1、精選精析數(shù)學(xué)例題 啟迪拓展學(xué)生思維淺談中學(xué)數(shù)學(xué)例題教學(xué)的功能與意義【摘要】例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。重視例題教學(xué)，精選精析數(shù)學(xué)例題，特別是對(duì)例題的各種功能的開發(fā)，不僅能加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，還能開發(fā)學(xué)生的智力，發(fā)散學(xué)生的定性思維，形成邏輯上的嚴(yán)密性，全面培養(yǎng)和提高學(xué)生能力，真正起到啟迪、拓展學(xué)生思維的重要作用。數(shù)學(xué)教師鉆研例題的教學(xué)，不僅是一個(gè)教師最重要的基本功，也是全面提高教學(xué)質(zhì)量的必要保證。在教學(xué)過程中，不僅要深刻理解例題的目的性及其地位，還要能研究好每一例題的解法，以及會(huì)旁及哪些相關(guān)習(xí)題及相關(guān)應(yīng)用，同時(shí)，還要發(fā)揮例題所能體現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律及數(shù)學(xué)思想上的教育作用?！娟P(guān)鍵詞】

2、例題教學(xué) 示范引領(lǐng) 拓展思維 發(fā)展智力 提高能力 數(shù)學(xué)思想“學(xué)以致用”是教學(xué)的主旨，數(shù)學(xué)能力的應(yīng)用，在課堂上往往是通過數(shù)學(xué)解題來加以體驗(yàn)。思維縝密、方法巧妙的解題能充分體現(xiàn)學(xué)生的觀察能力、理解能力、想象能力、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力及邏輯推理能力。而解一道數(shù)學(xué)題，并不只是熟記住書本上的數(shù)學(xué)概念、相關(guān)定理就能做到，它不僅要求學(xué)生對(duì)概念、數(shù)學(xué)原理深刻理解與掌握，更重要的是要能對(duì)概念及數(shù)學(xué)原理進(jìn)行剖析、挖掘、牽引、延伸，達(dá)到對(duì)概念與原理的活化功效，從而解題才能 “下筆有神”、“游刃有余”以致“融會(huì)貫通”。由于現(xiàn)在的初中生年齡普遍較低，思維的嚴(yán)密性相對(duì)較弱，要想學(xué)會(huì)縝密解題，教師的引領(lǐng)、示范必不可缺

3、，選擇好范例又至關(guān)重要。中學(xué)數(shù)學(xué)教材具有相對(duì)完備的知識(shí)體系，課本例題更是經(jīng)過專家與老師們精挑細(xì)選、精心設(shè)計(jì)的，不僅有典型的范例作用，還滲透著一定的數(shù)學(xué)思想和方法，具有很高的教學(xué)利用價(jià)值。在教學(xué)中，教材設(shè)置的例題應(yīng)是首選的范例，例題教學(xué)應(yīng)是教學(xué)環(huán)節(jié)的一個(gè)重要組成成分。重視例題教學(xué)，精選精析數(shù)學(xué)例題，特別是對(duì)例題的各種功能的開發(fā)，不僅能加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，還能開發(fā)學(xué)生的智力，發(fā)散學(xué)生的定性思維，形成邏輯上的嚴(yán)密性，全面培養(yǎng)和提高學(xué)生能力，真正起到啟迪、拓展學(xué)生思維的重要作用。下面就例題教學(xué)的功效，例題教學(xué)的一些方法淺談一下筆者的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)。一、例題教學(xué)的功效1、通過例題教學(xué)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)

4、概念、定理定律及數(shù)學(xué)思想和方法的理解、鞏固與應(yīng)用數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映，數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)思維中起著十分重要的作用，它是最基本的思維形式。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方面，它能更新學(xué)生知識(shí)、提高學(xué)生認(rèn)知水平，對(duì)學(xué)生的未來學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)用語的恰當(dāng)表述具有重要的意義。概念形成后，針對(duì)學(xué)生對(duì)概念中特殊數(shù)學(xué)用語的理解不透徹，甚至思維模式有錯(cuò)的地方，教師可以結(jié)合一些恰當(dāng)?shù)睦}，加深理解并鞏固?！救私贪鏀?shù)學(xué)九年級(jí)上26頁】例 將方程3x（x1）5（x2）化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。評(píng)本題是借助教材引例及兩個(gè)問題列出相應(yīng)3個(gè)方程，思

5、考方程特點(diǎn)，從而形成一元二次方程概念及一般形式后設(shè)置的例題，通過化簡(jiǎn)整理，它不僅幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)一元二次方程及其一般形式，還提升了學(xué)生分析方程組成，為求根公式及根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。說明此例的解析既起到了本課知識(shí)點(diǎn)的理解與鞏固，還為后續(xù)學(xué)習(xí)提供了鋪墊。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)思維的形成離不開數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和數(shù)學(xué)思想方法的滲透。數(shù)學(xué)知識(shí)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的“源”，是解決數(shù)學(xué)問題的理論依據(jù)；數(shù)學(xué)思想方法是“路”，是活化一切數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，它為分析、處理數(shù)學(xué)問題提供了指導(dǎo)方針和解題策略。這正如南京師范大學(xué)涂榮豹教授所指出的：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重知識(shí)的傳授、記憶和模仿，更要重視的是數(shù)學(xué)思想

6、方法的滲透和數(shù)學(xué)定理、定律的剖析與引申”。如何做到數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)定理、定律的剖析與引申，從而全面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，形成一定的數(shù)學(xué)思維，例題教學(xué)具有一定的作用。【人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下96頁】例3 如圖19.1-9，ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F是AC上的兩點(diǎn)，并且AECF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形?！救私贪鏀?shù)學(xué)八年級(jí)下98頁】例4 如圖19.1-13，點(diǎn)D、E分別是ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，求證：DEBC且DEBC評(píng)這幾個(gè)例題旨在加強(qiáng)對(duì)平行四邊形的判定定理的應(yīng)用，其中例3不僅具有一題多解性，還具有一題多變的作用，是一個(gè)很好的范例，具有很高的利用價(jià)值；例4除了加強(qiáng)對(duì)平行四

7、邊形的判定定理的應(yīng)用，還訓(xùn)練學(xué)生思考作輔助線的方法，同時(shí)為得出三角形的中位線定理提供了理論依據(jù)。另外，這幾個(gè)例題還滲透了數(shù)學(xué)的分類思想，數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。它們可以極大地提升學(xué)生的思維水平和解題能力，從而形成正確處理數(shù)學(xué)問題的策略。2、例題教學(xué)為學(xué)生的解題提供示范性、使學(xué)生解題更規(guī)范并具有可操作性解題是深化知識(shí)、發(fā)展智力、提高數(shù)學(xué)能力的重要手段之一。規(guī)范的解題不僅能夠使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，還能培養(yǎng)學(xué)生縝密的邏輯思維能力。規(guī)范解題要求步驟清晰、運(yùn)算正確、推理有據(jù)、結(jié)構(gòu)完整、詳略得當(dāng)。 【人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上36頁】例2 用公式法解下列方程：（1）x24x70 ；（2）2x

8、22x10 ；（3）5x23xx1 ；（4）x2178x .解：（1）a1 , b4 , c7 .b24ac（4）241（7）440 .方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即 ，（2）（3）（4）題過程略評(píng)本題是在通過配方形成求根公式并探討歸納決定根的情況后，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用公式法解一元二次方程的示范性例題，學(xué)生解題往往不管是否有根，把求根公式當(dāng)成了“萬能公式”，直接將各系數(shù)代人求根公式，從而出現(xiàn)解題障礙甚至錯(cuò)誤，本例的解題步驟清楚，格式規(guī)范，思路清晰，為學(xué)生起到了很好的示范性作用，讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)用公式法解一元二次方程。【人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上111頁】例1 如圖24.4-3，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是

9、0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.解：如圖24.4-3，連接OA，OB，作弦AB的垂直平分線，垂足為D，交弧AB于點(diǎn)C，連接AC. OC0.6, DC0.3 , ODOCDC0.3， ODDC,又 ADDC， AD是線段OC的垂直平分線， ACAOOC，從而 AOD60，AOB120.有水部分的面積 SS扇形OABSOAB 0.22（m2） 評(píng)本例解題的基本步驟是：作輔助線圖形與數(shù)據(jù)有效結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系形成代人公式計(jì)算得到結(jié)論。每一環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，依據(jù)充分、結(jié)論明顯，計(jì)算細(xì)致、條理清晰，為學(xué)生模仿計(jì)算圖形的面積提供了很好的示范作用。二、

10、例題教學(xué)常用方法及作用1、精選精析，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用思維的靈活性首先來源于對(duì)基本概念、數(shù)學(xué)原理的深刻理解與熟練掌握，來源于對(duì)數(shù)學(xué)基本思想及方法的融會(huì)貫通。然而，由于初中學(xué)生的心理存在一定的“思維定勢(shì)”和出現(xiàn)“思維凝結(jié)”，對(duì)新知（尤其是一些復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用題和復(fù)雜的圖形推證題）的應(yīng)用往往不知何處入手或無從選擇。這時(shí)，教師精選一兩道例題，精講精析，引導(dǎo)學(xué)生剖析題中條件，化整為單一，再化單一為整，全面理清思路，最終合理推導(dǎo)或合理列式（或方程），得出相應(yīng)結(jié)論。可以全面培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高他們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力?！救私贪鏀?shù)學(xué)九年級(jí)上47頁】探究3 22.3-1，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27，

11、寬21，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的長方形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？ 分析：封面的長寬之比是 （略）評(píng)本探究為一元二次方程在圖形面積處理方面的實(shí)際應(yīng)用，雖然條件不多，但上、下邊襯與左、右邊襯不等寬，學(xué)生易在此處陷入障礙，從而無法列出適當(dāng)方程，這就要求教師剖析好邊襯寬度關(guān)系與封面長寬關(guān)系的聯(lián)系，化二元為一元，列一元二次方程解題，為學(xué)生今后解決圖形面積問題積累了經(jīng)驗(yàn)?！救私贪鏀?shù)學(xué)九年級(jí)下88頁】例4 熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟高樓底部的俯角為60

12、，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？分析：（過程略）解： （過程略）評(píng)本題是指導(dǎo)學(xué)生利用解直角三角形的方法解決與視角有關(guān)的問題，過程為：整理?xiàng)l件以銳角三角函數(shù)梳理線段關(guān)系轉(zhuǎn)化所求線段長的關(guān)系式代人數(shù)值計(jì)算答題。把解直角三角形充分應(yīng)用于解決生活實(shí)際問題。2、一題多變，拓展、延伸學(xué)生思維，提升學(xué)生思維的靈活性、應(yīng)變性數(shù)學(xué)概念、原理的形成，是勞動(dòng)者長期生活實(shí)踐或數(shù)學(xué)工作者不懈努力，反復(fù)推理、論證，最終從客觀世界中抽象產(chǎn)生的對(duì)數(shù)與形的思維總結(jié)與概括。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握，必須借助教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生由表及里去剖析、由此至彼去延伸，形成思維的整體性、延續(xù)性。一

13、題多變，即“變式訓(xùn)練”往往能夠發(fā)揮功效，這種訓(xùn)練方式不僅能拓展、延伸學(xué)生思維，擴(kuò)大學(xué)生數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在模式的外延，更能提升學(xué)生思維的靈活性、應(yīng)變性，促使學(xué)生對(duì)知識(shí)的廣泛遷移?！救私贪鏀?shù)學(xué)八年級(jí)下104頁】60ACDOB例1 如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AOB=60，AB=4，求矩形的對(duì)角線的長。分析：（過程略）解： （過程略）評(píng)本題設(shè)置是在學(xué)生探究得出矩形的相關(guān)性質(zhì)后應(yīng)有性質(zhì)解決實(shí)際問題，還有效地將等邊三角形融入在內(nèi)，為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的識(shí)別與性質(zhì)的綜合應(yīng)有，例題解析后，我又在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改編，使性質(zhì)應(yīng)用進(jìn)一步提升?！咀兪?】 如圖，矩形ABCD的一條對(duì)角線長為8，兩條對(duì)角線

14、的夾角AOD=120，求矩形的面積。解： （過程略）【變式2】 如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AOB=60，經(jīng)過點(diǎn)O的直線EF交AD于E,交BC于F，OE與OF的長有什么關(guān)系？若EFAC ， AE與EF的長又有什么關(guān)系？ (口頭表述) 解： （過程略）當(dāng)然，變式訓(xùn)練不是加大題量，盲目擴(kuò)充課堂容量，而應(yīng)要有目的性、針對(duì)性，起到激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維活躍性的作用，同時(shí)，還要有適度的變，有準(zhǔn)備的變，不能變的茫無邊際，使學(xué)生感到越變?cè)交靵y，導(dǎo)致適得其反。3、一題多解，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性、創(chuàng)造性思維，加強(qiáng)學(xué)生綜合解題的能動(dòng)力，激發(fā)學(xué)生解題的趣味性同一個(gè)問題不只有一種解決方法 ,我們稱之為一題多解。一題

15、多解的“多解”只是數(shù)學(xué)思想和方法的一種表現(xiàn)形式。通過剖析問題實(shí)質(zhì)，引發(fā)一題多解，不僅讓我們更有主動(dòng)性地運(yùn)用一題多解的方法 ,串聯(lián)與歸納所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)涵，還在教學(xué)中更為有效地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和發(fā)散思維能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解，有利于啟迪思維，開闊視野，全方位思考問題，分析問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合智能與解題技巧?！救私贪鏀?shù)學(xué)八年級(jí)下96頁】例3 如圖19.1-9，ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F是AC上的兩點(diǎn)，并且AECF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形。解法1：由ABCD得AOCO，BODO，因AECF得OEOF，利用“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊

16、形”這一判定定理論證結(jié)果。解法2：先證ABECDF，得BEDF，BEDF，利用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這一判定定理論證結(jié)果。解法3：分別論證ABECDF與ADECBF，得BEDF，DEBF，利用“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”這一判定定理論證結(jié)果。解法4：分別論證ABECDF與ADECBF，得BEDF，DEBF，利用定義 “兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”論證結(jié)果。評(píng)通過以上幾種解法的論證，加強(qiáng)了所學(xué)平行四邊形的判定定理的理解，同時(shí)也鞏固了平行四邊形的性質(zhì)定理，突破了本節(jié)課的重點(diǎn)，不但達(dá)到了認(rèn)知目標(biāo)，而且還有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、變通性、創(chuàng)造性，鍛煉了學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維，也達(dá)到了本節(jié)課的能力目標(biāo)。再讓學(xué)生比較哪種解法精簡(jiǎn)，說明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)不僅要達(dá)到“廣度”，還要具有一定的“深度”，更要形成一定的“精度”，借此調(diào)動(dòng)學(xué)生深鉆多思的學(xué)習(xí)積