3.3 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律 3.3.1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 物理學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到質(zhì)點(diǎn)繞一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。例如：行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)，原

17、子中電子繞原子核的轉(zhuǎn)動(dòng)等等。在這類轉(zhuǎn)動(dòng)的問題中，如果用動(dòng)量來描述質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題會(huì)很不方便，因?yàn)閯?dòng)量的方向隨時(shí)間不斷地變化。為此，我們引入角動(dòng)量的概念，并討論其所遵循的規(guī)律。圖3.3-1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，相對于某一參考點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，如圖3.3-1所示。在某一時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)相對于參考點(diǎn)O的位置矢量，其速度為，則質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量為。我們定義：質(zhì)點(diǎn)的位置矢量與其動(dòng)量的矢積為質(zhì)點(diǎn)相對于O點(diǎn)的角動(dòng)量，用表示，即 （3.3-1）從角動(dòng)量的定義，可以看出：1、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)，對同一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，參考點(diǎn)的選擇不同，其角動(dòng)量不同；2、角動(dòng)量是矢量，其大小為為位置矢量與速度的夾角。角動(dòng)量的方向由右手螺旋法

18、則決定，如圖3.3-1（b）所示。在國際單位制中，角動(dòng)量的單位是。3.3.2 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置用矢量表示，是由慣性系中某參考點(diǎn)引向質(zhì)點(diǎn)的矢徑（如圖3.3-1所示）。的大小和方向不僅與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)，而且與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。用叉乘（矢量積）牛頓第二定律等式的兩邊，則有，即力矩 （3.3-2）（3.3-2）式表明：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量對時(shí)間的變化率，等于質(zhì)點(diǎn)所受的力矩，這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理。關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理需要注意的是：1、 角動(dòng)量定理中的角動(dòng)量和力矩，必須是相對于同一個(gè)參考點(diǎn)；2、 角動(dòng)量定理與牛頓第二定律在數(shù)學(xué)形式上相互對應(yīng)，即3、微分形式 （3.3-3）3、

19、積分形式 （3.3-4）角動(dòng)量定理另一表述：作用于質(zhì)點(diǎn)的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的增量。3.3.3 角動(dòng)量守恒定律1、角動(dòng)量守恒定律如果對某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變。3、 數(shù)學(xué)表達(dá)式 或 = 常矢量 （3.3-5）角動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量守恒定律一樣，也是自然界的一條最基本、最重要的定律，并且在更廣泛的情況下，它不依賴于牛頓定律。關(guān)于外力矩為零，這一條件應(yīng)該指出的是：由于力矩，所以它既可能是外力為零；也可能外力不為零。在外力不為零的情況下，任意時(shí)刻如果外力總是與質(zhì)點(diǎn)對于固定點(diǎn)的矢徑平行或反平行時(shí)，。在這兩種情況下，外力矩為零，這一條件都是成立的。所以，此

20、質(zhì)點(diǎn)對該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變，即角動(dòng)量守恒定律成立。下面，分別就這兩種情況，舉例證明：圖3.3-2證明的思路和方法：從力、合外力矩、角動(dòng)量的概念和定義（定律）出發(fā)，應(yīng)用數(shù)理邏輯推理手段，充分利用已知條件證明之。 第一種情況、分析：根據(jù)牛頓定律可知，質(zhì)點(diǎn)所受合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量為m（恒量） ；如圖3.3-2所示，S s為質(zhì)點(diǎn)軌跡。質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過任一點(diǎn)C時(shí)，它對于固定點(diǎn)O 的角動(dòng)量為=|，其方向垂直于c和 所決定的平面，其大小永遠(yuǎn)為。證明：從圖3.3-2中可以得知，質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量是一個(gè)不變的恒量，若質(zhì)點(diǎn)位于C點(diǎn)處時(shí)，其角動(dòng)量為=，式中為單位方向矢量，其垂直于位矢和動(dòng)

21、量所組成的平面，即質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的方向。在三角形OAC中，=|=|；若質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)處時(shí)，垂直，sinOAC = sin90 = 1，其角動(dòng)量 =|=|，這是一個(gè)不變的量，也就是說：質(zhì)點(diǎn)沿直線SS運(yùn)動(dòng)時(shí)，其對固定O點(diǎn)的角動(dòng)量的方向和大小保持不變，即角動(dòng)量守恒，證畢。第二種情況、行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)（質(zhì)點(diǎn)在有心力場中運(yùn)動(dòng)，只考究太陽對行星的引力作用，忽略其他恒星對行星的影響），太陽對行星的引力總是與其對于固定點(diǎn)太陽的矢徑平行且方向相反，。我們來研究行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng):證明(開普勒第二定律)行星對太陽矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。圖3.3-3證明：如圖3.3-3所示，行星是在太陽引力的作用下沿橢圓

22、軌道運(yùn)動(dòng)的，由于引力的方向在任何時(shí)刻總與行星對太陽矢徑的方向相反，所以行星受到的引力對太陽的力矩等于零。因此，行星在運(yùn)動(dòng)過程中，對太陽的角動(dòng)量將保持不變。根據(jù)右手螺旋法則，可知：行星在運(yùn)動(dòng)過程中，對太陽的角動(dòng)量的方向不變，也表明和所決定的平面的方位不變，這就是說：行星總在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，它的軌跡是一平面軌道，如圖3.3-3所示，而垂直這個(gè)平面。同時(shí)由角動(dòng)量的定義式，由圖3.3-3可知乘積等于三角形的面積（二分之一底乘高）的兩倍（忽略那個(gè)小角的面積），即； ， ，而為行星對太陽的矢徑在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積，叫做行星運(yùn)動(dòng)的掠面速度。行星運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒又意味著這一掠面速度保持不變。由此可以直接得出

23、行星對太陽的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積的結(jié)論。3.3.4 有關(guān)力矩和角動(dòng)量的說明對于力矩和角動(dòng)量都是與參考點(diǎn)選擇有關(guān)的物理量，質(zhì)點(diǎn)在同樣的合外力作用下，對某參考點(diǎn)可能為零，因而角動(dòng)量守恒；對于另外參考點(diǎn)可能不為零，因而角動(dòng)量不守恒。為了說明此點(diǎn)，我們?nèi)匀灰詧A錐擺的運(yùn)動(dòng)來進(jìn)行分析，如圖3.3-5所示。 例3.3-1 質(zhì)點(diǎn)m以速率v做圓錐擺運(yùn)動(dòng)。試分別以圓心O和懸掛點(diǎn)A為參考點(diǎn)分析張力矩、重力矩、合力矩和質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。 解：以圓心O為參考點(diǎn)，張力T的力矩為，方向與圓的切線重合，與v的方向相反；同理可得重力矩為；合力矩為圖3.3-5，角動(dòng)量為守恒，方向垂直向上。以懸掛點(diǎn)A為參考點(diǎn)，張力T的力矩

24、為；重力矩為；合力矩為；角動(dòng)量為，方向如圖3.3-5所示。從上述結(jié)果可以看出：1、對不同的參考點(diǎn)，力矩和角動(dòng)量的大小和方向都不相同。因此，角動(dòng)量是否守恒，不僅與受力的性質(zhì)有關(guān)，而且還與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)；2、合力矩的方向與角動(dòng)量的方向不一致，合力矩只是與角動(dòng)量的時(shí)間變化率相聯(lián)系。例如，以懸掛點(diǎn)A為參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量為的大小不變，但是方向隨質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而不斷地變化。矢量掃過一個(gè)平頂?shù)膱A錐面，其改變量d（）與質(zhì)點(diǎn)速度V的方向相同，與合力方向一致；4、 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理是對慣性系中一個(gè)固定的參考點(diǎn)適用。在不同的慣性系中，由于質(zhì)點(diǎn)的速度和矢徑都發(fā)生了變化。因此，力矩和角動(dòng)量也不相同。但是，角動(dòng)量定理在不同慣

25、性系中具有相同的形式。例題3.3-2、如圖3.3-6所示，一個(gè)小物體，位于光滑的水平桌面上，與一繩的一端相連結(jié)，繩的另一端穿過桌面中心的小孔O. 該物體原以角速度w 在半徑為R的圓周上繞O旋轉(zhuǎn)，今將繩從小孔緩慢往下拉則物體： （A）動(dòng)能不變，動(dòng)量改變； （B）動(dòng)量不變，動(dòng)能改變； （C）角動(dòng)量不變，動(dòng)量不變；（D） 角動(dòng)量改變，動(dòng)量改變；（E）角動(dòng)量不變，動(dòng)能、動(dòng)量都改變。 圖3.3-6解: 因?yàn)?，MZ = Frsin= 0，是因?yàn)樽烂嬷行牡男】?又是物體的旋轉(zhuǎn)軸，=，故sin=0；當(dāng)MZ =0時(shí)，角動(dòng)量不變；同時(shí)其速度的方向不斷地改變，所以角動(dòng)量不變，動(dòng)能、動(dòng)量都改變選（ E ）。例題3.

26、3-3、體重相等的甲乙各抓住跨過滑輪的繩的兩端，如圖3.3-7所示。當(dāng)他們從同一高度向爬時(shí)，相對于繩，甲的速度是乙的速度的兩倍。問誰先爬到頂點(diǎn)？ 假定繩和滑輪的質(zhì)量以及各種磨擦都忽略不計(jì)。 解：將兩人抽象為質(zhì)A和B，以定軸O為（力矩）參考點(diǎn)， 設(shè)A相對于地面的速度為V1，B的速度為V2， 圖3.3-7則L = mR（V1- V2）A的方向垂直于紙面、向里， 而B的方向垂直于紙面、由紙面而出；兩者大小相等，方向相反，質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩為零。開始時(shí)， V10= V20 = 0， L0 = 0 （1）又角動(dòng)量守恒定律（M外 = 0），常量 即 L = mR（V1 - V2） = L- L0 = 0

27、V1 = V2 （2） 雖然相對于繩甲的速度是乙的速度的兩倍，相對于地他們的速度相等，他們從同一從同一高度向上爬，速度相同所以他們同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)。* 3.4 質(zhì)點(diǎn)在有心力場中的運(yùn)動(dòng)由于有心力的大小僅僅與質(zhì)點(diǎn)到力心O的距離|有關(guān)，即，這樣的有心力，稱為中心對稱有心力。因此，我們定義：有心力存在的空間為有心力場。開普勒(J.Kepler)第一(軌道)定律：一切行星都沿各自的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，太陽在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。開普勒第二(面積)定律：在相等時(shí)間內(nèi)，太陽和運(yùn)動(dòng)著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。第三（周期）定律：各個(gè)行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比,即。例題3.4-1、

28、1970年，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星，重量為173kg，周期為T = 114min，近地點(diǎn)（距地心）r1= 6817km，遠(yuǎn)地點(diǎn)r2= 8762km，橢圓軌道長半軸a = 7790km，短半軸 b = 7720km，試計(jì)算衛(wèi)星的近地點(diǎn)的速度和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度。解：1、設(shè)遠(yuǎn)地點(diǎn)速度為V1，近地點(diǎn)速度為V2； ，11=r1V1sin，sin90=1，同理 22= r2V2 sin= r2V2。2、根據(jù)開普勒第二定律：衛(wèi)星的掠面速度為dS/dt =常量，橢圓軌道的面積 1、 數(shù)理邏輯推理 即 ， 同理 ，故 ， = 6.3 km/s4、答案：近地點(diǎn)的速度V1 =8.1km/s；遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度V2 =6

29、.3km/s。*例題3.4-2、試證明若質(zhì)點(diǎn)只受有心力作用，則該質(zhì)點(diǎn)做平面運(yùn)動(dòng)。證明 質(zhì)點(diǎn)只受有心力作用，它始終指向某一固定點(diǎn)O，力對該點(diǎn)的力矩（ = FrSin0= 0）為0，根據(jù)角動(dòng)量定理，質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的角動(dòng)量是恒量 =恒矢量，方向不變，和保持在一個(gè)平面內(nèi)，該質(zhì)點(diǎn)做平面運(yùn)動(dòng)。例題3.4-3、人造地球衛(wèi)星繞地球中心做橢圓運(yùn)動(dòng)，若不計(jì)空氣阻力和其它星球的作用，在衛(wèi)星的運(yùn)行過場中，衛(wèi)星的動(dòng)量和對地心的角動(dòng)量都守恒嗎？答：人造地球衛(wèi)星的動(dòng)量不守恒，因?yàn)樗偸鞘艿酵饬Γㄖ亓Γ┑淖饔?。重力是有心力作用，它始終指向某一固定點(diǎn)地心，地球衛(wèi)星受地心的引力矩為零，所以它的角動(dòng)量守恒。習(xí)題3.1、一質(zhì)量為1 kg

30、的物體，置于水平地面上，物體與地面之間的靜摩擦系數(shù)m 00.20，滑動(dòng)摩擦系數(shù)m0.16，現(xiàn)對物體施一水平拉力Ft+0.96(SI)，則2秒末物體的速度大小v_。3.2、假設(shè)作用在一質(zhì)量為10 kg的物體上的力，在4秒內(nèi)均勻地從零增加到50 N，使物體沿力的方向由靜止開始作直線運(yùn)動(dòng)則物體最后的速率v_。3.3、 水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南（斜向上）方向發(fā)射一炮彈，對于炮車和炮彈這一系統(tǒng)，在此過程中（忽略冰面摩擦力及空氣阻力）（A）總動(dòng)量守恒；（B）炮身前進(jìn)的方向上的分量守恒，其它方向的動(dòng)量不守恒。（C）總動(dòng)量在水平面上任意方向的分量守恒，豎直方向分量不守恒。（D）總動(dòng)量在任何方

31、向的分量均不守恒。 3.4、設(shè)作用在質(zhì)量為1kg的物體上的力F=6t+3（SI），如果物體在這一力的作用下，由靜止開始沿直線運(yùn)動(dòng)，在0到2.0s的時(shí)間間隔內(nèi)，這個(gè)力作用在物體上的沖量大小I = 。3.5、一質(zhì)量為m的物體，以初速成從地面拋出，拋射角，如忽略空氣阻力，則從拋出到剛要接觸地面的過程中物體動(dòng)量增量的大小為： ，物體動(dòng)量增量的方向?yàn)椋?。圖3.13.6、質(zhì)量為M=1.5kg的物體，用一根長為=1.25m的細(xì)繩懸掛在天花板上，今有一質(zhì)量為m=10g的子彈以的水平速度射穿物體，剛穿出物體時(shí)子彈的速度大小v=30m/s，設(shè)穿透時(shí)間極短，求：（1）子彈在穿透過程中所受的沖量。 （2）子彈剛穿出

32、時(shí)繩中張力的大??； 3.7、物體m被放在斜面M上，如果把m和M看成一個(gè)系統(tǒng)。請問在下列情況下，系統(tǒng)水平方向分動(dòng)量是否守恒？（1）、m和M間無摩擦，而M與地面間有摩擦；（2）、m和M間有摩擦，而M與地面間無摩擦；（3）、兩處都沒有摩擦；（4）、兩處都有摩擦。3.8、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒的條件是什么？兩者能否同時(shí)守恒？試說明之。3.9、一質(zhì)量為m的炮彈豎直向上拋射，初速度V0在發(fā)射后，經(jīng)過ts在空中爆炸。假定分成質(zhì)量相同的A、B和C三塊碎片。其中A塊的速度為零，B和C速度大小相等，且B的方向與水平成角。求B和C兩塊的速度（大小和方向）？3.10、質(zhì)量為m的一只狗，站在質(zhì)量為M的一條靜止在湖面

33、的船上，船頭垂直指向岸邊，狗與岸邊的距離為S0這只狗向著湖岸在船上走過l的距離停下來，求這時(shí)狗離湖岸的距離S（忽略船與水的摩擦阻力）。 3.11、一質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，假設(shè)該質(zhì)點(diǎn)通過坐標(biāo)為x的位置時(shí)速度的大小為kx (k為正值常量)，則此時(shí)作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力F =_，該質(zhì)點(diǎn)從x = x0點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到x = x1處，所經(jīng)歷的時(shí)間Dt =_3.12、一塊木料質(zhì)量為45 kg，以 8 km/h的恒速向下游漂動(dòng)，一只10 kg的天鵝以 8 km/h的速率向上游飛動(dòng)，它企圖降落在這塊木料上面但在立足尚未穩(wěn)時(shí)，它就又以相對于木料為2 km/h的速率離開木料，向上游飛去忽略水的摩擦，木料的末速度為

34、：_。圖 3.23.13、一個(gè)人站在平板車上擲鉛球，人和車總質(zhì)量為M，鉛球的質(zhì)量為m，平板車可沿水平、光滑的直軌道移動(dòng)設(shè)鉛直平面為xy平面，x軸與軌道平行，y軸正方向豎直向上已知未擲球時(shí)，人、車、球皆靜止球出手時(shí)沿斜上方，它相對于車的初速度在xy平面內(nèi)，其大小為v0，方向與x軸正向的夾角為q ，人在擲球過程中對車無滑動(dòng)，則球被拋出之后，車對地的速度： _，球?qū)Φ氐乃俣萠 3.14、如圖3.2，有一小球從高為H處自由下落，在下落到h處碰到一個(gè)45的光滑固定斜面與其作完全彈性碰撞試計(jì)算斜面位置的高度H為多少時(shí)能使小球彈得最遠(yuǎn)？ 圖 3.3 3.15、如圖3.3，用傳送帶A輸送煤粉，料斗口在A上方高

35、h0.5 m處，煤粉自料斗口自由落在A上設(shè)料斗口連續(xù)卸煤的流量為qm40 kg/s，A以v2.0 m/s的水平速度勻速向右移動(dòng)求裝煤的過程中，煤粉對A的作用力的大小和方向（不計(jì)相對傳送帶靜止的煤粉質(zhì)重）3.16、如圖3.4所示，砂子從h0.8 m 高處下落到以3 ms的速率水平向右運(yùn)動(dòng)的傳送帶上取重力加速度g10 ms2傳送帶給予剛落到傳送帶上的砂子的作用力的方向?yàn)?圖 3.4(A) 與水平夾角53向下 (B) 與水平夾角53向上 (C) 與水平夾角37向上 (D) 與水平夾角37向下 圖 3.53.17、有一門質(zhì)量為M (含炮彈)的大炮，在一斜面上無摩擦地由靜止開始下滑當(dāng)滑下l距離時(shí)，從炮內(nèi)

36、沿水平方向射出一發(fā)質(zhì)量為m的炮彈欲使炮車在發(fā)射炮彈后的瞬時(shí)停止滑動(dòng)，炮彈的初速v（對地）應(yīng)是多少？(設(shè)斜面傾角為a ) 3.18、質(zhì)量為m = 5.6 g的子彈A，以v0 = 501 m/s的速率水平地射入一靜止在水平面上的質(zhì)量為 M =2 kg的木塊B內(nèi)，A射入B后，B向前移動(dòng)了S =50 cm后而停止，求： (1) B與水平面間的摩擦系數(shù) (2) 木塊對子彈所作的功W1 (3) 子彈對木塊所作的功W2 (4) W1與W2的大小是否相等？為什么？3.19、兩個(gè)大小與質(zhì)量相同的小球，一個(gè)是彈性球，另一個(gè)是非彈性球它們從同一高度自由落下與地面碰撞后，為什么彈性球跳得較高？地面對它們的沖量是否相同？為什么？3.20、質(zhì)量為m的物體，初速極小，在外力作用下從原點(diǎn)起沿x軸正向運(yùn)動(dòng)所受外力方向沿x軸正向，大小為F = kx物體從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為x0的點(diǎn)的過程中所受外力沖量的大小為_ 3.21、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，以不變