1、個(gè)人住房抵押貸款和其他金融問(wèn)題一.實(shí)驗(yàn)?zāi)康?本實(shí)驗(yàn)涉及微積分和線性代數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)數(shù)列，函數(shù)方程求根和與線性代數(shù)方程組有關(guān)的某些知識(shí)：主要是介紹與經(jīng)濟(jì)生活中某些常見(jiàn)重要問(wèn)題有關(guān)的離散形式數(shù)學(xué)模型-差分方程。二.實(shí)際問(wèn)題 隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融正越來(lái)越多的進(jìn)入普通人的生活；貸款，保險(xiǎn)，養(yǎng)老金和信用卡；個(gè)人住房抵押貸款是其中重要的一項(xiàng)。1998年12月，中國(guó)人民銀行公布了新的存，貸款利率水平，其中貸款利率如下表所列 貸款期限1年2年3年4年5年利率6.1206.2556.3906.5256.660 貸款期年12345月1224364860月還款期到期一次還本付息444.356305.9896237

2、.2649196.4118本息總額10612.0010664.5411015.6311388.7111784.71 三.數(shù)學(xué)模型 設(shè)貸款后第k個(gè)月是欠款余數(shù)位阿Ak元，約還款為m元，則由Ak變化到Ak+1，除了還款數(shù)為，還有什么因素參與？無(wú)疑就是利息，但時(shí)間僅過(guò)了一個(gè)月，當(dāng)然應(yīng)該用月利率，設(shè)其為r，從而得到 Ak+1=(1+k)Ak-m, k=0,1,2連同開(kāi)始的貸款數(shù)A0 =10000這就是問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，其中月利率采用將年利率R=0.06255平均，即r=0.06255/12=0.0052125若m是已知的，則由式可以依次求出Ak中的每一項(xiàng)，即為差分方程。四.問(wèn)題的解法和討論1.月還款額B

3、k=Ak-Ak-1Bk+1=(1+r)Bk 于是得Bk=B1(1+r)（k-1）, k=1,2Ak-A0=B1+B2+Bk =B11+(1+r)+(1+r)(k-1) =(A1-A0)(1+r)k-1/r =(1+r)A0-m-A0(1+r)k-1/r從而得到差分方程的解：Ak=A0(1+r)-m/r(1+r)k-1, k=0,1,2,將Ak,A0,r的值代入，就有m的值2還款周期 如果按月還款的話，顯然要比按年付款的錢少?？紤]到人們的收入一般均以月薪方式獲得，因此逐月歸還法對(duì)于貸款這是合適的。六.實(shí)驗(yàn)任務(wù) 任務(wù)一：確定表6.2中二、三、四年期貸款的利率是如何產(chǎn)生的（可以用圖像來(lái)幫助分析），然

4、后推導(dǎo)出相應(yīng)的一至五年萬(wàn)元貸款的還款額表與表6.3比較驗(yàn)證.程序：A0= 10000;sdr= 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 7.56;sdk= 0.5 1 3 5 6 20;fdk= 1:9;fdr= 0.135*(fdk-1)+6.12;for k=10:20 fdk(k)= k; fdr(k)= 7.20; endm(1)= 0;s(1)= 10612.00;r= fdr/12/100;for k=2:20 m(k)= ( A0*r(k)*(1+r(k)(k*12) )/( (1+r(k)(k*12) - 1 ); s(k)= k*12*m(k);endtb= spr

5、intf( 貸款%d元還款表nn,A0);tb= tb sprintf( 年 月 年利率 月利率 月還款額 本息總額nn);for k=1:20 tb= tb sprintf( %2d %3d %6.4f %6.4f %8.4f %8.2fn,. k,12*k,fdr(k),fdr(k)/12,m(k),s(k);endtbplot(sdk,sdr,fdk,fdr)pausecloseclear all任務(wù)二：貸款期年12345月1224364860利率%6.1206.2556.3906.5256.660月還款額到期一次付款444.3560305.9896237.2649196.4118本息總

6、額10612.0010664.5411015.6311388.7111784.71貸款期年678910月728496108120利率%6.7956.9307.0657.2007.200月還款額169.507150.585136.661126.078117.142本息總額12204.512649.113119.413616.414057貸款期年1112131415月132144156168180利率%7.2007.2007.2007.2007.200月還款額109.892103.90798.894384.644591.0047本息總額14505.814962.715427.515900.3163

7、80.8貸款期年1617181920月192204216228240利率%7.2007.2007.2007.2007.200月還款額87.859885.12282.722880.608278.7349本息總額16869.117364.917868.118378.718896.4程序：% 本函數(shù)計(jì)算每次還款額及本息總額, 返回值為本息總額% 函數(shù)參數(shù): q為貸款年數(shù)，k為還款次數(shù)。function out= ep6_f1(q,k)A0= 10000;fdk= 1:9;fdr= 0.135*(fdk-1)+6.12;for ii=10:20 fdk(ii)= ii; fdr(ii)= 7.20;

8、endr= q*fdr(q)/k/100;m= ( A0*r*(1+r)k )/( (1+r)k - 1 );sprintf( %d年期貸款，分%d次還款:,q,k),. sprintf( 每次還款%9.4f元, 本息總額為%9.2f元。,m,m*k)out= m*k;分析：隨著還款期限的延長(zhǎng)，利率的增大，月還款額逐漸減少，但是本息總額逐漸變大，而且，月還款額減少的幅度越來(lái)越小，本息總額增加的幅度越來(lái)越大。但是，在實(shí)際生活中不僅要考慮以上這些情況，還要考慮車費(fèi)等各種因素。任務(wù)三： 根據(jù)兩地公司的業(yè)務(wù)情況，該金融機(jī)構(gòu)決定在每周結(jié)算時(shí)，將A城公司的基金增加$6萬(wàn)，相應(yīng)的B城公司的支付基金減少$6萬(wàn)

9、。此時(shí)，機(jī)構(gòu)中的一位職員向機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)人建議將數(shù)額改為$5.5萬(wàn)。 根據(jù)題意列方程：Ak+1=0.9Ak+0.12Bk+6 Bk+1=0.1Ak+0.88Bk-6 解得： 10Bk+1-7.8Bk=480, 兩邊取極限得：令Bk+1=Bk=B 10B-7.8B=480 B=218.18萬(wàn)元 0 r(n1)= r1(n); n1= n1+1; endendrate= r;所以，機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)人應(yīng)該采納這個(gè)建議。任務(wù)四： 從還款周期來(lái)考察本息總額：以借兩年為例 如果按年還款，利率r代之以年利率R=0.06255,那么k=2, A2=0, A0=10000,則可求出年還款額應(yīng)為m=5473.8673元，這樣本

10、息總額將為2m=10947.73元 如果按月還款，利率r代之以月利率R=0.06255/12,那么k=24, A24=0, A0=10000,則可求出月還款額應(yīng)為m=444.356元，這樣本息總額為10664.54元 如果按周還款，利率r代之以周利率R=0.06255/105, 那么k=105, A105=0, A0=10000,則可求出周還款額為m=98.2761元，這樣本息總額為10318.9元 如果按日還款，利率r代之以日利率R=0.06255/730，那么k=730，A730=0,A0=10000,則可求出日還款額為m=14.1321元，這樣本息總額為10316.4元 但是如果按小時(shí)或

11、分鐘或秒來(lái)還款時(shí)基本上都是10316.0元分析：當(dāng)按照還款周期越來(lái)越短時(shí)，一開(kāi)始還款總額明顯減少，但隨著周期變短，這種明顯程度越來(lái)越不顯著，最后，其減少基本上可以忽略不計(jì)，可以認(rèn)為在繼續(xù)增大其最終將趨于10316附近一個(gè)固定值設(shè)R為年利率，s為總數(shù)，則m=A0*(1+r)k*r/(1+r)k-1), r=R/k=m=A0*r/1-1/(1+r)k =s=A0*R/1-1/(1+r)k=s=A0*R/1-1/(1+R/k)k=s-A0*R/(1-1/eR) (當(dāng)k-時(shí))所以，當(dāng)還款周期變得越來(lái)越短，k越來(lái)越大，A0=10000,R=0.06255,以至s趨于10316.0102程序：s(1)= ep6_f1(2,2*1);s(2)= ep6_f1(2,2*2);s(3)= ep6_f1(2,2*4);s(4)= ep6_f1(2,2*12);s(5)= ep6_f1(2,2*12*4);s(6)= ep6_f1(2,2*12*8);s(7)= ep6_f1(2,2*365);plot(s)pauseclose七.實(shí)驗(yàn)總結(jié) 個(gè)人住房抵押貸款和其他金融問(wèn)題這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)比較貼近現(xiàn)實(shí)社會(huì)，和我們的日常生活息息相關(guān)，所以在做這個(gè)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候感到比較熟悉。從這個(gè)實(shí)驗(yàn)可見(jiàn)，現(xiàn)在的保險(xiǎn)一